特征值和特征向量复习课件

特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值与特征向量复习要点与典型题、特征值和特征向量1、有关定义:1)定义1:设A为n阶矩阵,是一个数,如果存在非零的n维向量a,使得Aa=λa,则称λ是矩阵A的一个特征值,非零向量a为矩阵A的属于(或对应于)特征值λ的特征向量。(2)定义2:称矩阵-A称为A的特征矩阵,它的行列式x-4|称为A的特征多项式,|A/-A|=0称为A的特征方程,其根为矩阵A的特征值2、特征值、特征向量的求法:设A是n阶矩阵,则A是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量的充分必要条件是x是4-4|=0的根,a是齐次线性方程组(4l-AX=0的非零解。1农村初中信息技术教学的现状受农村经济条件、学生的学习环境、个体的学习态度等原因的影响,学生对信息技术课的学习和对信息技术的掌握存在着明显的差异。针对这种现象,如果仍用传统的教学方式,将相同的知识内容传授给差异性很大的学生,势必会造成好学生吃不饱,教师的过多讲解对于他们来说是一种浪费,不利于他们的更进一步发展;差生则会认为讲解进度太快,自己无法跟上,以至丧失了学习兴趣,越学越差,形成对信息技术课的恐惧心理。在这种情况下,对差异大的学生分层次教学,势在必行。2农村初中信息技术层次性教学的操作实践2.1根据学生的知识水平分层我们把表现在学习能力上不同的学生大致可分为高、中、低三层。(1)学习能力高。这一类的学生主要指,教材上的学习内容已基本接触过,包括“电脑爱好者”之类学生。(2)学习能力中等。这一层次学生主要指对教材上的学习内容有所了解或学习能力较强,这类学生的学习基本上没有什么困难。(3)学习能力较低。这一类学生是指接触信息技术知识很少或学习能力不够强,学习有一定困难的学生。2.2分层备课教学目标、教学内容、教学时间、教学步骤以及教学方法的确定都要从不同层次的学生的实际出发。(1)基本层:培养学生的基本操作技能,完成基本教学任务,形成良好的学习习惯(2)提高层:在保证基本教学任务完成的基础上,注意学生的能力培养。(3)发展性层:针对基础较好的学生,不局限于课本知识的认知,而应注意学习潜能的挖掘,对知识的拓展和综合应用应有更高的要求。教学目标分层是实施“分层教学”的关键之一。目标分层就是将传统教学中统得过死的划一的教学目标,改为可由学生选择的弹性目标。教学内容,教学时间的安排都必须根据“分层”要求来考虑。教学内容的安排,要从便于学生自主学习要求出发,有教材上基本内容,也有补充内容。对于特长生,我就寻找一些在竞赛类、具有开发智力、超出课本之外的知识,但是,不能太难,特别是一些自己心里都没谱的题目不宜也没必要拿来当作学生的作业或者习题,这样反过来被学生问倒了;对于普遍的普通生来说,我对问题的设计就大致没有脱离课本,像课后的习题可以当作是课堂中的小练习。但这部分学生还要挖掘出他们的潜力,也应该适当的加些提高型的练习,像课本中的“想一想,练一练”之类的题就可以交之完成;对那些基础比较差的学生:一是利用课余时间给他们补补差;二是在备课的过程中找一些相当基础型的题目,上课时有空就给他们开点小灶。2.3分层教学不同类型学生的接受能力有着明显差异,这就要求教师在课堂教学中实行分层施教,既要顾及到不同层次学生的学习要求、学习能力,又要顾及到各层次学生的掌握程度。(1)采用不同的教学组织形式。在教学中,可以采取全班教学、分层教学和个别教学相结合的策略,即先按B组学生学习能力和要求进行全班集体讲解,然后安排B、C组学生做练习,教师再对A组学生进行更加详细的讲解和指导并相对降低难度和要求,安排做练习,接下来再了解C组练习情况,并根据情况进行适当的扩展和补充。