初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数观点：1．二次函数的观点：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数yax2bxc的结构特点：等号左侧是函数，右侧是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax2的性质：的绝对值越大，抛物线的张口越小。a的符号张口方向极点坐标对称轴性质a00，0x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a00，0x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．yax2c的性质：上加下减。a的符号张口方向极点坐标对称轴性质a00，cx0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a00，cx0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh2的性质：左加右减。a的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0向上h，0X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．a0向下h，0X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．24.yaxhk的性质：a的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0h，kxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随向上X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值k．a0h，kxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线剖析式转变成极点式2h，k；yaxhk，确立其极点坐标⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其极点平移到h，k处，详尽平移方法以下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数yax2k与yax2bxc的比较h从剖析式上看，yax2k与yax2bxc是两种不同样的表达形式，后者经过配方可以得hb24acb2b，k4acb2到前者，即yax，此中h．2a4a2a4a六、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为xb，极点坐标为b，4acb2．2a2a4a当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y随x的增大而增大；2a2a时，y有最小值4ac2当xbb．2a4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为xb，极点坐标为b，4acb2．当xb时，2a2a4a2abb时，y有最大值4acb2y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x．2a2a4a七、二次函数剖析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的剖析式都可以化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2时，抛物线的剖析式才可以用交点式表示．二次函数4ac0剖析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）常数项c当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地址．

轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0；轴交点的纵坐标为负．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点状况）：一元二次方程2bxc0是二次函数y2bxc当函数值y0时的特别状况.axax图象与x轴的交点个数：①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，此中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根．.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线yax2bxc的图象与y轴必然订交，交点坐标为(0，c)；二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数yx24x7的极点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，获取的抛物线是（）A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函数ykx2k和yk(k0)在同素来角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数yax2bxc(a0)的图象以下列图,则以下结论:①a,b同号;②当x1和x3,;4ab0④当y2时,x的值只好取0.此中正确的时函数值相等③个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数yax2bxc(a0)的极点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0的两个根分别是x11.3和x2（）Ａ．－１.３6.已知二次函数yax2bxc的图象以下列图，则点(ac,bc)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2xx22的正根的个数为（）xA.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的剖析式为A.yx2x2B.yx2x2C.yx2x2或yx2x2D.yx2x2或yx2x2二、填空题9．二次函数yx2bx3的对称轴是x2，则b_______。10．已知抛物线y=-2（x+3）2+5，若是y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.11．一个函数拥有以下性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；知足上述两条性质的函数的剖析式是（只写一个即可）。12．抛物线y2(x2)26的极点为C，已知直线ykx3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数y2x24x1的图象是由y2x2bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位获取的,则b=,c=。14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是(π取3.14).三、解答题：515.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,).2(1)求这个二次函数的剖析式;第15题图(2)当x为什么值时,这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?16.某种鞭炮点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）吻合关系式hv0t1gt2（0<t≤2），此中2重力加速度g以10米/秒2计算．这类鞭炮点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）这类鞭炮在地面上点燃后，经过多少时间隔地15米？（2）在鞭炮点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断鞭炮是上升，或是降落，并说明原因.17.如图，抛物线

y

x2

bx

c经过直线

y

x3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为

C，抛物线极点为

D.（1）求此抛物线的剖析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使

SAPC：

S

ACD

5：4

的点

P的坐标。红星建材店为某工厂代销一种建筑资料（这里的代销是指厂家先免费供给货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责办理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提升经营利润，准备采纳降价的方式进行促销．经市场检查发现：当每吨售价每降落10元时，月销售量就会增添7.?5吨．综合考虑各种要素，每售出一吨建筑资料共需支付厂家及其余花费100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；3）该建材店要获取最大月利润，售价应定为每吨多少元？4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明原因．二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对观点的接受能力y与提出观点所用的时间x（分）之间知足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30).（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力渐渐加强？当x在什么范围内时，学生的接受能力渐渐减弱？（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,此中AB=AC=20cm,BC=24cm若.在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?ADGBEFC3、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm点.P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1cm的速度搬动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度搬动.若是P,Q同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少?CQAPB4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运转的路线是抛物线，当球运转的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，尔后正确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立以下列图的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在此次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.y(0,3.5)3.05mOx4m5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，若是用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xm.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)若是中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能获取什么结论？x6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这类商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)知足关系：m=140－2x.(1)写出商场卖这类商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)若是商场要想每天获取最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最适合？最大销售利润为多少？二次函数专题复习图像特点与a、b、c、△符号的关系1、已知二次函数yax2bxc，以下列图，若a0，c0，那么它的图象大体是（）yyyyxxxxABCD2、已知二次函数yax2bxc的图象以下列图，则点(ac,bc)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3、已知二次函数y=ax2y+bx+c的图象以下，则以下结论正确的选项是（）Aab<0Bbc<0Ca+b+c>0Da-b+c<0

0x4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象以下列图，则以下结论：①a>0；②c>0；?③b2-4ac>0，此中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个c5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6、二次函数yax2bxc的图象以下列图，则（）A、a0，b24ac0B、a0，b24ac0C、a0，b24ac0D、a0，b24ac07、已知二次函数y=ax2的图象以下列图，那么以下判断不正确的选项是（）+bx+cA、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4a2的根是x1=-1，x2=5D、关于x的方程ax+bx+c=08、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象以下列图，有以下结论：b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0此中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4二次函数对应练习试题参照答案一，选择题、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空题、9．b410．x＜-311．如y2x24,y2x4等（答案不唯一）12．113．-8714．15三、解答题15．(1)设抛物线的剖析式为yax2bxc,由题意可得b32aabc6151x25c5解得a,b3,c因此y3x22222(2)x1或-5(2)x316．（1）由已知得，1520t110t2，解得t13,t21当t3时不合题意，舍去。因此当鞭炮2点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，h5t220t＝5(t2)220，可知极点的横坐标t2，又抛物线张口向下，因此在鞭炮点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，鞭炮在上升．17．（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则93bc0b2c解得c33因此此抛物线剖析式为yx22x3．（2）抛物线的极点D（1，－4），与x轴的另一个交点C（－1，0）.设P(a,a22a3)，则(14a22a3):(144)5:4.化简得a22a3522当a22a3＞0时，a22a35得a4,a2∴P（4，5）或P（－2，5）当a22a3＜0时，a22a35即a22a20，此方程无解．综上所述，知足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．2602407.5=60（吨）．（2）y(x100)(45260x18．（1）4510107.5)，化简得：y3x2315x24000．（3）y3x2315x240003(x210)29075．444红星经销店要获取最大月利润，资料的售价应定为每吨210元．（4）我认为，小静说的不对．原因：方法一：当月利润最大时，x为210元，而关于月销售额Wx(45260x3(x160)219200来说，107.5)4当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时，

x为

210元，此时，月销售额为

17325

元；而当

x为

200元时，月销售额为

18000

元．∵

17325＜18000，∴当月利润最大时，月销售额

W不是最大．∴小静说的不对．二次函数应用题训练参照答案1、（1）0≤x≤13，13＜x≤30；（2）59；（3）13.2、过A作AM⊥BC于M,交DG于N,则AM=202122=16cm.设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由△ADG∽△ABC,故ANDG,即16xDG,故DG=3(16-x).AMBC16242333∴y=DG·DE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,222进而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.3、设第t