山西省忻州市五寨县第四中学2021年高三数学理联考试卷含解析

山西省忻州市五寨县第四中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有件产品编号从到,现在从中抽取件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为(

)

A．

B．C．

D．参考答案：D解析：间隔为

2.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tanα的值，再利用二倍角公式求得的值．【详解】由题，则故故选：A【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．3.是函数为奇函数的（

）．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知集合P={1，2}，Q={z|z=x+y；x,y}，则集合Q为

（）(A){1,2，3}

(B){2,3,4}

(C){3，4，5}

(D){2，3}参考答案：B5.已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．6.已知实数x，y满足不等式组，若的最小值为9，则实数a的值等于（

）A.3 B.5 C.8 D.9参考答案：B【分析】先由不等式组画出可行域，再画出目标函数确定在点取得最小值，代入求解出即可.【详解】解：如图，画出不等式组代表的可行域如图中阴影部分因为，可画出目标函数所代表直线如图中虚线所示，且过点A处目标函数最小由，解得代入目标函数，得故选：B.

【点睛】本题考查了简单线性规划，目标函数中含有参数时可先观察其所代表的直线特点画出其可能的图像，然后分析其最优解.7.已知为虚数单位，复数，则A.

B.

C.

D.参考答案：C8.（5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．9.已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2=2，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为AB，AD的中点，O为坐标原点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A．[﹣5，5] B．[﹣，5] C．[﹣5，] D．[﹣]参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，==5.=1．由已知可得=0，，因此==﹣5，由于∈[0，π]，即可得出．【解答】解：如图所示，==5．=1．∵，∴=0，∵，∴=?=+==﹣=﹣5，∵∈[0，π]，∴∈[﹣5，5]．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的标准方程、向量三角形法则、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.通过全国人口普查工作，得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示：那么在一个总人口数为200万的城市中，年龄在[20，60）之间的人大约有A.

58万B.

66万C.

116万D.

132万参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.己知全集，集合，，则

.参考答案：略12.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：13.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于

.参考答案：1314.在三棱锥P-ABC中，PB=6，AC=3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为

．参考答案：815.在直三棱柱中，的中点，给出如下三个结论：①②③平面，其中正确结论为

（填序号）参考答案：①②③

略16.(极坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线截圆C所得弦长为

．参考答案：17.给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是．参考答案：③④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；阅读型；三角函数的图像与性质．分析：若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，即可判断①；由y=cosx的减区间，结合正弦函数的图象，即可判断②；计算f（x）+f（﹣x），即可判断③；运用二倍角公式，化简整理，再由余弦函数奇偶性和值域和二次函数的最值求法，即可判断④；运用周期函数的定义，计算f（x+），即可判断⑤．解答：解：对于①，若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，则sinA＞cosB，即①错；对于②，由于区间（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）为y=cosx的减区间，但sinx＞0，即②错；对于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，则函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称，即③对；对于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，则cosx=﹣时，f（x）取得最小值，cosx=1时，f（x）取得最大值2，且为偶函数，即④对；对于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），则最小正周期为，即⑤错．故答案为：③④．点评：本题考查正弦函数和余弦函数的单调性和值域，考查周期函数的定义及运用，考查函数的对称性以及最值的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（）若，求函数的单调区间．（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．（）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．参考答案：见解析（）当时，，，令，则，令，则，∴函数的单调减区间为，单调增区间为．（），∵在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，易知在上单调递减，∴，∴．（）设切点为，，∴切线的斜率，又切线过原点，，∴，即，∴，存在性，满足方程，所以是方程的根唯一性，设，则，∴在上单调递增，且，∴方程有唯一解．综上，过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为．19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，且AD=2PA，E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．(I)求证：BC∥平面EFG；(II)求证：DH平面AEG．参考答案：（Ⅰ）因为分别为中点，所以∥，因为∥,所以∥，

……2分因为平面平面，…4分所以∥平面.

………………6分（Ⅱ）因为⊥平面，所以⊥，即⊥，

………………8分因为△≌△，所以∠=∠，∠+∠=90°，所以∠+∠=90°，所以⊥，又因为∩=，所以⊥平面.

………………12分20.（本小题满分14分）已知三棱柱．若三棱锥的体积为，写出三棱柱的体积；（不要求过程）若，分别是线段，的中点，求证：平面；若，且，求证：平面底面．参考答案：21.（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．向量（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．

参考答案：略22.（14分）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF=，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．参考答案：【考点】解三角形．【分析】（1）由题意，BD=300，BE=400，△BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；（2）△BDE中，由正弦定理可得=，可将甲乙之间的距离y表示为θ