概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案_百度

1、 （2）正态分布 N (µ, 2 ； （3）对数正态分布 LN (µ, 2 解： （1）因 X 服从区间 (a, b上的均匀分布， 则 0.5 = P X x0.5 = Pa < X x0.5 = 故中位数 x0.5 = a + 0.5(b a = （2）因 X 服从正态分布 N (µ, 2 ， x0.5 a ， ba a+b ； 2 x µ x µ =0， 则 0.5 = P X x0.5 = F ( x0.5 = 0.5 ，即 0.5 故中位数 x0.5 = µ； （3）因 X 服从对数正态分布 LN (µ, 2

2、，有 ln X 服从正态分布 N (µ, 2 ， ln x0.5 µ ln x0.5 µ =0， 则 0.5 = P X x0.5 = Pln X ln x0.5 = F (ln x0.5 = ，即 故中位数 x0.5 = e µ 4 设 X Ga ( , ，对 k = 1, 2, 3，求µ k = E (X k 与 k = E X E (X k 解：因 Ga ( , 的密度函数为 1 x x e , x 0, p X ( x = ( x < 0. 0, 由正则性知 + + + ( 1 x x e dx = 1 ，可得 x 1 e x d

3、x = ， 0 ( 0 故 µ1 = 0 x 1 x + x ( + 1 x e dx = x e dx = = ； ( ( 0 ( +1 1 x + +1 x ( + 2 ( + 1 e = = x e dx = x dx ； ( ( 0 ( + 2 2 1 x + + 2 x ( + 3 ( + 1( + 2 e = = x e dx = x dx ； ( ( 0 ( + 3 3 µ2 = µ3 = + 0 x2 + 0 x3 1 = E X E (X = 0； ( + 1 2 2 = 2 ； 2 ( + 1( + 2 ( + 1 3 2 3 2 + = 3

4、= E X E ( X 3 = µ 3 3µ 2 µ1 + 2µ13 = 3 2 3 3 5 设 X Exp(，对 k = 1, 2, 3, 4，求µ k = E (X k 与 k = E X E (X k ，进一步求此分布的变异系数、偏 2 = E X E ( X 2 = µ 2 µ12 = 度系数和峰度系数 解：因 X 的密度函数为 e x , x 0, p X ( x = x < 0. 0, 41 且 k 为正整数时， 故 µ1 = + 0 + 0 x k 1 e x dx = + (k k = (k

5、1! k 1 ， ； x e x dx = 0 x e x dx = 2 = 2! 1 = = = µ 2 = x 2 e x dx = x 2 e x dx = 0 0 + + 2 3 2 6 ； ； ； µ 3 = x 3 e x dx = x 3 e x dx = 0 0 + + 3! 4 3 24 µ 4 = x 4 e x dx = x 4 e x dx = 0 0 + + 4! 1 5 4 1 = E X E (X = 0； 2 = E X E ( X 2 = µ 2 µ12 = 2 2 1 2 = 2 6 3 ； 3 = E X

6、E ( X 3 = µ 3 3µ 2 µ1 + 2µ13 = 3 2 2 1 4 +2 4 1 6 3 = 1 2 3 ； 4 = E X E ( X 4 = µ 4 4 µ 3 µ1 + 6µ 2 µ12 3µ14 = 变异系数 C v ( X = 24 3 +6 2 2 1 2 3 1 4 = 9 3 ； Var( X E( X =2； = 2 =1； µ1 偏度系数 1 = 3 ( 2 3 / 2 峰度系数 2 = 4 3=93=6 ( 2 2 6 设随机变量 X 服从正态分布

7、N (10, 9，试求 x0.1 和 x0.9 x 10 x 10 解：因 F ( x 0.1 = 0.1 = 1.2816 ，故 x0.1 = 6.1552； = 0.1 ，得 0.1 3 3 x 10 x 10 又因 F ( x 0.9 = 0.9 = 1.2816 ，故 x0.9 = 13.8448 = 0.9 ，得 0.9 3 3 x 10 x 0.1 10 = 1.28 ，故 x0.1 = 6.16； 0.9 = 1.28 ，故 x0.9 = 13.84） 3 3 7 设随机变量 X 服从双参数韦布尔分布，其分布函数为 （或查表可得 m x F ( x = 1 exp , x>

8、0， 其中 > 0, m > 0试写出该分布的 p 分位数 xp 的表达式，且求出当 m = 1.5, = 1000 时的 x0.1 , x0.5 , x0.8 的值 xp 解：因 F ( x p = 1 exp 故 x p = ln(1 p m ； 1 m = p， 42 当 m = 1.5, = 1000 时， x 0.1 = 1000( ln 0.9 1 1.5 1 = 223.0755 ； x 0.5 = 1000( ln 0.5 1 1.5 = 783.2198 ； x 0.8 = 1000( ln 0.2 1.5 = 1373.3550 8 自由度为 2 的 2 分布的

