高中物理讲义-03静力平衡

三－１物體的平衡三－２力與力的平衡三－３力矩與力矩的平衡三－４重心與質心三－５天平三－６摩擦力第三章靜力平衡靜力學概念圖三－１物體的平衡意義：當一個物體處於靜止狀態而沒有任何變動時，我們稱此物體處於「平衡狀態」。處於平衡狀態的物體必須滿足兩個條件：（１）平移平衡－處於力平衡的狀態：物體所受的合外力為零、做等速度運動，即（２）轉動平衡－處於力矩平衡的狀態：物體所受的合外力矩為零、做等角速度運動，即三－２力與力的平衡力的種類（１）依據接觸與否：①接觸力：施力體必須與受力體相接觸才能產生作用力，例如：繩力、摩擦力、擠壓力、......。②超距力：施力體不必與受力體接觸便可以產生作用力，例如：萬有引力、電力、磁力、......。（２）依據力的來源：①重力：質量之間的作用力（長程力）②電磁力：電荷之間的作用力（長程力）③強力：核子之間的作用力（短程力）④弱力：造成粒子衰變、產生新粒子（短程力）三－２力與力的平衡力的測量（１）利用彈性體：可引起物體形狀的改變①虎克定律

F=-k(L-L0)-kx

x=L-L0為彈簧的形變量，k稱為彈簧的「彈性係數」或「力常數」，「-」號表示彈性體的恢復力和形變的方向相反。②彈性體的形變量和外力大小成正比，當外力過大時此線性關係將不再成立，我們將線性關係成立時彈性體所能承受的最大外力稱為「彈性限度」。③趣味範例：彈簧吊籃三－２力與力的平衡力的測量（２）利用慣性：可引起物體運動狀態的改變

F=ma三－２力與力的平衡彈簧的串並聯－等效彈性係數（１）串聯：

力常數分別為k1、k2的彈簧串聯

串聯的等效彈性係數：三－２力與力的平衡彈簧的串並聯－等效彈性係數（２）並聯：

力常數分別為k1、k2的彈簧並聯

K=k1+k2

並聯的等效彈性係數：三－２力與力的平衡彈簧的串並聯－等效彈性係數（３）同型式、不同長度：將一彈性係數k、長度(m+n)ℓ的彈簧剪成長度mℓ、彈性係數km和長度nℓ、彈性係數kn的兩段彈簧，若長度ℓ的彈簧之彈性係數為k1，則視為串聯：

k(m+n)=km×m=kn×n：和長度成反比①若將彈簧等分成n段，則每段的力常數增為n倍。彈簧的串並聯－等效彈性係數（４）性質①串聯後等效彈性係數變小、容易拉長，串愈多條變愈小；②並聯後等效彈性係數變大、不易拉長，並愈多條變愈大。三－２力與力的平衡串並三－２力與力的平衡力的合成與分解（參考資料：拉單槓）（１）力是一種向量，因此其合成或分解的方法必須遵守向量運算法則。三－２力與力的平衡力的合成與分解（２）力的合成①三角形法：②平行四邊形法：三－２力與力的平衡力的合成與分解（３）力的分解①一個力可分解成兩個或多個分力，分解的方式有無限多種。分力（分向量）的量值不一定比合力（原向量）小；物理上常將力分解成兩個互相垂直（正交）的分力：

Fx=F×cosq、Fy=F×sinq三－２力與力的平衡力的合成與分解（３）力的分解（續）②在求多個力的合力時，我們

常將各個力分解成互相垂直

的分力，而後再求合力，例三－２力與力的平衡力的合成與分解（４）力的分解應該根據題目的特性選擇適當的方向。三－２力與力的平衡力的合成與分解（５）向量與分量的關係：①使用畢氏定理②使用三角函數（６）活動：大力神三－２力與力的平衡解「靜力平衡」的方法（１）分量法（解析幾何法）：①選擇適當的直角座標系統，②將各力根據所選定的直角座標系統做分量，③寫平衡方程式：各方向的分量總合為零。④範例：參考右圖選擇「水平及鉛直」方向：選擇「對角」方向：三－２力與力的平衡解「靜力平衡」的方法（２）拉密定理＝正弦定理①三非平行力平衡時力圖為一封閉三角形，三邊長為各力的大小；②

