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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年浙江艺术职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且,则下列命题中正确命题的个数为(
)
①;
②
③;
④
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C2.如果直线l1,l2的斜率分别为二次方程x2-4x+1=0的两个根,那么l1与l2的夹角为()
A.
B.
C.
D.答案:A3.不等式的解集是(
)
A.(-∞,-1)∪(-1,2]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
D.(-1,2]答案:D4.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.a=(0,0),b=(1,-2)B.a=(1,-2),b=(2,-4)C.a=(3,5),b=(6,10)D.a=(2,-3),b=(6,9)答案:可以作为基底的向量需要是不共线的向量,A中一个向量是零向量,两个向量共线,不合要求B中两个向量是a=12b,两个向量共线,C项中的两个向量也共线,故选D.5.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件答案:C6.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.答案:(1)(2)解析:(1)设甲、乙考试合格分别为事件A、B,甲考试合格的概率为P(A)=,乙考试合格的概率为P(B)=.(2)A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P(AB++A)=×+×+×=.7.某学校高一、高二、高三共有学生3500人,其中高三学生数是高一学生数的两倍,高二学生数比高一学生数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生数为()
A.8
B.11
C.16
D.10答案:A8.把函数y=sin(x-)-2的图象经过按平移得到y=sinx的图象,则=(
)
A.
B.
C.
D.答案:A9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足FA+FB+FC=0,|FA|+|FB|+|FC|=6,则抛物线的方程为______.答案:设向量FA,FB,FC的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)由FA+FB+FC=0得x1+x2+x3=0∵XA=x1+p2,同理XB=x2+p2,XC=x3+p2∴|FA|=x1+p2+p2=x1+p,同理有|FB|=x2+p2+p2=x2+p,|FC|=x3+p2+p2=x3+p,又|FA|+|FB|+|FC|=6,∴x1+x2+x3+3p=6,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.故为:y2=4x.10.直线kx-y+1=3k,当k变动时,所有直线都通过定点[
]
A.(3,1)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(2,1)答案:A11.直线l1:x+3=0与直线l2:x+3y-1=0的夹角的大小为______.答案:由于直线l1:x+3=0的斜率不存在,故它的倾斜角为90°,直线l2:x+3y-1=0的斜率为-33,故它的倾斜角为150>,故这两条直线的夹角为60°,故为60°.12.螺母是由
______和
______两个简单几何体构成的.答案:根据螺母的结构特征知,是由正六棱柱里面挖去的一个圆柱构成的,故为:正六棱柱,圆柱.13.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两个变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表:
则哪位同学的实验结果体现A、B两个变量更强的线性相关性()
A.丙
B.乙
C.甲
D.丁答案:C14.某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下:
61
76
70
56
81
91
55
91
75
81
88
67
101
103
57
91
77
86
81
83
82
82
64
79
86
85
75
71
49
45
(Ⅰ)完成下面的频率分布表;
(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图,并写出频率分布直方图中a的值;
(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率.
分组频数频率[41,51)2230[51,61)3330[61,71)4430[71,81)6630[81,91)[91,101)[101,111)2230答案:(Ⅰ)如下图所示.
…(4分)(Ⅱ)如下图所示.…(6分)由己知,空气质量指数在区间[71,81)的频率为630,所以a=0.02.…(8分)分组频数频率………[81,91)101030[91,101)3330………(Ⅲ)设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”,由己知,质量指数在区间[91,101)内的有3天,记这三天分别为a,b,c,质量指数在区间[101,111)内的有2天,记这两天分别为d,e,则选取的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件数为10.…(10分)事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为:(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件数为7,…(12分)所以P(A)=710.…(13分)15.能较好地反映一组数据的离散程度的是()
A.众数
B.平均数
C.标准差
D.极差答案:C16.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2004的值为()
A.1B.2C.4D.5答案:由于函数f(x)定义如下表:故数列{xn}满足:5,2,1,4,5,2,1,…是一个周期性变化的数列,周期为:4.∴x2004=x0=5.故选D.17.如图所示,已知A、B、C三点不共线,O为平面ABC外的一点,若点M满足
(1)判断三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.答案:解:(1)由已知,得,∴向量共面.(2)由(1)知向量共面,三个向量的基线又有公共点M,∴M、A、B、C共面,即点M在平面ABC内,18.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为______.答案:把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程,得x26+y24=1,∴这个椭圆的参数方程为:x=6cosθy=2sinθ,(θ为参数)∴x+2y=6cosθ+4sinθ,∴(x+2y)max=6+16=22.故为:22.19.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为______.答案:过A作AD⊥x轴于D,令FD=m,则FA=2m,p+m=2m,m=p.∴OA=(p2+p)2+(3p)2=212p.故为:212p20.将函数y=sin(x+)的图象按向量=(-m,0)平移所得的图象关于y轴对称,则m最小正值是
(
)
A.