9、密度函数为 p ( x = 1 2 e , 2 x x>0， 试求出其分布函数及分位数 x0.1 , x0.5 , x0.8 解：设 X 服从自由度为 2 的 2 分布， 当 x < 0 时，F (x = PX x = P ( = 0， 当 x 0 时， F ( x = P X x = 故 X 的分布函数为 x 1 e 2 , x 0, F ( x = x < 0. 0, x 1 2 e du = ( e 2 = 1 e 2 ； 2 0 u u x x 0 因 F (x p = 1 e xp 2 = p ，有 xp = 2 ln (1 p， 故 x0.1 = 2 ln 0.9

10、 = 0.2107；x0.5 = 2 ln 0.5 = 1.3863；x0.8 = 2 ln 0.2 = 3.2189 9 设随机变量 X 的分布密度函数 p(x 关于 c 点是对称的，且 E (X 存在，试证 （1）这个对称点 c 既是均值又是中位数，即 E (X = x0.5 = c； （2）如果 c = 0，则 xp = x1 p 证：设 f (x = p (x + c，因 p (x 关于 c 点对称，有 f (x 为偶函数， （1） E ( X = xp( xdx = ( x c p ( xdx + cp( xdx = up (u + cdu + c = uf (u du + c +

11、+ + + + = 0 + c = c； 因 f (x 为偶函数，有 则 F (c = c 0 0 f ( xdx = 1 + f ( xdx = 0.5 ， 2 0 p( x dx = p (u + cdu = f (u du = 0.5 ，可得 x0.5 = c； 故 E (X = x0.5 = c； （2）如果 c = 0，有 p (x 为偶函数， 则 F (x p = xp p ( xdx = xp + p(u (du = + xp p(u du = 1 xp p(u du = 1 F ( x p = p ， 可得 F (xp = 1 p， 故 xp = x1 p ，即 xp = x1

12、 p 10试证随机变量 X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，即对任意的实数 a, b (b 0， Y = a + b X 与 X 有相同的偏度系数与峰度系数 证：因 Y = a + bX，有 E (Y = E (a + bX = a + bE (X ，可得 Y E (Y = a + b X a bE (X = bX E (X ， 则 2 (Y = E Y E (Y 2 = Eb2X E (X 2 = b2 E X E (X 2 = b2 2 (X ， 3 (Y = E Y E (Y 3 = Eb3X E (X 3 = b3 E X E (X 3 = b3 3 (X ， 4 (Y

13、 = E Y E (Y 4 = Eb4X E (X 4 = b4 E X E (X 4 = b4 4 (X ， 故偏度系数 1 (Y = 3 (Y 2 (Y 3/ 2 = b 3 3 ( X b 2 ( X 2 3/ 2 = b 3 3 ( X b 2 ( X 3 3/ 2 = 3 (X 2 ( X 3 / 2 = 1 ( X ； 43 峰度系数 2 (Y = b 4 4 ( X b 4 4 ( X 4 (Y (X 3 = 3 = 3= 4 3 = 2 (X 2 2 2 4 2 2 (Y b 2 ( X b 2 ( X 2 ( X 2 11设某项维修时间 T（单位：分）服从对数正态分布 LN

14、(µ, 2 （1）求 p 分位数 tp； （2）若µ = 4.127，求该分布的中位数； （3）若µ = 4.127， = 1.0364，求完成 95%维修任务的时间 解： （1）因 T 服从对数正态分布 LN (µ, 2 ，有 ln T 服从正态分布 N (µ, 2 ， ln t p µ ln t p µ 则 p = PT t p = Pln T ln t p = = u p ，ln tp = µ + up， ，即 故 tp = e µ + u p ； （2）中位数 t0.5 = e µ +

15、u0.5 = e 4.1271+0 = 61.9979 ； （3） t0.95 = e µ + u0.95 = e 4.1271+1.0364×1.6449 = 340.9972 12某种绝缘材料的使用寿命 T（单位：小时）服从对数正态分布 LN (µ, 2 若已知分位数 t0.2 = 5000 小 时，t0.8 = 65000 小时，求µ 和 解：因 T 服从对数正态分布 LN (µ, 2 ，有 ln T 服从正态分布 N (µ, 2 ， 由第 11 题可知 t p = e µ + u p ， 则 t0.2 = e µ + u0.2 = e µ 0.8416 = 5000 ， t0.8 = e µ + u0.8 = e µ +0.8416 = 65000 ， 可得µ 0.8416 = ln 5000 = 8.5172，µ + 0.8416 = ln 65000 = 11.0821， 故µ = 9.7997， = 1.5239 13某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的 5