A、B组学生的个别问题可由教师在学生分层练习时给予个别辅导,或请部分C组学生对他们进行帮助辅导。如:在课堂上,建立小老师制度,教师聘请任务完成较早的学生为本节课的小老师,允许在课堂中巡回,有困难的学生可以举手请求援助,但双方必须遵循“你动口我动手”的原则。(2)分层提问。课堂提问是师生间最直接的交流方式,教师通过提问能了解到学生的学习情况,学生也能从中检查自己的学习活动。在教学过程中,教师应注意分层提问。首先,在设计问题时,教师应该注意问题的层次性,设置一些较简单的问题让后进生回答,使他们有机会和老师、同学进行交流,同时给优等生的问题应有适当的难度。其次,在提问题时,教师应该注意A、B、C、三类学生提问的先后顺序,鼓励后进生先发言,再让优生补充概括,最后由教师指正并完善。(3)分层练习。信息技术是一门注重实践的学科,因此分层练习成了信息技术课堂中实施分层教学的主要阵地。在教学中,我通常根据目标,结合学生实际,精心设计三个层次的操作任务:A组:基本题;B组:提高题;C组:拓展题。要求A层学生解决基础题,B层次学生必做基础题和提高题,努力选做拓展题;C层次学生在完成基础题、提高题和拓展题后,甚至可以自编习题,自主解决;这样使每个层次的学生通过练习都有所收获。(4)分层评价。分层评价具有小结、反馈、纠正、提高的功能,应在教学过程中随时进行。我们可以通过对学生平时的学习活动和操作活动的有效记录和评价,将过程评价、动态评价与终结性评价结合起来对学生进行评价和考核,使学生的学习活动纳入平时有效的管理和监督之下,能够对学生的学习情况进行客观公正的评价反应出学生的真实水平。在练习、提问、讨论和作业后都应有及时的评价,以便及时了解学生达到分层目标的情况。2.4充分发挥网络优势信息技术教学一般都在计算机教室进行,计算机教室具有良好的网络系统和各种教学软件的支持,这为我们进行分层教学创造了良好的条件。教学中学生学习的差异永远存在。我们在信息技术课教学中采用分层教学方法,能有效的克服教学内容与学生兴趣爱好之间的矛盾,克服学生掌握知识水平两极分化的矛盾。能充分调动学生的非智力因素和智力因素,激发学生的学习兴趣,引发学生内在的需求,调动学生的积极性,真正做到以学生为出发点,为学生创造一个轻松愉快的自主学习氛围,提高学习效率,有效的解决了班级授课制的固有缺陷和因材施教之间的矛盾,为学校的信息技术课的教学注入了新的活力。一、有利于学生认知发展过程的实现电化教学的过程主要是教师根据教材内容、选用合适的电教媒体（如电影、电视、录像、幻灯、投影等）指导学生主动获取知识、培养能力的过程。地理教学利用直观教具（如录像、投影等）可以把学生所学知识具体形象、生动活泼、新颖而有趣地表现出来，为学生感知、理解、记忆创造条件。同时，在一定程度上又适应了学生的好奇心和求知欲，激起学生的学习兴趣，激发学习热情，诱发学习动机，调动学习积极性。具体做法是：教师根据教材内容，借助电教媒体向学生提出一些具有启发性、探索性和趣味性的重要问题，让学生集中观察、积极思维、相互探讨、作出反馈。这样有利于发展学生的注意力、观察力、想象力和思维力，帮助识记、理解。学生的反馈有正确的和不正确的，正确的给予肯定，不正确的加以纠正，这样对学生主动获取知识、提高能力大有帮助。在此基础上，为了进一步处理好教材内容、突出重点、解决难点、把握关键，教师又可以借助录像或投影深入一步提出问题，指导学生自己进行分析概括、归纳综合、得出结论。教师还可通过当堂测试的办法进行检验。一方面检查学生对所学知识的理解、迁移、应用、评价的能力，另一方面也是为了贯彻教学中的设疑、解疑、综合、反馈、矫正、深化的过程。这样既体现了教学过程中教师的主导作用和学生的主体作用相统一的原则，又突出了教学中的直观性原则和启发性原则。