突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题03 复数问题(含详解)

专题03复数问题

【高考真题】

1.（2022•全国乙理）己知z=l-2i,且z+aT+b=0,其中a,b为实数，则（）

A.ct=1,b=—2B.。=—1,b=,2C.。=1,b=2D.ci=-1,b=-2

2.(2022•全国乙文)设(l+2i)〃+b=2i,其中凡b为实数，贝1()

A.a=l,b=~\B.a=l,b=\C.a=-1,b=\D.a=—1,b=—\

3.(2022•全国甲理)若z=-l+小i,则Y—=()

ZZ-1

A.-1+小iB.-1一小iC.-D・

4.(2022•全国甲文)若z=l+i.则|iz+3可=()

A.4小B.4y/2C.2小D.2也

5(2022•新高考I)若i(l-z)=L则z+T=()

A.一2B.一1C.1D.2

6.(2022.新高考H)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

7（2022•北京）若复数z满足iz=3—数=,则|z|=（)

A.1B.5C.7D.25

8.(2022•浙江)已知a,b£R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则()

A.a=lfb=~3B.a=—1,b=3C.a=-1,b=~3D.a=l,b=3

【知识总结】

1.复数的相关概念及运算法则

（1）复数z=a+bi（a,Z?£R）的分类

①z是实数=b=0；②z是虚数③z是纯虚数=a=0且bWO.

（2）共辗复数

复数z=〃+bi（〃，丹R）的共趣复数z=〃一bi.

（3）复数的模

复数z=〃+bi（〃，b£R）的模|z|=g^PR.

（4）复数相等的充要条件

a+bi=c+di=4=c且匕=d（a,b,c,d£R）.

特别地，。+例=0=〃=0且力=0（”，beR）.（5）复数的运算法则

加减法：（a+历）土（c+di）=（4土c）+（b±d）i；

乘法：(〃+药)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)\；

“、上..ac+bd,bc-ad,,

除法：(〃+/?i)：(c+di)=+[2_|_^2i(c+diWO).

(其中a,b,c,d£R)

2.复数的几个常见结论

(l)(l±i)2=±2i.

1+i1—i

，T+i

(3)i4,,=l,i4w+I=i,i4/i+2=-l,i4w+3=-i,i4w+i4/l+1+i4n+2+i4rt+3=0(neZ).

【同类问题】

题型一复数的概念

1.(2021•浙江)已知〃£R,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位),则。等于(

A.-1B.1C.-3D.3

2.(2020•全国III)若1(l+i)=l—i,则z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

z(l+i)i3—

3.若复数z满足i,则复数z的虚部为()

A.iB.-iC.1D.-1

4(2020・全国I)若z=l+i,则Iz2—2z|等于()

A.0B.1C.也D.2

5.已知盖=1—yi,其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共物复数为（）

A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

6.（2021•上海）已知z=l—3i,则|z—i|=.

7.如果复数一j」SGR）的实部与虚部相等，那么b=（）

A.-2B.1C.2D.4

8.若复数z=（d—l）+（x—l）i为纯虚数，则实数x的值为.

2

9.（多选）若复数z=保，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为一1B.|z|=45C.z2为纯虚数D.z的共辗复数为一1一i

10.（多选）（2022・武汉模拟）下列说法正确的是（）

A.若|z|=2,则z・z=4

B.若复数Z”Z2满足|Z|+Z2|=|Z|-Z2|,则Z|Z2=0C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚

部相等

D.“aWl”是“复数z=（a—1）+（层-l）i（aGR）是虚数”的必要不充分条件

题型二复数的四则运算

11.（2021•新高考全国I）己知z=2—i,则z（三+i）等于（)

A.6—21B.4—21C,6+2iD.4+2i

12.（2021•北京）在复平面内,复数z满足（1—i>z=2,则z=（）

A.1B.iC.1-iD.1+i

13.（2020・新高考全国I不西等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

14.(2021•全国乙)设iz=4+3i,则z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

15.(2021♦全国乙)设2(z+z)+3(z—z)=4+6i,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.l-i

16.(2021•全国甲)已知(l—i>z=3+2i,则z=()

，33

-

T一-+

一3.

3-22

A.展B.D.