B.
C.
D.答案:A21.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=______.答案:圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆的方程为:x2+y2=4x,圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,π3),所以P的直角坐标(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故为:23.22.已知两点P1(2,-1)、P2(0,5),点P在P1P2延长线上,且满足P1P2=-2PP2,则P点的坐标为______.答案:设分点P(x,y),P1(2,-1)、P2(0,5),∴P1P2=(-2,6),PP2=(-x,5-y),∵P1P2=-2PP2,∴(-2,6)=-2(-x,5-y)-2=-2x,6=2y-10,∴x=-1,y=8∴P(-1,8).23.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故此奇数(S)是3的倍数(P)”,上述推理是()
A.小前提错
B.结论错
C.正确的
D.大前提错答案:C24.将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本,则应从C中抽取样本的个数为______个.答案:由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36,故为:36.25.如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.答案:(1)二面角B—AD—F的大小为45°(2)直线BD与EF所成的角的余弦值为解析:(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知,ABFC是正方形,∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(3,0,0),D(0,-3,8),E(0,0,8),F(0,3,0),∴=(-3,-3,8),=(0,3,-8).cos〈,〉=
==-.设异面直线BD与EF所成角为,则cos=|cos〈,〉|=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.26.设F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.答案:双曲线x29-y216=1的a=3,c=5,不妨设PF1>PF2,则PF1-PF2=2a=6F1F22=PF12+PF22,而F1F2=2c=10得PF12+PF22=(PF1-PF2)2+2PF1•PF2=100∴PF1•PF2=32∴S=12PF1•PF2=16△F1PF2的面积16.27.x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为()
A.1
B.
C.
D.答案:C28.参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α为参数)∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为:x2+(y-1)2=1.故为:x2+(y-1)2=1.29.满足条件|2z+1|=|z+i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是______.答案:设复数z在复平面上对应点的坐标为(x,y),由|2z+1|=|z+i|可得(2x+1)2+(2y)2=(x)2+(y+1)2,化简可得x2+
y2+43x
=
0,表示一个圆,故为圆.30.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为:
第一步:取A=89,B=96,C=99;
第二步:______;
第三步:______;
第四步:输出计算的结果.答案:由题意,第二步,求和S=A+B+C,第三步,计算平均成绩.x=A+B+C3.故为:S=A+B+C;.x=A+B+C3.31.(理)在直角坐标系中,圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),以原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的圆心极坐标为______.答案:∵直角坐标系中,圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),∴x2+(y-2)2=4,∵以原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,∴圆心坐标(0,2),r=2∵0=pcosθ,∴θ=π2,又p=r=2,∴圆C的圆心极坐标为(2,π2),故为:(2,π2).32.如图,在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.答案:点A为y=0与x-2y+1=0两直线的交点,∴点A的坐标为(-1,0).∴kAB=2-01-(-1)=1.又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0,∴kAC=-1.∴直线AC的方程是y=-x-1.而BC与x-2y+1=0垂直,∴kBC=-2.∴直线BC的方程是y-2=-2(x-1).由y=-x-1,y=-2x+4,解得C(5,-6).∴点A和点C的坐标分别为(-1,0)和(5,-6)33.函数f(x)=x2+2的单调递增区间为
______.答案:如图所示:函数的递增区间是:[0,+∞)故为:[0,+∞)34.已知椭圆(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,b=4,离心率e=过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为()
A.10
B.12
C.16
D.20答案:D35.在程序语言中,下列符号分别表示什么运算*;\;∧;SQR;ABS?答案:“*”表示乘法运算;“\”表示除法运算;“∧”表示乘方运算;“SQR()”表示求算术平方根运算;“ABS()”表示求绝对值运算.36.若=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是()
A.(0,-3,1)
B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1)
D.(-2,3,-1)答案:D37.已知|log12x+4i|≥5,则实数x
的取值范围是______.答案:由题意,得(log12x)2+42≥5?|log12x|≥3?0<x≤18或x≥8.∴则实数x
的取值范围是0<x≤18或x≥8.故为:0<x≤18或x≥8.38.隋机变量X~B(6,),则P(X=3)=()
A.