二、有利于提高教学效果地利科学是研究地球表面地理环境的结构、分布、发展变化规律以及人地关系的科学。由于地理学具有空间区域性、综合性的特点，就要我们在地理学教育中必须重视空间概念的建立。而要达到此目的的最佳途径，从心理学角度看，是基于感官上的感性认识，即通过自由地观察外界，通过自己的眼睛吸收可靠的知识，反映充满活力的自然界。地理课堂数学有别于其他学科，因为除了要板书课题外，还要根据需要随时、快速、准确地勾画出板图、板画，这对于地理教师来说是很难做到尽善尽美的。如我们在讲《地球运动》、《城市化过程中所产生的问题》等内容时，就需要每讲到一个问题就要在黑板上勾画出示意图，结果是费时又费力，课堂效果还不十分理想。而我们把《地球运动》的示意图换成精彩放大的投影，把《城市化过程中所产生的问题》换成栩栩如生的录像片来演示，则可使教学效果大为改观。三、有利于培养学生学习的兴趣在地理教学过程中，大量感性认识的积累来自对地理事物的观察，而实地观察或实物观察都是十分有限的，必须借助电影、电视、幻灯、投影仪、录相、电脑等现代媒体，将大量的地理事物生动地展现在学生眼前，扩大学生视野，开拓学生眼界，增加感性认识。例如，在讲到“矿物和岩石”时，将所讲岩石和矿物标本的图片通过投影和放大，便易于学生从形状、颜色、光泽、解理等特征去仔细观察、比较和区别;在如讲“地球公转运动”时，可先放映表现春、夏、秋、冬四季景观的画面，在学生对四季有初步的感性认识之后，便提出“四季更替现象是怎样形成的”问题让学生思考。然后播放地球公转的动态画面，用箭头移动显示太阳直射点的南北移动过程，要求学生思考导致太阳直射点移动的根本原因是什么。再进一步放映显示正午太阳高度角及昼夜长短变化过程的复合旋转投影片，要求学生思考这两个变化将会导致什么结果？如此的“一放一问”就会使学生形成这样一条思路：由于“黄赤交角”的存在，导致了太阳直射点的南北移动，而太阳直射的南北移动又导致了正午太阳高度角和昼夜长短的变化，这两个变化就导致了地面所获太阳能量的变化，于是便形成了四季的更替。这种利用电教手段，使教学环环相扣、层层推进的方法，让学生沿一定方向一个念头接着一个念头不断涌现，始终使学生处于积极的良性思维状态，这对发展学生地理思维能力无疑是大有益处的。四、有利于提高学生的学习效率地理教学名词概念多，原理、规律也不少，往往需要借用挂图来帮助学习理解、类比归纳，实现图文转换，一般情况下45分钟内不易完成任务。计算机网络集文字、图形、影象、声音、动画于一体，组成一个交互系统。在辅助教学过程中，它可以根据教学目的和要求，把抽象的概念和内容具体形象化，具有很强的表现力和感染力，且不受时间、空间的限制。它有利于学生对教材内容的理解和掌握，使学生看得清楚，听得真切，感受深刻，从而引起学生的情绪反应，激发学生的积极思维，调动学生学习的积极性，使学生获得较为鲜明的感性认识。教师可以借助录像或投影进一步提出问题，指导学生自己进行分析概括、归纳综合、得出结论。教师还可通过当堂测试的办法进行检验。一方面检查学生对所学知识的理解、迁移、应用、评价的能力，另一方面也是为了贯彻教学中的设疑、解疑、综合、反馈、矫正、深化的过程。这样既体现了教学过程中教师的主导作用和学生的主体作用相统一的原则，又突出了教学中的直观性原则和启发性原则总之，运用电化教学手段去完成中学地理教学任务，是教学中的一次改革，它能给地理教学带来生机、带来活力，是一种理想的教学形式。特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值与特征向量复习要点与典型题特征值与特征向量复习2、特征值和特征向量1、有关定义:1)定义1:设A为n阶矩阵,是一个数,如果存在非零的n维向量a,使得Aa=λa,则称λ是矩阵A的一个特征值,非零向量a为矩阵A的属于(或对应于)特征值λ的特征向量。