三－２力與力的平衡解「靜力平衡」的方法（２）拉密定理＝正弦定理（續）③多於三個的力可以先合併、化簡（平行力先處理），直至剩下三個力為止。④互相垂直的力直接用畢氏定理。三－２力與力的平衡解「靜力平衡」的方法（３）標準步驟：①分離物體：先選定單一目標物，系統若呈平衡狀態，則該目標物也呈平衡狀態；②分析目標物的受力情形：包括個數及方向接觸力：與其它物體相接觸的地方，超距力：重力、電力、磁力等；③畫出力圖：以目標物為中心畫出各個力的方向④用「分量法」或「拉密定理」寫出各個力之間的力平衡方程式⑤解聯立方程式趣味範例：疊箱子、南瓜積木、益智泡泡球力矩的意義（１）由日常生活經驗可知，要讓物體轉動除了必須施力之外，力的方向和施力點也必須考慮，這些因素決定了影響轉動的力矩。（２）決定力矩的三要素①力的大小②力的方向（影響力臂）③施力點（影響力臂）三－３力矩與力矩的平衡三－３力矩與力矩的平衡力矩的定義：（１）F是外力，r是施力點的位置向量；（２）力矩的大小＝力力臂

t=Fr=rF=Frsinq①r=rsinq即所謂的「力臂」，②力作用線通過支點時（q=0或

180）力矩為零；③力作用線和r互相垂直時(q=90)力矩最大。三－３力矩與力矩的平衡力矩的定義：（３）力矩的方向：用右手法則來判斷①將右手四指指向r的方向，接著將四指順者小夾角(q<180)轉向力F的方向，此時拇指所指的方向即為力矩的方向；②對某一轉軸而言，物體轉動的方向只有兩個，因此力矩的方向也只有兩個。三－３力矩與力矩的平衡力矩和力的比較（１）力矩是讓物體轉動的外界因素，

力是讓物體移動的外界因素；（２）合力矩不為零（角加速度不為零）的物體會改變轉動狀況，

合力不為零（加速度不為零）的物體會改變移動狀況；（３）力矩的大小和支點的選擇有關（不同支點對應不同的力臂），

力的大小和觀察者的選擇有關（不同觀察者所看到的加速度不同）。三－３力矩與力矩的平衡解「靜力矩平衡」的標準步驟：（１）分離物體：先選定欲討論的目標物，系統若呈平衡狀態，則該目標物也呈平衡狀態；（２）分析目標物的受力情形：包括個數及方向；（３）選擇支點（最多力通過的點最適合），並找出各力的力臂及力矩的方向；（４）力矩平衡方程式（動畫：向右滾向左滾）：

順時針的力矩和＝逆時針的力矩和（５）解聯立方程式。實驗：靜力平衡趣味範例：走鋼索、驚險翹翹板三－４重心與質心重心的概念：重力作用線所通過的一個假想點，可將物體所受之重力視為作用在重心上。三－４重心與質心重心的概念（１）定義：以重量為權重的位置向量算術平均①系統之重量對任一點的力矩

＝系統之重量集中在重心時對該點的力矩；三－４重心與質心重心的概念（１）定義（續）②若選重心為支點，則物體將呈力矩平衡。

連續體的重心也可用上式來計算（積分）三－４重心與質心重心的概念（２）特性①重心會隨著地點不同而變動；②在非均勻重力場中重心會隨著

物體的轉動而變動；③在無重力狀態或失重狀態下無法定義重心；三－４重心與質心重心的概念（２）特性（續）④重心的位置不一定落在物體本身；⑤在均勻重力場中重心和質心重合，