B.
C.
D.答案:C39.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:D40.参数方程(0<θ<2π)表示()
A.双曲线的一支,这支过点(1,)
B.抛物线的一部分,这部分过(1,)
C.双曲线的一支,这支过点(-1,)
D.抛物线的一部分,这部分过(-1,)答案:B41.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2m的细杆的影子最长,则细杆与水平地面所成的角为()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°答案:B42.如图,已知⊙O的直径AB=5,C为圆周上一点,BC=4,过点C作⊙O的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则CD=______.
答案:如图,连接OC,由题意DC是切线可得出OC⊥DC,再过过A作AE⊥OC于E,故有四边形AECD是矩形,可得AE=CD又⊙O的直径AB=5,C为圆周上一点,BC=4,∴AC=3故S△AOC=12S△ABC=12×12×4×3=3又OC=52,故12×52×AE=3解得AE=125所以CD=125故为:125.43.如图所示,图中线条构成的所有矩形中(由6个小的正方形组成),其中为正方形的概率为
______.答案:它的长有10种取法,由长与宽的对称性,得到它的宽也有10种取法;因为,长与宽相互独立,所以得到长X宽的个数有:10X10=100个即总的矩形的个数有:100个长=宽的个数为:(1X1的正方形的个数)+(2X2的正方形个数)+(3X3的正方形个数)+(4X4的正方形个数)=16+9+4+1=30个即正方形的个数有:30个所以为正方形的概率是30100=0.3故为0.344.若点A(1,2,3),B(-3,2,7),且AC+BC=0,则点C的坐标为______.答案:设C(x,y,z),则AC+BC=(2x+2,2y-4,2z-10)=0,∴x=-1,y=2,z=5.故为(-1,2,5)45.(选做题)
曲线(θ为参数)与直线y=a有两个公共点,则实数a的取值范围是(
).答案:0<a≤146.从30个足球中抽取10个进行质量检测,说明利用随机数法抽取这个样本的步骤及公平性.答案:第一步:首先将30个足球编号:00,01,02…29,第二步:在随机数表中随机的选一个数作为开始.第三步:从选定的数字向右读,得到二位数字,将它取出,把大于29的去掉,,按照这种方法继续向右读,取出的二位数若与前面相同,则去掉,依次下去,就得到一个具有10个数据的样本.其公平性在于:第一随机数表中每一个位置上出现的哪一个数都是等可能的,第二从30个个体中抽到那一个个体的号码也是机会均等的,基于以上两点,利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是等可能的.47.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()
A.2-1
B.2-2
C.-1
D.-2答案:C48.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题,真命题的序号是______(写出所有真命题的序号)答案:由面面平行的判定定理可知,(1)正确.由线面平行的判定定理可知,(2)正确.对于(3)来说,α内直线只垂直于α和β的交线l,得不到其是β的垂线,故也得不出α⊥β.对于(4)来说,l只有和α内的两条相交直线垂直,才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话,l不一定垂直于α.49.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为()
A.0
B.-8
C.2
D.10答案:B50.若圆O1方程为(x+1)2+(y+1)2=4,圆O2方程为(x-3)2+(y-2)2=1,则方程(x+1)2+(y+1)2-4=(x-3)2+(y-2)2-1表示的轨迹是()
A.经过两点O1,O2的直线
B.线段O1O2的中垂线
C.两圆公共弦所在的直线
D.一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案:D第2卷一.综合题(共50题)1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)答案:A2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•2•…•(2n-1)”(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的式子是______.答案:当n=k时,左边等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),当n=k+1时,左边等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1),故为:2(2k+1).3.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于()
A.