(2)定义2:称矩阵-A称为A的特征矩阵,它的行列式x-4|称为A的特征多项式,|A/-A|=0称为A的特征方程,其根为矩阵A的特征值2、特征值、特征向量的求法:设A是n阶矩阵,则A是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量的充分必要条件是x是4-4|=0的根,a是齐次线性方程组(4l-AX=0的非零解。、特征值和特征向量33、特征值、特征向量的基本性质(1)如果a是A的属于特征值的特征向量,则a一定是非零向量,且对于任意非零常数kkα也是A的属于特征值x的特征向量(2)如果ax,a2是A的属于特征值A的特征向量,则当ka1+k2a2≠0时,ka1+k2a2也是A的属于特征值石的特征向量。(3)n阶矩阵A与它的转置矩阵A有相同的特征值(4)++…+=D(A)=a1+a2+…Cm,2…n=1A(5)设λ是A的特征值,且a是A属于的特征向量,则(a)cx*是cA的特征值,cAa=c2a;b)若A可逆,则λ≠0,且是A-的特征值,Aa=a。上述结果在某种意义上可以说:f()的特征值是f(A),其中λ是A的特征值。(6)设λ,λ2,…,为n阶矩阵A的不同特征值。a1,a2,…an分别是属于λ1,2…,n的特征向量,则a1,a2,…,an线性无关3、特征值、特征向量的基本性质41、已知三阶方阵A的三个特征值为1,-2,-3,则AA4的特征值为A的特征值为A*的特征值为2、已知三阶方阵A的行列式A=6,A有一个特征值为-2,则A必有一个特征值为,A3+4A2+8A+8E必有一个特征值为A3+4A2+8A+8E=。3、已知三阶方阵A的行列式为-2,A*有一个特征值为6,则A必有个特征值为,A必有一个特征值为,5A1-3A·必有一个特征值为,5A-1-3A必有一个特征值为4、设n阶矩阵A有特征值2,且kA2+6A=8E,则k=1、已知三阶方阵A的三个特征值为1,-2,-3,则A55、A2=A,则A的特征值为6、设n阶方阵满足A2+4A+4E=0,证明A的特征值仅为-2。7、设有四阶方阵A满足:2E+4=0,A=2E,<0求A的一个特征值8、设A为二阶矩阵,a1,a2是二个线性无关的列向量,Aax1=0,Aa2=2a1+a2,求A的非零特征值。9、设三阶矩阵A的特征值互不相同,且|A|=0,则r(4)=由于A(2a1+a2)=2Aa+Aa2=2a1+a2,所以A的一个非零特征值为1。A至少有一个特征值为0,又A的特征值互不相同所以A只有一个特征值为0。因此r(A)=25、A2=A,则A的特征值为60-1-1例1求A=-10-1的特征值及对应的特征向量。解:21A+211NE-A121=元+2元111+210元-10=(+2)(x-1)0-1令AE-A|=0得:=2=1,1=-2当A1=2=1时,解齐次线性方程组(E-A)X=00-1-17特征值和特征向量复习课件8特征值和特征向量复习课件9特征值和特征向量复习课件10特征值和特征向量复习课件11特征值和特征向量复习课件12特征值和特征向量复习课件13特征值和特征向量复习课件14特征值和特征向量复习课件15特征值和特征向量复习课件16特征值和特征向量复习课件17特征值和特征向量复习课件18特征值和特征向量复习课件19特征值和特征向量复习课件20特征值和特征向量复习课件21特征值和特征向量复习课件22特征值和特征向量复习课件23特征值和特征向量复习课件24特征值和特征向量复习课件25特征值和特征向量复习课件26特征值和特征向量复习课件27特征值和特征向量复习课件28特征值和特征向量复习课件29特征值和特征向量复习课件30特征值和特征向量复习课件31特征值和特征向量复习课件32特征值和特征向量复习课件33特征值和特征向量复习课件34特征值和特征向量复习课件35特征值和特征