山东省烟台市牟平区文化第一中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

山东省烟台市牟平区文化第一中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C． D．2参考答案：D【考点】复数的基本概念．【分析】先求出（1+mi）（i+2）=2﹣m+（2m+1）i，再由复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，能求出实数m．【解答】解：i为虚数单位，（1+mi）（i+2）=2﹣m+（2m+1）i，∵复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，∴，∴实数m=2．故选：D．3.如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：—=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为

（

▲

）A．

B．5

C．

D．参考答案：A4..函数的图象大致是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据函数奇偶性排除，；根据函数零点选A.【详解】因为函数为奇函数，排除，；又函数的零点为和，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.5.在等差数列中，已知，则=(

)A．10

B．18

C．20

D．28参考答案：C6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3000，3500)(元)段中抽取了30人．则在这20000人中共抽取的人数为(

)

A.200

B.100

C.20000

D.40参考答案：A略7.下列函数中，在上单调递增，并且是偶函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.复数z=（a+1）+（a2﹣3）i，若z＜0，则实数a的值是（）A． B．1 C．﹣1 D．﹣参考答案：D【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义得到虚数部分是0，实数部分小于0，求出a的值即可．【解答】解：由题意得：a2﹣3=0，解得a=±，而a+1＜0，故a=﹣，故选：D．9.已知集合A＝{(x，y)|x，y是实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为(

)

A．0

B．1 C．2

D．3参考答案：C略10.若△内接于以为圆心，1为半径的圆，且，且,则（

）

A.3

B.

C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线：被圆：截得的弦长为

.参考答案：12.若函数有两个零点，则实数a的取值范围是

.参考答案：13.为了解某校高中学生的近视情况，在该校学生中按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一年级每位学生被抽到的概率是_________．参考答案：略14.已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函数f（x）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案为．15.已知，则的值为

．参考答案：16.投资生产A，B两种产品需要资金，场地，以及所获利润如下表所示。

资金（百万元）场地（百平方米）利润（百万元）A产品（百吨）223B产品（百米）312限制149

现某工厂可使用资金1400万元，场地900m2，若选择投资A，B产品最佳组合方案，则获利最大值为

百万元.参考答案：14．75略17.已知函数，则的最小值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案．【解答】解：（1）由，c=ea=×=2，则b2=a2﹣c2=2，∴椭圆E的方程是．（2）证明：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∵，由（2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）y1=（2﹣x1）?k（x2﹣3）﹣（x2﹣2）?k（x1﹣3）=，得，∴M，F，Q三点共线．（3）设直线PQ的方程为x=my+3．由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，依题意△=36m2﹣12（m2+3）＞0，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．∴=，令t=m2+3，则，∴，即时，S△FPQ最大，∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为．19.已知函数.（Ⅰ）求证：当时，函数在上，存在唯一的零点；（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.参考答案：（1）证明：当a≤0时，所以函数上至少存在一个零点……….2分又f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）f′（x）=﹣a=所以a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增………3分所以函数上存在唯一零点…………………..4分（2）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）………………..5分f′（x）=﹣a=则a＞0时，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减………………7分存在即当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1f（）＞2a﹣2………..9分∴lna+a﹣1＜0令g（a）=lna+a﹣1∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0∴当0＜a＜1时，g（a）＜0当a＞1时，g（a）＞0∴a的取值范围为（0，1）…………………12分20.（本小题满分12分）在△ABC中，，2，.(1)求sin∠BAC的值；(2)设BC的中点为D,求中线AD的长.

参考答案：解：（1）因为，且C是三角形的内角，所以sinC==.所以=.（4分）(2)

在△ABC中，由正弦定理，得，所以=，于是CD=.在△ADC中，AC=2，cosC=，（8分）所以由余弦定理，得AD==，即中线AD的长为.(12分)

21.(本题满分15分)

已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围。参考答案：（2）解1：当，即时，，在上为增函数，故，所以，，这与矛盾……………8分当，即时，若，；若，，

略22.已知椭圆C：mx2+3my2=1（m＞0）的长轴长为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程和离心率．（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得a，可得b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB的面积为S=S△OAP+S△OMB，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意知