均勻物體的重心就在其幾何中心

或對稱軸上；⑥在物體上任取兩點分別加以懸吊，

則平衡時通過此兩懸吊點的鉛垂

線之交點即為該物體的重心G；三－４重心與質心重心的概念（２）特性（續）⑦對兩物體而言，重心G在兩者連心線上，且

r1：r2=W2：W1⑧影片：重心的自調適現象、倒立陀螺三－４重心與質心質心的概念：物理系統之質量分佈的中心點，可將總質量視為集中在質心，然後以質點來看待整個系統。三－４重心與質心質心的概念（１）定義：以質量為權重的位置向量算術平均

連續體也可用上式來計算（積分）三－４重心與質心質心的概念（２）特性①質心不隨地點改變，且永遠可以定義質心；②同一物體的質心是固定的，和物體的相對位置不會改變，和座標原點的選擇也無關；③質心不一定落在物體本身；④均勻物體的質心就在其幾何中心或對稱軸上；⑤質心的質量、速度、加速度、動量和受力情形就是系統的質量、速度、加速度、動量和受力情形；⑥對兩物體而言，質心在兩者連心

線上，且r1：r2=m2：m1。穩定度：物理系統保持現狀的難易程度（１）穩定的條件①若物體的重心未落在底面積之外，則受擾動之後仍能回至原來的狀態而保持穩定；②若物體的重心已超出底面積的範圍，則重力產生的力矩將使物體翻倒而變動至另一個穩定狀態。③動畫：手動疊木塊三－４重心與質心三－４重心與質心穩定度：物理系統保持現狀的難易程度（２）平衡的種類①穩定平衡：

物體受擾動之後仍能回到原來的平衡狀態，其重心位置為（局部）最低，例如：碗底的珠子、山谷的球、盪鞦韆等。影片：搖擺的竹蜻蜓三－４重心與質心穩定度：物理系統保持現狀的難易程度（２）平衡的種類②不穩定平衡：

物體受擾動之後便漸漸偏

離原來的平衡狀態而趨向另一個平衡狀

態，其重心位置為（局部）最高，例如

：碗頂的珠子、立起來的雞蛋或錢幣。三－４重心與質心穩定度：物理系統保持現狀的難易程度（２）平衡的種類③隨遇平衡：

物體受擾動之後偏離原來的平衡狀態，但卻可以停留在任何一個後續的狀態，其重心位置在同一水平高度，例如：球可以停在平面上的任何位置、書本可以平放在桌面上的任何位置。三－４重心與質心穩定度：物理系統保持現狀的難易程度（３）提高穩定度的方法①降低重心：重物放底部，輕物置上頭；重心放低時，欲使物體傾倒所需抬起的角度較大(a>b)，故較不容易翻倒。趣味範例：頂棍子三－４重心與質心穩定度：物理系統保持現狀的難易程度（３）提高穩定度的方法②增加底面積：將面積較大的那一面朝下，讓重心不容易超出底面積。（４）參考資料：穩定不穩定、維護比薩斜塔、疊硬幣、史庫比漢堡三－５天平原理：利用力矩平衡來測量質量（１）分成兩類：①等臂天平：支點兩邊的力臂等長，多數

天平屬於此類型。

W1L=W2L

m1g=m2g

m1=m2②不等臂天平：支點兩邊的力臂不等長，

例如：中國桿秤。

Wa=W0x

ma=m0x

m=m0x/a（２）天平是利用物體的重量來量質量，因此在無重力環境或失重狀態時天平便無法使用。三－５天平靈敏度（１）意義：儀器能偵測到的變化量愈小則靈敏度愈大，即待測物相同時反應愈大的儀器便愈靈敏。（２）定義：單位外力所產生的角度偏轉量當天平僅單邊放物體時，物