向量复习课件36特征值和特征向量复习课件37特征值和特征向量复习课件38特征值和特征向量复习课件39特征值和特征向量复习课件40特征值和特征向量复习课件41特征值和特征向量复习课件42特征值和特征向量复习课件43特征值和特征向量复习课件44特征值和特征向量复习课件45特征值和特征向量复习课件46特征值和特征向量复习课件47特征值和特征向量复习课件48特征值和特征向量复习课件49特征值和特征向量复习课件50特征值和特征向量复习课件51特征值和特征向量复习课件52特征值和特征向量复习课件53特征值和特征向量复习课件54特征值和特征向量复习课件55特征值和特征向量复习课件56特征值和特征向量复习课件57特征值和特征向量复习课件58特征值和特征向量复习课件59特征值和特征向量复习课件60特征值和特征向量复习课件61特征值和特征向量复习课件6256、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。——库法耶夫

57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。——吕凯特

58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。——朱熹

59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。——笛卡儿

60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。—63特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值与特征向量复习要点与典型题、特征值和特征向量1、有关定义:1)定义1:设A为n阶矩阵,是一个数,如果存在非零的n维向量a,使得Aa=λa,则称λ是矩阵A的一个特征值,非零向量a为矩阵A的属于(或对应于)特征值λ的特征向量。(2)定义2:称矩阵-A称为A的特征矩阵,它的行列式x-4|称为A的特征多项式,|A/-A|=0称为A的特征方程,其根为矩阵A的特征值2、特征值、特征向量的求法:设A是n阶矩阵,则A是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量的充分必要条件是x是4-4|=0的根,a是齐次线性方程组(4l-AX=0的非零解。1农村初中信息技术教学的现状受农村经济条件、学生的学习环境、个体的学习态度等原因的影响,学生对信息技术课的学习和对信息技术的掌握存在着明显的差异。针对这种现象,如果仍用传统的教学方式,将相同的知识内容传授给差异性很大的学生,势必会造成好学生吃不饱,教师的过多讲解对于他们来说是一种浪费,不利于他们的更进一步发展;差生则会认为讲解进度太快,自己无法跟上,以至丧失了学习兴趣,越学越差,形成对信息技术课的恐惧心理。在这种情况下,对差异大的学生分层次教学,势在必行。2农村初中信息技术层次性教学的操作实践2.1根据学生的知识水平分层我们把表现在学习能力上不同的学生大致可分为高、中、低三层。(1)学习能力高。这一类的学生主要指,教材上的学习内容已基本接触过,包括“电脑爱好者”之类学生。(2)学习能力中等。这一层次学生主要指对教材上的学习内容有所了解或学习能力较强,这类学生的学习基本上没有什么困难。(3)学习能力较低。这一类学生是指接触信息技术知识很少或学习能力不够强,学习有一定困难的学生。2.2分层备课教学目标、教学内容、教学时间、教学步骤以及教学方法的确定都要从不同层次的学生的实际出发。(1)基本层:培养学生的基本操作技能,完成基本教学任务,形成良好的学习习惯(2)提高层:在保证基本教学任务完成的基础上,注意学生的能力培养。