B.
C.
D.答案:A4.以知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为______.答案:∵A点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),∴由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.故为95.(选做题)已知x+2y=1,则x2+y2的最小值是______.答案:x2+y2表示(0,0)到x+2y=1上点的距离的平方∴x2+y2的最小值是(0,0)到x+2y=1的距离d的平方据点到直线的距离公式得d=11+4=15∴x2+y2的最小值是15故为156.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是()A.y2=12xB.y2=8xC.y2=6xD.y2=4x答案:设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义,x1+x2+p=8,∵AB的中点到y轴的距离是2,∴x1+x22=2,∴p=4;∴抛物线方程为y2=8x故选B7.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若有99.5%的把握说事件A和B有关系,则具体计算出的数据应该是()
A.K2≥6.635
B.K2<6.635
C.K2≥7.879
D.K2<7.879答案:C8.复数(12+32i)3i的值为______.答案:(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+
isinπ2=cosπ2+isinπ2=i,故为:i.9.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:
①计算c=a2+b2;
②输入直角三角形两直角边长a,b的值;
③输出斜边长c的值;
其中正确的顺序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③答案:由算法规则得:第一步:输入直角三角形两直角边长a,b的值,第二步:计算c=a2+b2,第三步:输出斜边长c的值;这样一来,就是斜边长c的一个算法.故选D.10.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为()A.10B.8C.6D.不确定答案:根据椭圆的定义,可知动点P到两焦点距离之和为2a=8,故选B.11.在极坐标系中,过点p(3,)且垂直于极轴的直线方程为()
A.Pcosθ=
B.Psinθ=
C.P=cosθ
D.P=sinθ答案:A12.计算机的程序设计语言很多,但各种程序语言都包含下列基本的算法语句:______,______,______,______,______.答案:计算机的程序设计语言很多,但各种程序语言都包含下列基本的算法语句:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句.故为:输入语句,输出语句,赋值语句,条件语句,循环语句.13.命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是
______.答案:∵ab=0的否命题是ab≠0,a、b中至少有一个为零的否命题是a≠0,且b≠0,∴命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是“若a≠0,且b≠0,则ab≠0.”故:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.14.在半径为R的球内作一内接圆柱,这个圆柱的底面半径和高为何值时,它的侧面积最大?并求此最大值.答案:解
如图,设内接圆柱的高为h,圆柱的底面半径为r,则h2+4r2=4R2因为h2+4r2≥4rh,当且仅当h=2r时取等.所以4R2≥4rh,即rh≤R2所以,S侧=2πrh≤2πR2,当且仅当h=2r时取等.又因为h2+4r2=4R2,所以r=22R,h=2R时取等综上,当内接圆柱的底面半径为22R,高为2R时,它的侧面积最大,为2πR215.函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=______.答案:设切点为(x0,y0),∵y′=2ax,∴k=2ax0=1,①又∵点(x0,y0)在曲线与直线上,即y0=ax20+1y0=x0,②由①②得a=14.故为14.16.点(1,-1)在圆(x-a)2+(y-a)2=4的内部,则a取值范围是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.a<-1或a>1
D.a≠±1答案:A17.,不等式恒成立的否定是
▲
答案:,不等式成立解析::,不等式成立点评:本题考查推理与证明部分命题的否定,属于容易题18.已知向量a=(2,0),b=(1,x),且a、b的夹角为π3,则x=______.答案:由两个向量的数量积的定义、数量积公式可得a?b=2+0=21+x2cosπ3=21+x2=12,x2=3,∴x=±3,故为±3.19.已知x、y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且
y=0.95x+
a,则
a的值等于()A.2.6B.6.3C.2D.4.5答案:∵.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∵y与x线性相关,且y=0.95x+a,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选A.20.已知
|x|<a,|y|<a.求证:|xy|<a.答案:证明:∵0<|x|<a,0<|y|<a∴由不等式的性质,可得|xy|<a21.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()
A.
