高考数学热点《集合与常用逻辑用语》练习含答案解析

热点02热点02集合与常用逻辑用语1、从新高考的考查情况来看，集合是必考内容，设题难度很低，均以集合的基本运算为主，同时考查不等式的解法。该内容主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，考查学生的分类讨论思想和数学运算等核心素养。2、从新高考的考查情况来看，高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查命题的充分条件、必要条件的判断或量词，题目难度中等，以选择题和填空题为主。本节主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.1、与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合运算与性质．2、充分、必要条件的判断现在主要就3种：1）定义法：(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(5)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(6)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．2）利用集合间的包含关系判断：记条件p，q对应的集合分别是A，B，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．3）等价法：利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系．近年来不管是新高考还是新课标或自主命题的高考题中集合和常用逻辑用语的考试以基础题型为主，建议大家重点抓基础，适当注意集合中的具有创新性的新定义问题，充要条件主要还是主要和其他版块知识的结合。A卷（建议用时60分钟）一、单选题1．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：.故选：B.2．（2021·江苏·高考真题）已知集合，，若，则的值是（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】B【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.【详解】因为，若，经验证不满足题意；若，经验证满足题意.所以.故选：B.3．（2021·全国·高考真题（理））已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.4．（2021·江苏南通·高三期中）设全集，集合，集合，则集合（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可得或，因此，，故选：D.5．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）设U＝R，已知两个非空集合P，Q满足＝R，则（）A．P∩Q＝ B．PQ C．QP D．P∪Q＝R【答案】B【分析】利用韦恩图，结合集合的交并补运算求解.【详解】如图所示P，Q，满足＝R，即PQ故选：B6．（2021·山西大附中高三期中）若全集，，，则集合等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，.故选：C.7．（2021·山东高三期中）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解出集合、，然后利用交集的定义可计算出集合.【详解】由得，即，因为，所以，即所以.故选：C.8．（2021·重庆一中高三期中）已知全集，集合，，则的子集个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个【答案】C【分析】求出集合A，再根据补集和交集的定义求出，即可得出答案.【详解】解：，则，所以，所以的子集个数是4个.故选：C.9．（2021·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不允分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.10．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.11．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件。故选：B.12．（2021·辽宁葫芦岛·高三月考）已知命题，则是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据特称命题的否定为全称命题，从而可得出答案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以是：.故选：D.13．（2021·湖北·高三月考）已知命题：，则（）A．该命题为假命题，其否定是，B．该命题为假命题，其否定是，C．该命题为真命题，其否定是，D．该命题为真命题，其否定是，【答案】C【分析】根据正切函数的性质判断命题的正误，再由特称命题的否定：将存在改为任意并否定结论写出题设命题的否定形式.【详解】∵函数的值域为，∴，，故该命题是真命题，其否定是，.故选：C.14．（2021·广东化州·高三月考）下列叙述中正确的是（）A．若，则B．若“，则”的逆否命题是真命题C．“”是“”的必要不充分条件D．“，都有”的否定是“，使得”【答案】C【分析】取特殊值可判断A，根据原命题与逆否命题等价判断B，解不等式后根据集合的包含关系可判断C，由含量词命题的否定判断D.【详解】时，，故A错；“若，则”是假命题，故其逆否命题是假命题，故B错；的解集是或，由真包含于或可知“”是“”的必要不充分条件，故C对；“，都有”的否定是“，使得”，故D错.故选：C15．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）命题成立的充分必要条件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求命题成立的等价条件由此可得其成立的充分必要条件.【详解】∵，∴命题成立的充分必要条件是，故选：D．二、多选题16．（2021·山东菏泽·高三期中）已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】化简集合A,B，利用集合的基本运算即可知正确选项.【详解】，，，,，故AC正确，B错误，又集合之间的关系为包含与不包含，所以D错误.故选：AC17．（2021·全国·高三专题练习）设全集，集合，，则（）A． B．C． D．或【答案】BD【分析】先通过一元二次不等式的计算可得，，再根据集合的运算逐项计算即可得解.【详解】由题知，，或，所以，故A错误；，故B正确；，故C错误；或，故D正确.故选：BD．18．（2021·江苏省天一中学高三月考）已知集合，集合，则下列说法正确的是（）A．(0，0)∈B B．AB={0，1} C．B=[0，+∞) D．BA【答案】CD【分析】求出函数y=x和函数y=的值域分别得集合A和集合B，再逐一验证各选项判断作答.【详解】依题意，，，对于A，，而，A不正确；对于B，，B不正确；对于C，因，则C正确；对于D，因，即BA，D正确.故选：CD19．（2021·湖南·高三月考）命题：，.命题：每个正三棱锥的三个侧面都是正三角形.关于这两个命题，下列判断正确的是（）A．是真命题 B．：，C．是真命题 D．：每个正三棱锥的三个侧面都不是正三角形【答案】AB【分析】根据全称命题、存在命题的否定形式可判断BD的正误，根据反例可判断A的正误，根据正三棱锥的定义可判断C的正误.【详解】的否定为，，故B正确.因为，，所以的否定为假命题，故是真命题，故A正确.对B，每个正三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故为假命题，故C错误，而为：存在一个正三棱锥，它的三个侧面不都是正三角形，故D错误.