(3)发展性层:针对基础较好的学生,不局限于课本知识的认知,而应注意学习潜能的挖掘,对知识的拓展和综合应用应有更高的要求。教学目标分层是实施“分层教学”的关键之一。目标分层就是将传统教学中统得过死的划一的教学目标,改为可由学生选择的弹性目标。教学内容,教学时间的安排都必须根据“分层”要求来考虑。教学内容的安排,要从便于学生自主学习要求出发,有教材上基本内容,也有补充内容。对于特长生,我就寻找一些在竞赛类、具有开发智力、超出课本之外的知识,但是,不能太难,特别是一些自己心里都没谱的题目不宜也没必要拿来当作学生的作业或者习题,这样反过来被学生问倒了;对于普遍的普通生来说,我对问题的设计就大致没有脱离课本,像课后的习题可以当作是课堂中的小练习。但这部分学生还要挖掘出他们的潜力,也应该适当的加些提高型的练习,像课本中的“想一想,练一练”之类的题就可以交之完成;对那些基础比较差的学生:一是利用课余时间给他们补补差;二是在备课的过程中找一些相当基础型的题目,上课时有空就给他们开点小灶。2.3分层教学不同类型学生的接受能力有着明显差异,这就要求教师在课堂教学中实行分层施教,既要顾及到不同层次学生的学习要求、学习能力,又要顾及到各层次学生的掌握程度。(1)采用不同的教学组织形式。在教学中,可以采取全班教学、分层教学和个别教学相结合的策略,即先按B组学生学习能力和要求进行全班集体讲解,然后安排B、C组学生做练习,教师再对A组学生进行更加详细的讲解和指导并相对降低难度和要求,安排做练习,接下来再了解C组练习情况,并根据情况进行适当的扩展和补充。A、B组学生的个别问题可由教师在学生分层练习时给予个别辅导,或请部分C组学生对他们进行帮助辅导。如:在课堂上,建立小老师制度,教师聘请任务完成较早的学生为本节课的小老师,允许在课堂中巡回,有困难的学生可以举手请求援助,但双方必须遵循“你动口我动手”的原则。(2)分层提问。课堂提问是师生间最直接的交流方式,教师通过提问能了解到学生的学习情况,学生也能从中检查自己的学习活动。在教学过程中,教师应注意分层提问。首先,在设计问题时,教师应该注意问题的层次性,设置一些较简单的问题让后进生回答,使他们有机会和老师、同学进行交流,同时给优等生的问题应有适当的难度。其次,在提问题时,教师应该注意A、B、C、三类学生提问的先后顺序,鼓励后进生先发言,再让优生补充概括,最后由教师指正并完善。(3)分层练习。信息技术是一门注重实践的学科,因此分层练习成了信息技术课堂中实施分层教学的主要阵地。在教学中,我通常根据目标,结合学生实际,精心设计三个层次的操作任务:A组:基本题;B组:提高题;C组:拓展题。要求A层学生解决基础题,B层次学生必做基础题和提高题,努力选做拓展题;C层次学生在完成基础题、提高题和拓展题后,甚至可以自编习题,自主解决;这样使每个层次的学生通过练习都有所收获。(4)分层评价。分层评价具有小结、反馈、纠正、提高的功能,应在教学过程中随时进行。我们可以通过对学生平时的学习活动和操作活动的有效记录和评价,将过程评价、动态评价与终结性评价结合起来对学生进行评价和考核,使学生的学习活动纳入平时有效的管理和监督之下,能够对学生的学习情况进行客观公正的评价反应出学生的真实水平。在练习、提问、讨论和作业后都应有及时的评价,以便及时了解学生达到分层目标的情况。2.4充分发挥网络优势信息技术教学一般都在计算机教室进行,计算机教室具有良好的网络系统和各种教学软件的支持,这为我们进行分层教学创造了良好的条件。教学中学生学习的差异永远存在。我们在信息技术课教学中采用分层教学方法,能有效的克服教学内容与学生兴趣爱好之间的矛盾,克服学生掌握知识水平两极分化的矛盾。