《不同函数增长的差异》示范课教学课件【高中数学人教A版】

不同函数增长的差异高中数学人教A版必修第一册在4.2.1的例2的第（1）小问中，我们进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，这两种增长方式存在很大的差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．那么我们该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？整体感知一方面可以根据图象进行观察、探索变化趋势，另一方面可以根据数据进行计算、分析变化率

．由于我们对线性函数已经有了一定的认识，其变化规律非常直观：它在整个定义域上的变化率恒定，即

为定值．所以线性函数可以作为一把尺子，用来“度量”指数函数和对数函数的增长差异．基于以上分析，我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数．整体感知新知探究问题1

选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？追问1

不妨以函数y＝2x和y＝2x为例，利用计算器列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？追问1

不妨以函数y＝2x和y＝2x为例，利用计算器列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．新知探究xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386………从图象上，发现函数y＝2x和y＝2x有两个交点(1，2)，(2，4)，并且这两个交点将区间[0，＋∞)分成了三段，两个函数的图象位置关系在这三段有所不同．这表明，虽然这两个函数在[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数y＝2x的增长速度保持不变，而函数y＝2x的增长速度在变化．新知探究追问2

通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率

，你能发现什么？新知探究完成的变化率表如右表．从数据上，通过计算变化率

，发现函数y＝2x的变化率恒定，即增长速度保持不变．而函数y＝2x的变化率越来越大，即增长速度在增大．xy=2xy=2x01

0

0.51.4140.82812121.17221.52.8281.6563242.34442.55.6573.3145384.6866……………追问3

在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中，画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中，画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？新知探究新知探究完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624………可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．追问4

若以函数y＝2x和y＝3x为例，重复如上的过程，你能得到什么结论？若以函数y＝3x和y＝100x为例呢？请大家选择不同的指数函数和一次函数重复如上过程，你得到的结论分别是什么？然后小组交流．追问5

通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？新知探究新知探究通过对y＝2x和y＝2x的研究发现，虽然两个函数在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝2x的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于y＝2x的增长最终会快于y＝2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有2x＞2x．新知探究一般地，指数函数y＝ax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k＞0)的增长速度．新知探究问题2

选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异．你能描述一下对数函数增长的特点吗？追问1

类比问题1，你计划怎么研究这个问题？先取特殊的对数函数和一次函数进行研究，然后归纳得到一般结论．追问2

既然如此，那就结合我们方便计算的常用对数，不妨以函数

和

为例，利用计算器，列出这两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？新知探究新知探究完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．x0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786………新知探究从图象上，发现函数

和

虽然在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度存在着明显的差异．随着x的增大，函数

的图象离x轴越来越远，而函数

的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样．追问3

通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应值表，分别计算它们的变化率

，你能发现什么？新知探究完成的变化率表如右表．据上，通过计算变化率

，发现函数

的变化率恒定，即增长速度保持不变．而函数

的变化率越来越小，即增长速度在减小．x0不存在

0

0.51111.3010.030121.51.4770.0176321.6020.012542.51.6990.0097531.7780.00796……………从数追问4

如果将lgx放大1000倍，再对函数

和的增长情况进行比较，那么仍有前面所述的规律吗？新知探究从图象和数据上都可以看出，随着x的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小．所以一定存在一个x0，当x＞x0时，

的增长速度比

的增长速度小，并且

的增长速度还会持续减小下去．新知探究追问5

通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？通过对

和

的研究发现，虽然两个函数在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，

的增长速度越来越慢，与

的增长速度相比几乎微不足道．新知探究追问5

通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？一般地，对数函数y＝logax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)的增长差异都与上述情况类似．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx．新知探究问题3

在问题1和问题2中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数、指数函数和对数函数同时比较，你能得到什么结论？追问1

在同一直角坐标系中画出一次函数y＝2x，指数函数y＝2x和对数函数y＝lgx的图象，比较他们的增长有何差异？追问1

在同一直角坐标系中画出一次函数y＝2x，指数函数y＝2x和对数函数y＝lgx的图象，比较他们的增长有何差异？新知探究函数图象如右图．从图象上同时比较三个函数，能够直观上感受出，三个函数虽然都在增长，但增长速度明显不同．一次函数y＝2x的增长速度保持不变，指数函数y＝2x的增长速度越来越快，对数函数y＝lgx的增长速度越来越慢．追问2

一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？新知探究一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．归纳小结回顾本节课，我们是如何研究一次函数、指数函数和对数函数的增长差异的？掌握不同函数的增长差异，有什么现实意义？本节课我们先从简单情况入手，先分别比较一次函数与指数函数、一次函数与对数函数，然后再将三个函数放在一起同时比较．在比较他们增长差异时，先从特定情况研究，分别通过图象、数据分析计算它们增长的差异，然后再归纳出一般情况．归纳小结回顾本节课，我们是如何研究一次函数、指数函数和对数函数的增长差异的？掌握不同函数的增长差异，有什么现实意义？掌握了不同函数增长的差异，就可以根据现实问题的变化情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．目标检测三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：1x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是________．y2目标检测如下图，（1）（2）（3）分别是函数y＝3x和y＝5x在不同范围的图象，借助计算工具估算出使3x＞5x的x的取值范围（精确到0.01）．2答案：（－∞，0.27）∪（2.17，＋∞）．目标检测如图，对数函数y＝lgx的图象与一次函数y＝f(x)的图象有A，