第4章 结构位移计算与虚功-能量法简述

第6章结构位移计算与虚功-能量法简述6-1变形体虚功原理6-2变形体虚功原理的应用6-3刚体虚功原理的应用6-1虚功原理6-1-1虚位移虚力虚功虚位移：与对应的力无关的位移，△→FP虚力：与对应的位移无关的力，FP→△虚功：彼此无关的位移与力的乘积，FP

△△FP状态1状态26-1-2虚功原理适用条件1力系平衡条件分布荷载与截面内力之间的关系2变形协调条件wAuAuBwBuw变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。wM+dwMwMwqwq+dwqdxuu+duw1：由剪切变形引起的竖向位移w2：由弯曲变形引起的竖向位移6-1-2变形体虚功原理的证明将含有“dx”的项合并，得由力的平衡方程：得根据公式（c）式积分号中第一项代入式（c），得d(uw)=udw+wdu得将式（d）第一项积分号去掉，得将式（e）第一项上下限代入，并考虑，得杆端力做的虚功分布力做的虚功截面内力做的虚功虚功原理变形体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。FR1FP1FP2FP3FP4FP5FR2FR3FP6FP1FP2FP3FP4FP5FP6FR1FR2FR3推广支座反力做的虚功各杆端力做的虚功之和结点集中力做的虚功杆系结构的虚功方程将式（f）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其它项对各杆件求和，得则若考虑6-2-1荷载作用时的位移计算虚功原理的一般公式6-2变形体虚功原理的应用1位移计算公式的推导内力虚功外力虚功位移状态△虚设单位力状态1得单位荷载法求位移对于线弹性材料位移公式变成：△的物理意义：单位力在位移△上所做的虚功，在数值上等于位移。■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移■对于桁架：只有轴力■对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相近时，需考虑弯曲和轴向变形两项。各类结构的计算公式简化已知：各杆EA相同，求：FPaaABCDABCD1【例】【解】ABCD1例杆件EI=常数。试求解qlAx例各杆EI为常数。求解aaABCqqa2/2MP图x1x2a2图乘法

（1）图乘法基本公式yy0MP图图dxABxx0dAMP条件：1各杆EI为常数；

2杆轴为直线；

3MP、中至少有一个为直线图形。积分等于曲线图形的面积乘以其形心对应的直线图形的纵坐标。yy0MP图图dxABxx0dAMP已知：EI为常数。求：解MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。MP图FPlFPlBAM图11解“-”说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反已知：EI=常数。求B点的转角。aaFPAB4EIEIEIMP图FPaM图11（2）图形的面积和形心ql2/8×ab3a/8b×aa/4图形的形心与面积一定要与荷载对应（3）图形的分解按图形分解y1y2A1××

A2+×A2×A1+×A2A1×y1y2y1y2按荷载分解y1y3y2M1M2M1M2M2M1＋＋×A1A2

××

A3

折线要分段y1y2A1

××A2

解★取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。已知：EI=常数。求△CVFPABl/2l/2CFPlMP图l/2M图解已知：EI=常数。求:△BVql/2qlABlM图MP图ql2MP图按荷载分解+ql2/2ql2/2MP图按叠加法分解lM图MP图ql2ql2/8+ql2已知：EI=常数。求:△CVlqlBAC解MP图按整个杆件的叠加法分解MP图按半个杆件的叠加法分解2ql22ql2ql2ql2/2+=2ql22ql2ql2/8ql2/2+=M图l/2MP图2ql2MP图按半个杆件的荷载分解M图l/2MP图2ql2qlql2/2ql2/2ql2/2+ql2+3相对位移计算解内力功

★求两点的相对位移：在两点的连线上加一对儿等值反向的单位力已知：EI=常数。求：外力功

lM图11ll/2l/2FPl△C△DFPl/4FPMP图解已知：各杆EI=常数。求：A、B两点之间的相对转角。1kNm8m8mABCDMP图(kNm)328M图1111已知：EI=常数。求：M图aaFPaFPa/2MP图FPFPa/2解6-4互等定理1功的互等定理FP1△11△21△12△22FP2状态1状态2第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功

=第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功令FP1=1

，FP2=1△12=△21位移互等定理

1位置上单位力引起2位置上的位移

=2位置上单位力引起1位置上的位移1△11△21△12△221状态1状态2推广1反力互等定理支座1的单位位移引起的支座2的反力

=支座2的单位位移引起的支座1的反力Fy1221△22=1