能充分调动学生的非智力因素和智力因素,激发学生的学习兴趣,引发学生内在的需求,调动学生的积极性,真正做到以学生为出发点,为学生创造一个轻松愉快的自主学习氛围,提高学习效率,有效的解决了班级授课制的固有缺陷和因材施教之间的矛盾,为学校的信息技术课的教学注入了新的活力。一、有利于学生认知发展过程的实现电化教学的过程主要是教师根据教材内容、选用合适的电教媒体（如电影、电视、录像、幻灯、投影等）指导学生主动获取知识、培养能力的过程。地理教学利用直观教具（如录像、投影等）可以把学生所学知识具体形象、生动活泼、新颖而有趣地表现出来，为学生感知、理解、记忆创造条件。同时，在一定程度上又适应了学生的好奇心和求知欲，激起学生的学习兴趣，激发学习热情，诱发学习动机，调动学习积极性。具体做法是：教师根据教材内容，借助电教媒体向学生提出一些具有启发性、探索性和趣味性的重要问题，让学生集中观察、积极思维、相互探讨、作出反馈。这样有利于发展学生的注意力、观察力、想象力和思维力，帮助识记、理解。学生的反馈有正确的和不正确的，正确的给予肯定，不正确的加以纠正，这样对学生主动获取知识、提高能力大有帮助。在此基础上，为了进一步处理好教材内容、突出重点、解决难点、把握关键，教师又可以借助录像或投影深入一步提出问题，指导学生自己进行分析概括、归纳综合、得出结论。教师还可通过当堂测试的办法进行检验。一方面检查学生对所学知识的理解、迁移、应用、评价的能力，另一方面也是为了贯彻教学中的设疑、解疑、综合、反馈、矫正、深化的过程。这样既体现了教学过程中教师的主导作用和学生的主体作用相统一的原则，又突出了教学中的直观性原则和启发性原则。二、有利于提高教学效果地利科学是研究地球表面地理环境的结构、分布、发展变化规律以及人地关系的科学。由于地理学具有空间区域性、综合性的特点，就要我们在地理学教育中必须重视空间概念的建立。而要达到此目的的最佳途径，从心理学角度看，是基于感官上的感性认识，即通过自由地观察外界，通过自己的眼睛吸收可靠的知识，反映充满活力的自然界。地理课堂数学有别于其他学科，因为除了要板书课题外，还要根据需要随时、快速、准确地勾画出板图、板画，这对于地理教师来说是很难做到尽善尽美的。如我们在讲《地球运动》、《城市化过程中所产生的问题》等内容时，就需要每讲到一个问题就要在黑板上勾画出示意图，结果是费时又费力，课堂效果还不十分理想。而我们把《地球运动》的示意图换成精彩放大的投影，把《城市化过程中所产生的问题》换成栩栩如生的录像片来演示，则可使教学效果大为改观。三、有利于培养学生学习的兴趣在地理教学过程中，大量感性认识的积累来自对地理事物的观察，而实地观察或实物观察都是十分有限的，必须借助电影、电视、幻灯、投影仪、录相、电脑等现代媒体，将大量的地理事物生动地展现在学生眼前，扩大学生视野，开拓学生眼界，增加感性认识。例如，在讲到“矿物和岩石”时，将所讲岩石和矿物标本的图片通过投影和放大，便易于学生从形状、颜色、光泽、解理等特征去仔细观察、比较和区别;在如讲“地球公转运动”时，可先放映表现春、夏、秋、冬四季景观的画面，在学生对四季有初步的感性认识之后，便提出“四季更替现象是怎样形成的”问题让学生思考。然后播放地球公转的动态画面，用箭头移动显示太阳直射点的南北移动过程，要求学生思考导致太阳直射点移动的根本原因是什么。再进一步放映显示正午太阳高度角及昼夜长短变化过程的复合旋转投影片，要求学生思考这两个变化将会导致什么结果？如此的“一放一问”就会使学生形成这样一条思路：由于“黄赤交角”的存在，导致了太阳直射点的南北移动，而太阳直射的南北移动又导致了正午太阳高度角和昼夜长短的变化，这两个变化就导致了地面所获太阳能量的变化，于是便形成了四季的更替。这种利用电教手段，使教学环环相扣、层层推进的方法，让学生沿一定方向一个念头接着一个念头不断涌现，始终使学生处于积极的良性思维状态，这对发展学生地理思维能力无疑是大有益处的。