数学中的推理

§6.3.1数学中的推理一、推理的意义和结构

推理是从一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式。推理中常用到的逻辑联结词有：“因为……，所以……”；“由于……，因此……”；“由……，得……”等.已知判断新的判断1、什么是推理？结论前提例如：因为个位是0或5的整数能被5整除，275个位数字是5；所以

275能被5整除.2、推理的结构

每一个推理都由前提和结论两部分组成。所依据的已知判断叫做推理的前提，得出的新判断叫做推理的结论。一个正确的推理，必须是推理的前提真实，推理的形式有效。例1：因为负数大于0，-5是负数，所以-5大于0.不正确，前提不真实。例2：因为整数是有理数，分数是有理数，

所以整数是分数.不正确，形式错误。看看以下的推理是否正确？凡是正确的推理形式，就是推理的规则中学数学中常用的推理规则有：二、推理的规则注意：

规则6是逻辑上的一条演绎推理规则，它是作为公理提出来的，它保证了由全称命题真可以推出相应的特称命题真.在中学数学的推理中，还有一些逻辑恒真命题，它们都可以作为推理规则使用.例如：1、归纳推理

归纳推理，又称归纳法，它是从个别或特殊事物的判断扩大为同一类一般事物的判断的思维过程。归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。三、推理的种类特殊一般⑴完全归纳推理：也称完全归纳法，是根据某类事物中每一对象的情况或每一子类的情况，作出关于该类事物的一般性结论的推理。完全归纳推理的形式为：

完全归纳推理的每一个前提如果都是真实的，那么其结论一定正确，所以它是一种严格的推理方法，在数学中可以作为严格的推理方法.或

⑵不完全归纳推理：也称不完全归纳法，是根据某类事物中一部分对象的情况，作出关于该类事物的一般性结论的推理。完全归纳推理的一般形式为：结论的真实性需要理论的证明和实践的验证例如：费马素数猜想就是一个不完全归推理的例子.

2、类比推理类比推理，又称类比法，它是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。特殊特殊类比推理的一般形式是：或然性3、演绎推理演绎推理，又称演绎法，它是以某类事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、特殊判断的思维形式。一般特殊演绎推理的前提与结论间有着必然的联系，只要前提是真实的，推理符合推理规则(形式有效)，就一定能得到正确的结论.因此，它是一种论证推理，可以作为数学中严格的推理方法.演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论和关系推理，此外，还有选言推理、联言推理、假言推理等.

⑴三段论：

由两个包含着一个共同项的性质判断而推出一个新的性质判断的推理。其理论依据是“规则6”(演绎公理)，其一般形式为：三段论的结构包括大前提、小前提和结论三个性质判断.例如：数学中的三段论,为了叙述简便,常常略去一个前提(多半是大前提),有时甚至略去小前提只写出结论.设a,b,c表示对象，R表示关系(如“相等”、平行”、“大于”等关系).那么，两对象间的关系判断可表示为“aRb”.关系推理又可以分为直接关系推理和间接关系推理⑵关系推理：是根据对象间关系的逻辑联系（如对称、传递等）进行推演的推理形式。它的前提和结论都是关系判断。直接关系推理——从一个关系判断推出另一个关系判断称为直接关系推理.直接关系推理常见的有：若一个关系R具有对称性,称为对称关系推理.即若R具有反对称性，称为反对称性关系推理.即间接关系推理——由两个或两个以上的关系判断进行的