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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()A. B. C. D.2.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.若,的面积为,则()A.5 B. C.4 D.163.曲线在点处的切线方程为,则()A. B. C.4 D.84.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.5.数列的通项公式为.则“”是“为递增数列”的()条件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要6.已知集合,则()A. B.C. D.7.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B.(1,2), C. D.8.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.9.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()A. B.C.1 D.310.已知等差数列中,若,则此数列中一定为0的是()A. B. C. D.11.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B. C. D.12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.根据如图的算法,输出的结果是_________.14.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.15.过抛物线C:()的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若,则l的斜率为______.16.已知抛物线的焦点为,其准线与坐标轴交于点,过的直线与抛物线交于两点,若,则直线的斜率________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.18.(12分)已知函数.(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若对于任意恒成立,求的取值范围.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.20.(12分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.22.(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由题意得,再利用基本不等式即可求解.【详解】将平方得,(当且仅当时等号成立),,的最小值为,故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查基本不等式的应用,属于中档题.2.C【解析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选:C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.3.B【解析】
求函数导数,利用切线斜率求出,根据切线过点求出即可.【详解】因为,所以,故,解得,又切线过点,所以,解得,所以,故选:B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于中档题.4.B【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.5.A【解析】
根据递增数列的特点可知,解得,由此得到若是递增数列,则,根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”,则,即,化简得:,又,,,则是递增数列,是递增数列,“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选:.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.6.B【解析】
先由得或,再计算即可.【详解】由得或,,,又,.故选:B【点睛】本题主要考查了集合的交集,补集的运算,考查学生的运算求解能力.7.A【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.【详解】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,,离心率,,故选:.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.8.C【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.9.D【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.10.A【解析】
将已知条件转化为的形式,由此确定数列为的项.【详解】由于等差数列中,所以,化简得,所以为.故选:A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算,属于基础题.11.A【解析】=,当时时,单调递减,时,单调递增,且当,当,
当时,恒成立,时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.12.B【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.55【解析】
根据该For语句的功能,可得,可得结果【详解】根据该For语句的功能,可得则故答案为:55【点睛】本题考查For语句的功能,属基础题.14.【解析】
本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.15.【解析】
分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,根据抛物线定义和求得,从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,由抛物线的定义知,,,因为,所以,所以,即直线的倾斜角为,又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的倾斜角为,.故答案为:【点睛】此题考查抛物线的定义,根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解,属于较易题目.16.【解析】
求出抛物线焦点坐标,由,结合向量的坐标运算得,直线方程为,代入抛物线方程后应用韦达定理得,,从而可求得,得斜率.【详解】由得,即联立得解得或,∴.故答案为:.【点睛】本题考查直线与抛物线相交,考查向量的线性运算的坐标表示.直线方程与抛物线方程联立后消元,应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,可得圆心到直线的距离,再由勾股定理,计算即得.【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,可得曲线C:()的直角坐标方程为,表示以原点为圆心,半径为r的圆.由直线l的方程,化简得,则直线l的直角坐标方程方程为.记圆心到直线l的距离为d,则,又,即,所以.【点睛】本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,是基础题.18.(1)或;(2).【解析】
(1)时,分类讨论,去掉绝对值,分类讨论解不等式.(2)时,分类讨论去绝对值,得到解析式,由函数的单调性可得的最小值,通过恒成立问题,得到关于的不等式,得到的取值范围.【详解】(1)因为,所以,所以不等式等价于或或,解得或.所以不等式的解集为或.(2)因为,所以,根据函数的单调性可知函数的最小值为,因为恒成立,所以,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值,分段函数求最值,不等式恒成立问题,属于中档题.19.(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)设点,,则,代入化简得到答案.(Ⅱ)分别计算,的极坐标方程为,,取代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)设点,,,故,故的参数方程为:(为参数).(Ⅱ),故,极坐标方程为:;,故,极坐标方程为:.,故,,故.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.20.(1)(2)【解析】
(1)代入计算即可.(2)设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解:(1)因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为(2)由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.21.(1)(2)【解析】
(1)由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)把点极坐标化为直角坐标,直线的参数方程是过定点的标准形式,因此直接把参数方程代入曲线的方程,利用参数的几何意义求解.【详解】解:(1),则,∴,所以曲线的直角坐标方程为,即(2)点的直角坐标为,易知.设对应参数分别为将与联立得【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐
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