B.
C.
D.答案:B22.命题“零向量与任意向量共线”的否定为______.答案:命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”,是全称命题,其否定为特称命题:“有的向量与零向量不共线”.故为:“有的向量与零向量不共线”.23.写出下列命题非的形式:
(1)p:函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点;
(2)q:若x=3或x=4,则方程x2-7x+12=0.答案:(1)函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点.(2)若x=3或x=4,则x2-7x+12≠0.24.若集合S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形答案:D25.已知x、y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,且回归方程为y=0.95x+a,则a=______.答案:点(.x,.y)在回归直线上,计算得.x=2,.y=4.5;代入得a=2.6;故为2.6.26.已知a>b>0,则3a,3b,4a由小到大的顺序是______.答案:由于指数函数y=3x在R上是增函数,且a>b>0,可得3a>3b.由于幂函数y=xa在(0,+∞)上是增函数,故有3a<4a,故3a,3b,4a由小到大的顺序是3b<3a<4a.,故为3b<3a<4a.27.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是()
①若K2的观测值满足K2≥6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;
③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误.
A.①
B.①③
C.③
D.②答案:C28.三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是()A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0,由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1∴b<a<c故选C29.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为
______.答案:由题意知,直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,∴2=|b|2,解得b=±2.故为:±2.30.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛,它们都参加了全部的7场比赛,平均得分均为16分,标准差分别为5.09和3.72,则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中,发挥得更稳定的是()
A.甲
B.乙
C.甲、乙相同
D.不能确定答案:B31.设、、是三角形的边长,求证:
≥答案:证明见解析解析:证明:由不等式的对称性,不防设≥≥,则≥左式-右式≥≥≥032.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()
A.
B.3
C.
D.答案:A33.i是虚数单位,若(3+5i)x+(2-i)y=17-2i,则x、y的值分别为()
A.7,1
B.1,7
C.1,-7
D.-1,7答案:B34.已知a=20.5,,,则a,b,c的大小关系是()
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>b>a
D.c>a>b答案:B35.某车间工人已加工一种轴100件,为了了解这种轴的直径,要从中抽出10件在同一条件下测量(轴的直径要求为(20±0.5)mm),如何采用简单随机抽样方法抽取上述样本?答案:本题是一个简单抽样,∵100件轴的直径的全体是总体,将其中的100个个体编号00,01,02,…,99,利用随机数表来抽取样本的10个号码,可以从表中的第20行第3列的数开始,往右读数,得到10个号码如下:16,93,32,43,50,27,89,87,19,20将上述号码的轴在同一条件下测量直径.36.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足FA+FB+FC=0,|FA|+|FB|+|FC|=6,则抛物线的方程为______.答案:设向量FA,FB,FC的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)由FA+FB+FC=0得x1+x2+x3=0∵XA=x1+p2,同理XB=x2+p2,XC=x3+p2∴|FA|=x1+p2+p2=x1+p,同理有|FB|=x2+p2+p2=x2+p,|FC|=x3+p2+p2=x3+p,又|FA|+|FB|+|FC|=6,∴x1+x2+x3+3p=6,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.故为:y2=4x.37.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中具有初级职称的职工为10人,则样本容量为()
A.10
B.20
C.40
D.50答案:C38.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形答案:D39.关于x的不等式(k2-2k+)x(k2-2k+)1-x的解集是()
A.x>
B.x<
C.x>2
D.x<2答案:B40.函数y=ax2+a与(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:D41.算法框图中表示判断的是()A.
B.
C.
D.