故选：AB.20．（2021·广东肇庆·模拟预测）下列四个命题中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，【答案】BC【分析】构造，求导得到单调区间，计算函数的最小值得到恒成立，A错误，再直接判断BCD的正误得到答案.【详解】，则，函数在单调递减，在上单调递增，故，故恒成立，故A错误；，，故B正确；，，C正确；，，故D错误.故选：BC.三、填空题21．（2021·上海·格致中学高三月考）已知集合，，则__________.【答案】.【分析】先解出集合P，M，进而求出交集即可.【详解】由题意，，，则.答案为：.22．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.【答案】【分析】以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，作出图形，设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值即可.【详解】以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得.故答案为：.23．（2021·北京市第三十五中学高三期中）命题“”的否定是_________．【答案】【分析】利用全称命题的否定解答.【详解】因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，所以命题“”的否定是“”.故答案为：四、解答题24．（2021·河南驻马店·高三月考）已知集合，.（1）若，求实数的取值范围;（2）当时，若，求实数的取值范围;【答案】（1）（2）【分析】（1）计算，根据得到，考虑，两种情况，解得答案.（2）考虑，两种情况，得到或，解得答案.（1），若，则，当时，，解得，成立；当时，，解得.综上，实数的取值范围为.（2），当时，，解得；当时，或，解得.综上，实数的取值范围是25．（2021·江苏淮安·高三期中）已知集合，.（1）若，求；（2）是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）或（2）条件选择见解析，答案见解析【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果；（2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论.（1）解：由不等式，解得，可得当时，不等式，解得，即，可得或，所以或.（2）解：由不等式，解得，所以.若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得.当时，，，合乎题意；若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得.当时，，则，合乎题意；若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.26．（2021·山东日照·高三月考）已知集合，，.（1）当时，是的充分条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【分析】（1）解不等式确定集合，确定集合，然后充分条件得集合包含关系，从而可得参数范围；（2）求得的补集，分类讨论确定集合，根据包含关系可得结论．（1），，，时，，是的充分条件，即，所以，解得，所以的取值范围是．（2），，由（1）知时，满足题意，时，，则或，或，所以或，时，，，因此，综上，或．27．（2021·福建高三月考）已知集合，.求：（1）若，求实数的取值范围.（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，讨论和即可；（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.【详解】（1）由，，当时，，得，适合题意；当时，则或，得.综上所述.实数的取值范围.（2）由题意，“”是“”的充分不必要条件，则，又，.所以，解得，∴实数的取值范围为.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1．（2021·云南师大附中高三月考）已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，再由集合的包含关系即可求解.【详解】由于，任取，则，其中，即，所以，则有，故选：C．2．（2021·全国·高三月考）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断出即可.【详解】，从而，.故选：C3．（2021·天津市第四十七中学高三期中）设，已知集合，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求的取值范围.【详解】由题设，，又，，∴.故选：D4．（2021·四川·双流中学高三期末）已知函数，，集合，集合，若集合只含有一个元素，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据解绝对值不等式的方法，结合交集的定义进行求解即可.【详解】或，由或，由或，所以，因为集合只含有一个元素，，所以，故选：D5．（2021·全国·高三专题练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．【详解】解：由图知，阴影部分在集合中，在集合中，但不在集合中，故阴影部分所表示的集合是.故选：C.6．（2021·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．7．（2021·山东文登·高三期中）设p：关于x的方程有解；q：函数在区间上恒为正值，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简p,q，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为方程有解,即方程有解，令，则，即；因为函数在区间上恒为正值，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，解得，所以p是q的必要不充分条件，故选：B二、多选题8．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知集合（），定义上两点，的距离，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．设点，，，在中，，则C．设点，，，在中，若，则D．设点，，，则【答案】AD【分析】根据定义上两点的距离，结合距离的运算公式和不等式的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由两点，的距离，对于A中，,，可得，所以A正确；对于B中，因为，可得，设，则，而，当不一定成立，所以B错误；在中，若，可得，而，所以不一定成立，从而不一定成立，所以C不正确；由点，，，设，可得，因为，所以，所以D正确.故选：AD.9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知集合，集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可【详解】由，得，所以，由，得且，得或，所以或，由，得，所以，对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，因为或，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为或，所以，所以D正确，故选：BCD10．