四、有利于提高学生的学习效率地理教学名词概念多，原理、规律也不少，往往需要借用挂图来帮助学习理解、类比归纳，实现图文转换，一般情况下45分钟内不易完成任务。计算机网络集文字、图形、影象、声音、动画于一体，组成一个交互系统。在辅助教学过程中，它可以根据教学目的和要求，把抽象的概念和内容具体形象化，具有很强的表现力和感染力，且不受时间、空间的限制。它有利于学生对教材内容的理解和掌握，使学生看得清楚，听得真切，感受深刻，从而引起学生的情绪反应，激发学生的积极思维，调动学生学习的积极性，使学生获得较为鲜明的感性认识。教师可以借助录像或投影进一步提出问题，指导学生自己进行分析概括、归纳综合、得出结论。教师还可通过当堂测试的办法进行检验。一方面检查学生对所学知识的理解、迁移、应用、评价的能力，另一方面也是为了贯彻教学中的设疑、解疑、综合、反馈、矫正、深化的过程。这样既体现了教学过程中教师的主导作用和学生的主体作用相统一的原则，又突出了教学中的直观性原则和启发性原则总之，运用电化教学手段去完成中学地理教学任务，是教学中的一次改革，它能给地理教学带来生机、带来活力，是一种理想的教学形式。特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值和特征向量复习特征值与特征向量复习要点与典型题特征值与特征向量复习65、特征值和特征向量1、有关定义:1)定义1:设A为n阶矩阵,是一个数,如果存在非零的n维向量a,使得Aa=λa,则称λ是矩阵A的一个特征值,非零向量a为矩阵A的属于(或对应于)特征值λ的特征向量。(2)定义2:称矩阵-A称为A的特征矩阵,它的行列式x-4|称为A的特征多项式,|A/-A|=0称为A的特征方程,其根为矩阵A的特征值2、特征值、特征向量的求法:设A是n阶矩阵,则A是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量的充分必要条件是x是4-4|=0的根,a是齐次线性方程组(4l-AX=0的非零解。、特征值和特征向量663、特征值、特征向量的基本性质(1)如果a是A的属于特征值的特征向量,则a一定是非零向量,且对于任意非零常数kkα也是A的属于特征值x的特征向量(2)如果ax,a2是A的属于特征值A的特征向量,则当ka1+k2a2≠0时,ka1+k2a2也是A的属于特征值石的特征向量。(3)n阶矩阵A与它的转置矩阵A有相同的特征值(4)++…+=D(A)=a1+a2+…Cm,2…n=1A(5)设λ是A的特征值,且a是A属于的特征向量,则(a)cx*是cA的特征值,cAa=c2a;b)若A可逆,则λ≠0,且是A-的特征值,Aa=a。上述结果在某种意义上可以说:f()的特征值是f(A),其中λ是A的特征值。(6)设λ,λ2,…,为n阶矩阵A的不同特征值。a1,a2,…an分别是属于λ1,2…,n的特征向量,则a1,a2,…,an线性无关3、特征值、特征向量的基本性质671、已知三阶方阵A的三个特征值为1,-2,-3,则AA4的特征值为A的特征值为A*的特征值为2、已知三阶方阵A的行列式A=6,A有一个特征值为-2,则A必有一个特征值为,A3+4A2+8A+8E必有一个特征值为A3+4A2+8A+8E=。3、已知三阶方阵A的行列式为-2,A*有一个特征值为6,则A必有个特征值为,A必有一个特征值为,5A1-3A·必有一个特征值为,5A-1-3A必有一个特征值为4、设n阶矩阵A有特征值2,且kA2+6A=8E,则k=1、已知三阶方阵A的三个特征值为1,-2,-3,则A685、A2=A,则A的特征值为6、设n阶方阵满足A2+4A+4E=0,证明A的特征值仅为-2。7、设有四阶方阵A满足:2E+4=0,A=2E,<0求A的一个特征值8、设A为二阶矩阵,a1,a2是二个