答案:∵在算法框图中,表示判断的是菱形,故选B.42.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是(
)g。答案:161.8或138.243.四支足球队争夺冠、亚军,不同的结果有()
A.8种
B.10种
C.12种
D.16种答案:C44.两名女生,4名男生排成一排,则两名女生不相邻的排法共有______
种(以数字作答)答案:由题意,先排男生,再插入女生,可得两名女生不相邻的排法共有A44?A25=480种故为:48045.大家知道,在数列{an}中,若an=n,则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n,若an=n2,则
sn=12+22+32+…+n2=13n3+12n2+16n,于是,猜想:若an=n3,则sn=13+23+33+…+n3=an4+bn3+cn2+dn.
问:(1)这种猜想,你认为正确吗?
(2)不管猜想是否正确,这个结论是通过什么推理方法得到的?
(3)如果结论正确,请用数学归纳法给予证明.答案:(1)猜想正确;(2)这是一种类比推理的方法;(3)由类比可猜想,a=14,n=1时,a+b+c+d=1;n=2时,16a+8b+4c+d=9;n=3时,81a+27b+9c+d=36故解得a=14,b=12,c=14,∴sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2用数学归纳法证明:①n=1时,结论成立;②假设n=k时,结论成立,即13+23+33+…+k3=14k4+12k3+14k2=[k(k+1)2]2则n=k+1时,左边=13+23+33+…+k3+(k+1)3=14k4+12k3+14k2+(k+1)3=[k(k+1)2]2+(k+1)3=(k+12)2(k2+4k+4)=[(k+1)(k+2)2]2=右边,结论成立由①②可知,sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2,成立46.已知x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2的最小值是______.答案:由题意可得P(x,y,z),在以M(3,4,0)为球心,2为半径的球面上,x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方,显然当O,P,M共线且P在O,M之间时,|OP|最小,此时|OP|=|OM|-2=32+42-2=52,所以|OP|2=27-102.故为:27-102.47.(选做题)方程ρ=cosθ与(t为参数)分别表示何种曲线(
)。答案:圆,双曲线48.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,的角平分线的延长线交它的外接圆于点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若的面积,求的大小.答案:(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)90°解析:本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.证明:(Ⅰ)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE.则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论,解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择,同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.49.如图,在空间直角坐标系中,已知直三棱柱的顶点A在x轴上,AB平行于y轴,侧棱AA1平行于z轴.当顶点C在y轴正半轴上运动时,以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是()
A.该三棱柱主视图的投影不发生变化
B.该三棱柱左视图的投影不发生变化
C.该三棱柱俯视图的投影不发生变化
D.该三棱柱三个视图的投影都不发生变化
答案:B50.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表:
表1:
x123f(x)231表2:
x123g(x)321则方程g[f(x)]=x的解集为______.答案:由题意得,当x=1时,g[f(1)]=g[2]=2不满足方程;当x=2时,g[f(2)]=g[3]=1不满足方程;x=3,g[f(3)]=g[1]=3满足方程,是方程的解.故为:{3}第3卷一.综合题(共50题)1.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为______cm2.答案:∵圆柱的底面直径和高都是4cm,∴圆柱的底面圆的周长是2π×2=4π∴圆柱的侧面积是4π×4=16π,故为:16π.2.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于(
)
A.2
B.1
C.0
D.-1答案:D3.指数函数y=ax的图象经过点(2,16)则a的值是()A.14B.12C.2D.4答案:设指数函数为y=ax(a>0且a≠1)将(2,16)代入得16=a2解得a=4所以y=4x故选D.4.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ______(结果用最简分数表示).答案:用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,ξ可取0,1,2,当ξ=0时,表示没有选到女生;当ξ=1时,表示选到一个女生;当ξ=2时,表示选到2个女生,∴P(ξ=0)=C25C27=1021,P(ξ=1)=C15C12C27=1021,P(ξ=2)=C22C27=121,∴Eξ=0×1021+1×1021+2×121=47.故为:475.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为()A.103NB.10
NC.20
ND.102N答案:设向F1,F2的对应向量分别为OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB如图,则OC=OA+OB,对应力F1,F2的合力∵F1,F2的夹角为90°,∴四边形OACB是矩形在Rt△OAC中,∠COA=30°,|OC|=20∴|OA|=|OC|cos30°=103故选:A6.如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为()
A.