17.（多选）（2022•湛江一模）若复数z=小一i,则（）

A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轨复数z=<5+iD./=4一2小i

a+i,

18.若z=（a—也）+“i为纯虚数，其中aCR,则.

z

19.已知复数z=〃+"（a,i为虚数单位），且不与=3+21则a=,b=

20.（多选）设Z|,Z2，Z3为复数，Z|W0.下列命题中正确的是（）

A.若忆2|=忆3|,则Z2=±Z3B.右.Z]Z2=Z]Z3，贝Z2=Z3

C.若Z2=Z3,则|Z]Z2|=|Z]Z3|D.若Z|Z2=|Z1『，则Z[=Z2

题型三复数的几何意义

21.（2021・新高考全国H）复数三三在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22.已知i是虚数单位，则复数Z=i2023+i（i-l）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

23.若复数z=（2+ai）m—i）在复平面内对应的点在第三象限，其中“GR,i为虚数单位，则实数。的取值

范围为（）

A.（一也，^2）B.（—a,0）C.（0,柩D.[0,也）24.如图，若向量应对

4

应的复数为Z,则z+z表示的复数为（）

B.-3-iC.3-iD.3+i

25.（2020•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则i.z等于（）

A.1+2iB.—2+iC.1—2iD.-2—i

26.在复平面内，复数z=/w（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）

A.（3,4）B,（-4.3）C,你-|）D.（号，一号

27.（2019•全国I）设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为（x,），），则（）

A.(x+l)2+/=lB.(*一1)2+)2=1C./+(y—1)2=1D./+6+1)2=1

28.（2020・全国H）设复数zi，Z2“两足|ZI|=|Z2|=2,zi+z2=，5+i,则|zi—z?|=.

29.已知复数z满足|z—1—i|Wl,则|z|的最小值为（）

A.1B.A/2-1C.也D.也+1

30.（多选）欧拉公式e'i=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复

数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天

桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

n.

A.复数e*对应的点位于第二象限B.”'为纯虚数

e*i1-i]A/S

C.复数的模长等于3D.e6的共规复数为3一竽i

专题03复数问题

【高考真题】

1.(2022•全国乙理)己知z=l-2i,且z+c/T+QO,其中小人为实数，则()

===

A.ci19h-2B.。=—1,b=2C.。=1,Z?=2D.a=——1,b——2

1.答案A解析完=l+2i,z+。下+。=1—2i+“(l+2i)+/?=(l+a+b)+(2〃-2i)i,由z+a三+。

=0,得a=l,b=-2,故选A.

2.(2022•全国乙文)设(l+2i)a+b=2i,其中a,b为实数，则()

A.。=1，b——\B.。=1，b=\C.a=—1，b=1D,〃=—1，b=—1

2.答案A解析因为a,b为实数，(a+b)+2〃i=2i,所以a+0=0,2〃=0,解得，a—1>b——1.

故选A.

3.(2022•全国甲理)若z=—l+小i,则Y—=()

zT—1

A.—1+小iB.—1一小iC.—D.

3.答案C解析T=-l-y/3i,zT=(-l+小i)(-l—小i)=4,Y-故选C.

ZZ—1J33

4.(2022•全国甲文)若z=l+i.则|iz+3三|=()

A.4A/5B.4-\/2C.2小D.26

4.答案D解析因为z=l+i.所以12+33=«1+。+3(1—。=2—2。所以|iz+3T|=2g.故选D.

5.(2022•新高考I)若i(l-z)=l,贝!)z+T=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.答案D解析由题设有l—z=；=—i,所以z=l+i,故z+T=2,故选D.

6.(2022•新高考H)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6~2i

6.答案D解析(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,故选D.

7.(2022・北京)若复数z满足iz=3—4i=,则|z|=()

A.1B.5C.7D.257.答案B解析由题意

3-4j_____________

有z=Jj—=l+i,故|z|=q(-4尸+(—3)2=5.故选B.

8.(2022•浙江)已知a,b^R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则()

A.。=1,h=—3B.a=—\9h=3C.a=—l9h=—3D.a=l,h=3

8.答案B解析a+3i=-l+历，而“，人为实数，故。=-1,b=3,故选B.

【知识总结】

1.复数的相关概念及运算法则

(1)复数z=a+/?i(a,AGR)的分类

①z是实数08=0；②z是虚数0后0；③z是纯虚数=。=0且6Ho.

(2)共枕复数

复数z=a+历(a,beR)的共丽复数z=a-b\.

(3)复数的模

复数z=a+/>i(a,bGR)的模忆|="次+序.

(4)复数相等的充要条件

a+bi=c+4i=a=c,且b=d(mb,c,JGR).

特别地，a+历=0=a=0且匕=0(4,feGR).

(5)复数的运算法则

加减法：(〃+抚)土(c+di)=(4土c)+(fe±J)i；

乘法：(a+历)(c+"i)=(ac—bd)+(a<7+bc)\；

,ac+bd,be—ad,

除法：(a+/?i)+(c+di)="彳•+蓝奇i(c+diWO).