重W和天平臂的重量WG處於

力矩平衡狀態，即

Wdcosq=WGasinq

靈敏度=三－５天平靈敏度（３）影響靈敏度的變因：

q愈大反應愈大愈靈敏①力臂長度d愈大愈靈敏②重心與支點的距離a愈小愈靈敏③天平力臂的重量WG愈小愈靈敏三－６摩擦力摩擦力的意義與方向（１）意義：

兩接觸物體有相對運動的傾向或已開始有相對運動時，在其接觸面所產生之平行接觸面的作用力。三－６摩擦力摩擦力的意義與方向（２）成因①巨觀：物體表面總是凹凸不平，故當兩物的表面接觸時其不平的部份便互相嵌入對方的表面。當兩者欲或已產生錯動時，凹凸不平的部份便互相卡住而阻礙對方的運動。三－６摩擦力摩擦力的意義與方向（２）成因（續）②微觀：分子接近時會產生吸引力，故當兩物體接觸時接觸點附近的分子會相吸而將物體拉在一起；若兩物體欲相對運動，則須克服此種分子力而形成摩擦的現象。③參考影片：頭髮拔河三－６摩擦力摩擦力的意義與方向（３）方向：和兩物體欲相對運動的方向相反。①例一：以水平力拉物體，則摩擦力f

的方向和拉力F的方向相反。②例二：將物體推上斜坡，則摩擦力

的方向為平行斜坡向下；將物體

推下斜坡，則摩擦力的方向為平

行斜坡向上。③例三：B給A的摩擦力fA向

左、A給B的摩擦力fB向

右，fA和fB為一組「作

用－反作用力」。三－６摩擦力摩擦力的種類（１）靜摩擦力：

物體相對於接觸面靜止不動（摩擦力足以抵銷外力），但是有一股將要移動的趨勢（沒摩擦力就會移動），此時的摩擦力稱為「靜摩擦力」。（２）動摩擦力：

物體相對於接觸面

開始滑動（摩擦力

無法抵擋外力），

此時的摩擦力稱為

「動摩擦力」。靜靜靜動三－６摩擦力摩擦力的特性（１）靜摩擦力：物體相對於接觸

面保持靜止①外力F小於最大靜摩擦力fs時

f=F

(0Ffs)三－６摩擦力摩擦力的特性（１）靜摩擦力（續）②最大靜摩擦力fs：物體相對於接觸面

靜止時可產生的最大摩擦力

fs=msN三－６摩擦力摩擦力的特性（１）靜摩擦力②最大靜摩擦力fs（續）正向力N：兩物體在垂直接觸面方向的作用力，會影響兩物體密合的程度而造成摩擦力的不同；三－６摩擦力摩擦力的特性（１）靜摩擦力②最大靜摩擦力fs（續）靜摩擦係數ms：表示接觸面之粗糙程度的一個數值，ms=0時表示無摩擦（光滑表面）。③參考影片：先滑下還是先倒下、摩擦力的特性三－６摩擦力摩擦力的特性（２）動摩擦力：物體相對於接觸

面有移動①動摩擦力fk：動摩擦力比最大靜摩擦

力小，且數值固定，和外力大小或

者物體移動的速率均無關。

fk=mkN②動摩擦係數mk：表示接觸面之粗糙程度的一個數值③動摩擦力fk<最大靜摩擦力fs

mk<ms三－６摩擦力摩擦力的特性（３）摩擦係數的測量①靜摩擦係數ms：增加斜面的斜角

，直至qs（物體開始向下滑動

為止），則

Wsinqs=fs=Wcosqsms

ms=tanqs②動摩擦係數mk方法一：若物體在斜面上做等速度運動時的斜角為qk，則

Wsinqk=fk=Wcosqkmk

mk=tanqk方法二：先讓物體在水平面上以速率V移動，接著令其進入接觸面，若移動L後才停止，則

mgmkL=mV2/2

mk=V2／2gL三－６摩擦力摩擦力的特性（４）摩擦力和接觸面積無關的原因：

摩擦力起因於接觸面凹凸不平及彼此間互相嵌入，因此影響摩擦力大小的因素有兩個：「微觀作用力」的大小Fm及其數量Nm，微觀作用力的總和就是我們所感受到的摩擦力。①Fm和接觸面之間的壓力P成正比

Fm=k