B.
C.
D.2答案:C7.一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示,则该几何体的侧面积等于()A.3B.6C.23D.2答案:由正视图知:三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱,侧面积为3×2×1=6,故为:B.8.有一农场种植一种水稻在同一块稻田中连续8年的年平均产量如下:(单位:kg)
450
430
460
440
450
440
470
460;
则其方差为()
A.120
B.80
C.15
D.150答案:D9.在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测,检测结果表示为如图所示的频率分布直方图,则车速不小于90km/h的汽车有辆.()A.60B.90C.120D.150答案:频率=频率组距×组距=(0.02+0.01)×10=0.3,频数=频率×样本总数=200×0.3=60(辆).故选A.10.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得0分,假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得300分的概率为
;这名同学至少得300分的概率为
.答案:0.228;0.564解析:得300分可能是答对第一、三题或第二、三题,其概率为0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228;答对4道题可得400分,其概率为0.8×0.7×0.6=0.336,所以至少得300分的概率为0.228+0.336=0.564。11.如图,海中有一小岛,周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A地出发由西向东航行,望见小岛B在北偏东75°,航行8海里到达C处,望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有没有触礁的危险?答案:在△ABC中,∵∠BAC=15°,∠ACB=150°,AC=8,可得:∠ABC=15°.∴BC=8,过B作AC的垂线垂足为D,在△BCD中,可得BD=BC?sin30°=4.∵4>3.8,∴没有危险.12.已知|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°,则|2a+b|=______.答案:∵|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°,∴a?b=|a|×|b|cos60°=1由此可得(2a+b)2=4a2+4a?b+b2=4×12+4×1+22=12∴|2a+b|=(2a+b)2=23故为:2313.一个公司共有240名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本.已知某部门有60名员工,那么从这一部门抽取的员工人数是______.答案:每个个体被抽到的概率是
20240=112,那么从甲部门抽取的员工人数是60×112=5,故为:5.14.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点.试根据这一定义,证明下列命题:若直线y=kx+b(k≠0)经过点M(2,1),则此直线不能经过两个有理点.答案:证明:假设此直线上有两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1、y1、x2、y2均为有理数,则有y1=kx1+b,y2=kx2+b,两式相减,得y1-y2=k(x1-x2).∵斜率k存在,∴x1≠x2,得k=y1-y2x1-x2.而有理数经过四则运算后还是有理数,故k为有理数.又由y1=kx1+b知,b也是有理数.又∵点M(2,1)在此直线上,∴1=2k+b,于是有2=1-bk(k≠0).此式左端为无理数,右端为有理数,显然矛盾,故此直线不能经过两个有理点.15.若=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则•(+)=()
A.4
B.15
C.7
D.3答案:D16.若log
23(x-2)≥0,则x的范围是______.答案:由log
23(x-2)≥0=log231,可得0<x-2≤1,解得2<x≤3,故为(2,3].17.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰三角形,腰AB=AC=1,如图,则平面图形的实际面积为()
A.1
B.2
C.
D.
答案:A18.下列对一组数据的分析,不正确的说法是()
A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定答案:B19.不等式|x-500|≤5的解集是______.答案:因为不等式|x-500|≤5,由绝对值不等式的几何意义可知:{x|495≤x≤505}.故为:{x|495≤x≤505}.20.设U={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈R},M={(x,y)|x|+|y|≤1,x,y∈R},现有一质点随机落入区域U中,则质点落入M中的概率是()A.2πB.12πC.1πD.2π答案:满足条件U={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈R}的圆,如下图示:其中满足条件M={(x,y)|x|+|y|≤1,x,y∈R}的平面区域如图中阴影所示:则圆的面积S圆=π阴影部分的面积S阴影=2故质点落入M中的概率概率P=S阴影S正方形=2π故选D21.三棱锥P-ABC中,M为BC的中点,以为基底,则可表示为()
A.