(其中a,b,c,t/WR)

2.复数的几个常见结论

(l)(l±i)2=±2i.

1+i,1-i

(2)0=1,币=f

4n

(3)i=1,j4"+2=_],i4〃+3=_j,i4»+i4„+l+i4„+2+i4n+3=0(neZ)

【同类问题】

题型一复数的概念

1.(2021•浙江)已知aGR,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a等于()

A.-1B.1C.-3D.3

1.答案C解析方法一因为(l+ai)i=-a+i=3+i,所以一4=3,解得。=—3.

3Ii

方法二因为(1+ai)i=3+i,所以l+ai=-•一=1—3i,所以a=-3.

2.(2020.全国III)若T(l+i)=l-i,则z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i2.答案D解析因为三=号=:」有】一

1十i1+11-1

=-i,所以z=i.

3.若复数z满足咒tF=1—i,则复数，的虚部为()

A.iB.-iC.1D.-1

z(1+i)F

3.答案C解析V=l-i,.,.z(l+i)(-i)=(2-i)(l-i),.*.z(l-i)=(2-i)(l-i),；.z=2—i,

.,.7=2+i,的虚部为I.

4.(2020・全国I)若z=l+i,则Iz2—2z|等于()

A.0B.1C.yf2D.2

4.答案D解析方法一z2—2z=(l+i)2—2(l+i)=—2,|z2—2z|=|-2|=2.

方法二|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|=|(l+i)(-l+i)|=fl+iH-l+i|=2.

5.已知亩=1-yi,其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共规复数为()

A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

1[A，

5.答案B解析由有=1—yi,得]:yi，即尹=解得X

=2,y=l,：,x+yi=2+i,，其共柜复数为2—i.

6.(2021•上海)已知z=l-3i,贝U|z-i|=

6.答案小解析Vz=l-3i,.*.2=1+31,Z.-z-i=l+3i-i=l+2i,6|z-i|=\犀存=由.

7.如果复数T（〃£R）的实部与虚部相等，那么6=（）

A.-2B.1C.2D.4

7.答案A解析半=（2+1）.「）=b-2i,所以实部为b,虚部为一2,故匕的值为一2,故选

11（—1）

A.

8.若复数z=（f—l）+（x—l）i为纯虚数，则实数x的值为.

X2—1=0,

8.答案一1解析为纯虚数，，,Ax=-1.

x—1K0,

2

9.（多选）若复数z=而，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为一1B.因=啦C.Z?为纯虚数D.z的共辄复数为一l—i

22（1j）22j

答案解析对于的虚部为一正确；对于

9.ABCz—।j—（।jj5—1-*i1A,z1,

B,模长团=啦，正确；对于C,因为z2=（l—i）2=-2i,故z2为纯虚数，正确；对于D,Z的共粗复

数为1+i,错误.

10.（多选）（2022・武汉模拟）下列说法正确的是（）

A.若|z|=2,则Z,Z=4B.若复数ZI，Z2满足|zi+z2|=|zi—Z2I，则Z|Z2=0

C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等

D.“aWl”是“复数z=(a—1)+(层一l)i(aWR)是虚数”的必要不充分条件

10.答案AD解析若团=2,则Z-Z=|ZF=4,故A正确；设zi=ai+"i("”"SR),22=02+82X02,

岳丘2,由|Z1+Z2|=|Z1—Z2I，可得|zi+z2|2=(a|+”2)2+(/"+62)2=|Z|—Z2|2=(<7]—“2)2+S|—左)？则0a2

+匕而2=0,而ziZ2=(ai+bii)(a2+岳i)=ai42-b\b2-\-a\b^-\-b\aiL—2a\a2'^a\b^-\-b\a^.不一定为0,故B

错误；当z=l—i时，i=-2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z=(a—1)+(“2—

l)i(aGR)是虚数，则一一]和,即今±1,所以“存1”是“复数z=(a-l)+(a2-l)i(aWR)是虚数”的必要

不充分条件，故D正确.

题型二复数的四则运算

11.(2021・新高考全国I)已知z=2-i,则z(~T+i)等于()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

11.答案C解析因为z=2-i,所以z(W+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.

12.(2021.北京)在复平面内，复数z满足(l-i>z=2,则z=()

A.1B.iC.1-iD.1+i

12.答案D解析由题意可得2=2==1+二

1—1(1—1)(1十1)

13.(2020・新高考全国I等于()

A.1B.-1C.iD.-i

小金皿「2-i(2-i)(l-2i)-5i.

n案解析==-=-1

13.Dj+2i(14-2i)(i_2i)5'•

14.(2021•全国乙)设iz=4+3i,则z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3—4iD.3+4i

14.答案C解析方法一(转化为复数除法运算)因为iz=4+3i,所以2=罕=处±善口=

-4i-3i2

=3-4i.