B.
C.
D.答案:D22.已知非零向量,若与互相垂直,则=(
)
A.
B.4
C.
D.2答案:D23.在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sinax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是()
A.
B.
C.
D.
答案:D24.抛物线y2=8x的焦点坐标是______答案:抛物线y2=8x,所以p=4,所以焦点(2,0),故为(2,0)..25.集合{1,2,3}的真子集总共有()A.8个B.7个C.6个D.5个答案:集合{1,2,3}的真子集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.故选B.26.写出系数矩阵为1221,且解为xy=11的一个线性方程组是______.答案:由题意得:线性方程组为:x+2y=32x+y=3解之得:x=1y=1;故所求的一个线性方程组是x+2y=32x+y=3故为:x+2y=32x+y=3.27.若对n个向量a1,a2,…,an,存在n个不全为零的实数k1,k2…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.k1,k2,k3的值分别是______(写出一组即可).答案:设a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.则存在实数,k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0∵a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)∴k1+k2+2k3=0,且-k2+2k3=0令k3=1,则k2=2,k1=-4故为:-4,2,128.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=2a,a∈A},则A∩B=()A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1,4}答案:B={0,2,4},∴A∩B={0,2},故选C29.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则
∠DBE=______.答案:连接BC,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切线,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故为:∠DBE=55°.30.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.答案:根据柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时,(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值为18因此,3a+1+3b+1+3c+1的最大值为18=3231.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足FA+FB+FC=0,|FA|+|FB|+|FC|=6,则抛物线的方程为______.答案:设向量FA,FB,FC的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)由FA+FB+FC=0得x1+x2+x3=0∵XA=x1+p2,同理XB=x2+p2,XC=x3+p2∴|FA|=x1+p2+p2=x1+p,同理有|FB|=x2+p2+p2=x2+p,|FC|=x3+p2+p2=x3+p,又|FA|+|FB|+|FC|=6,∴x1+x2+x3+3p=6,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.故为:y2=4x.32.某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动,现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球(球的大小相同).参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回),公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元),并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会),求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元.答案:设ξ表示摸球后所得的奖金数,由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0,当摸到球上标有数字0时,可以再摸一次,但奖金数减半,即分别为500,400,300,0.则ξ的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0.依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=14,P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=116,则ξ的分布列为∴所求期望值为Eξ=14(1000+800+600)+116(500+400+300+0)=675元.33.直三棱柱ABC-A1B1C1
中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=______.答案:向量加法的三角形法则,得到A1B=A1C+CB=A1C1+C1C+CB=-CA-CC1+CB=-a-c+b.故为:-a-c+b.34.集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=______.答案:根据题意,若A∩B={2},则2∈A,2∈B,而已知A={3,2a},则必有2a=2,故a=1,又由2∈B,且a=1则b=2,故A∪B={1,2,3},故为{1,2,3}.35.双曲线x2-4y2=4的两个焦点F1、F2,P是双曲线上的一点,满足·=0,则△F1PF2的面积为()
A.1
B.
C.2
D.答案:A36.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)37.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为______.答案:方程x2+my2=1变为x2+y21m=1∵焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴1m=2,解得m=14故应填1438.已知函数f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.在函数①f1(x)=x,②f2(x)=x,③f3(x)=x2中,其中______是“保三角形函数”.(填上正确的函数序号)答案:f1(x),f2(x)是“保三角形函数”,f3(x)不是“保三角形函数”.任给三角形,设它的三边长分别为a,b,c,则a+b>c,不妨假设a≤c,b≤c,由于a+b>a+b>c>0,所以f1(x),f2(x)是“保三角形函数”.对于f3(x),3,3,5可作为一个三角形的三边长,但32+32<52,所以不存在三角形以32,32,52为三边长,故f3(x)不是“保三角形函数”.故为:①②.39.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为______.答案:∵A(2,3)是直线a1x+b1y+1=0
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