方法二(利用复数的代数形式)设z=a+bi(a,h&R),则由iz=4+3i,可得i(a+bi)=4+3i,即一方

[a—3,

+ai=4+3i,所以即所以z=3-4i.

〔a=3,心=一4,

方法三(巧用同乘技巧)因为iz=4+3i,所以iz・i=(4+3i>i,所以一z=4i—3,所以z=3—4i.

15.(2021•全国乙)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.I-i

15.答案C解析设z=a+bi(”，〃GR),贝i]z=“一”，代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,可得4a+6〃=

4+6i,所以a=l,b—\,故z=l+i.

33

16.（2021•全国甲）已知（l-i）2z=3+2i,则z=（）A.一1一手B.—1+]i

C.-'+i3

D.

,MY3+2i3+2i3i-2,3

16.答案B解析z=（2=-2-=-l+3.

17.（多选）（2022•湛江一模）若复数z=g—i,则（）

A.\z\=2B.|z|=4C.z的共辆复数z=，5+iD.z2=4-2yf3i

17.答案AC解析依题意得|z|=。（小）2+（-1）2=2,故A正确，B错误；z=/+i,C正确;

i=（5一i）2=3—2小i+i2=2—25i,D错误.

〃+j7

18.若z=（a—#）+行为纯虚数，其中。£R,则.

.a—A/2=0,广y[2—iy[2—i1—yj2i

18.答案-i解析•・・z为纯虚数,-'a=yJZAl+^=1V2i=l+V2il-V2i

和，+

-3i

z

19.已知复数z=a+/?i（a,b£R,i为虚数单位），且^7芋=3+21则a=,b=

19.答案51解析由z=〃+Z?i（mi为虚数单位），则z=a一%所以不二]=甘%—bi）="“

a-b,,a+ba-b

U~i=3+2i,故t方一=3,-2-=2所以a=5,b=l.

20.（多选）设Z],Z2,Z3为复数，Z|W0.下列命题中正确的是（）

A.若阂=㈤，则Z2=±Z3B.若Z[Z2=Z]Z3，则Z2=Z3

C.若Z2=Z3,则|Z1Z2|=|Z[Z3]D.若ZiZ2=|ZiF，则Z1=Z2

20.答案BC解析由=知A错误；Z]Z2=Z]Z3，则Z]⑵-Z3）==0,又Z]和，所以Z2=Z3，故B正

确；又、所以忆尸阂，故正确，令满足

|ziZ2|=|Z]||Z2b|Z1Z3|=|Z|||Z3|,2=Z3,2|"T2|=CZ|=i,Z2=-i,

Z1Z2=|Z]|2,不满足Z]=Z2,故D错误.

题型三复数的几何意义

21.（2021・新高考全国H）复数/或在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

21.答案A解析苗=（2-喘+3」=爷=空所以该复数在复平面内对应的点为6，号，该点

在第一象限.

22.已知i是虚数单位，则复数Z=i2023+i（i—1）在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22.答案C

解析因为Z=i2023+i(i—l)=-i-l—i=-l—2i,所以复数Z在复平面内对应的点是(一1,

-2),位于第三象限.

23.若复数z=(2+ai)(a-i)在复平面内对应的点在第三象限，其中。6R,i为虚数单位，则实数〃的取值

范围为()

A.(-^2,柩B.(一小，0)C.(0,的D.[0,的

[3(7<0,

23.答案B解析z=(2+ai)(〃-i)=3a+(cf—2)i在复平面内对应的点在第三象限，二.解得

2<0,

—y[2<a<0.

_>4

24.如图，若向量OZ对应的复数为z,则z+：表示的复数为()

l+3iB.-3-iC.3-iD.3+i

44.41+i

24.答案D解析由题图可得Z(l,—1),即z=l—i,所以z+：=l—i+~j~7=1

zI-i।+1—il+i

=1—i+-2-=1—i+2+2i=3+i.

25.(2020•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i-z等于()

A.1+2iB.-2+iC.1—2iD.12—i

25.答案B解析由题意知，z=l+2i,・・・i・z=i(l+2i)=-2+i.

26.在复平面内，复数z=(^(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为()

A.(3,4)B.(-4,3)C.你一§D.(一/,

5i5i(3+4i)3i—44343

26.答案D解析因为z=:±==k=Y+'i，所以z=Y一',所以复数z

JITI\J^T1ZIDIITI/JJJJJ

所对应的点的坐标为(一,，-j).

27.(2019・全国I)设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(