（2021·全国·高三月考）已知集合，满足，，全集，则下列说法中可能正确的有（）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．有一个最大元素，没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．没有最大元素，也没有最小元素【答案】ABD【分析】根据新定义，并正确列举集合A和B，然后判断各选项即可.【详解】对于选项A：若，，，，则没有最大元素，有一个最小元素，故A可能成立；对于选项B：若，，A有一个最大元素，B没有最小元素，故B可能成立；对于选项C：A有一个最大元素，B有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾；故C不可能成立.对于选项D：若，，则A没有最大元素，B也没有最小元素，故D可能成立；故选：ABD.11．（2021·江苏·南京市第十三中学高三月考）设，，若，则实数的值可以是（）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意；若，则，因为，所以或，则或.综上：或或.故选：ABC.12．（2021·江苏省南菁高级中学高三月考）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】由题可知，利用包含关系即可判断.【详解】∵∴，若是的真子集，则，故A错误；由可得，故B正确；由可得，故C错误，D正确.故选：BD.13．（2021·江苏南京·高三开学考试）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则；下列情况中可能出现的有（）A．有4个元素，有7个元素 B．有4个元素，必有6个元素C．有3个元素，有5个元素 D．有3个元素，有4个元素【答案】ACD【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可．【详解】取，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，所以选项C可能；，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，所以选项D可能；，4，8，，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，所以选项A可能，排除选项B.故选：ACD14．（2021·重庆市清华中学校高三月考）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素【答案】ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【详解】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.故选：ABD．15．（2021·福建·模拟预测）两个集合和之间若存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若为正整数集，为正偶数集，则，因为可构造一一映射．下列说法中正确的是（）A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同B．对三个无限集合、、，若，，则C．正整数集与正实数集等势D．在空间直角坐标系中，若表示球面：上所有点的集合，表示平面上所有点的集合，则【答案】ABD【分析】利用对应关系结合充分必要条件的定义可判断A选项的正误；利用等势的定义可判断B选项的正误；利用反证法可判断C选项的正误；数形结合可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，设有限集合，，充分性：若，则两个集合和之间若存在一一对应关系，则对任意的，存在，使得与对应，故，充分性成立.必要性：若，即集合、的元素个数相等，可构造映射，使得，故，必要性成立，A对；对于B选项，对三个无限集合、、，若，对任意的，存在唯一的，使得与对应，又因为，则存在唯一的，使得与对应，故对任意的，存在唯一的，使得与对应，故，B对；对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集与正实数集等势，则存在与的一个一一对应，将与中对应的元素记为，则中的元素可以排成一列：、、、、，显然中至少有一个单位长度的区间不包含，不妨设此区间为，将三等分，则、中至少有一个区间不含，以表示此区间，将三等分，其左、右两个区间至少有一个不含，记为，依此类推，可得一列闭区间满足：（i），且的长度趋于；（ii），、、、.所以，，但对任意的，，换言之，不在中，这是不可能的，这一矛盾说明，与不等势，C错；对于D选项，如下图所示：球面方程为，球面与轴的正半轴交于点，对于球面上任意一点（不与点重合），设直线交平面于点，则球面上的点（不与点重合）与平面内的点能建立一一对应关系，假定在平面上有一理想的点称之为无穷远点，它与点对应，这样，D对.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义，充分理解等势的定义，结合代数式法以及数形结合找到对应关系是解题的关键，在判断选项错误时，可充分利用反证法来进行推理.16．（2021·山东·高三专题练习）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得【答案】ABD【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．17．（2021·江苏如皋·高三期中）若实数，满足，则使得成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据充分不必要条件，再结合特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，时，所以，，则，满足充分性，若，，满足，，不满足，即不满足必要性，即：是的一个充分不必要条件，故A正确.对选项B，因为，，所以，取，，则，此时不是小于1，故B错误.对选项C，，，，即，时，，但此时，故C错误.对选项D，，则，∴，∴，∴由可知，即，，满足充分性，由，得，不能得到，不满足必要性，故D正确.故选：AD18．（2021·广东·高三月考）下列说法正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．若a、，则“”是“a、b不全为0”的充要条件C．命题“，都有”的否定是“，使得”D．命题“若，则”的否定是真命题【答案】ABD【分析】根据正切函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定B正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C错误，根据命题与非真假相反，可判定D正确.【详解】对于A中，当时，可得成立，即充分性成立；反之：当时，可得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，所以A正确；对于B中，由，可得不全为0，即充分性成立；反之：若不全为0，可得成立，即必要性成立，所以“”是“a、b不全为0”的充要条件，所以B正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，都有”的否定是“，使得”，所以C不正确；对于D中，当时，，所以命题为假命题，所以命题的否定为真命题，所以D正确.故选：ABD19．（2021·湖北·高三期中）下列命题为真命题的是（）A．命题：“，”的否定为：“，”B．若，，为实数，则“”是“”的充分不必要条件C．平面向量，的夹角为锐角的充要条件是D．若，为实数，则是的充要条件【答案】AB【分析】A由特称命题的否定：存在变任意并否定结论，写出否命题即可判断正误；B、D利用充分、必要性的定义，结合特殊值法判断正误；C注意平面向量夹角为0的特殊情况.【详解】A：由特称命题的否定可知：命题的否定为“，”，故正确；B：由“”，此时，故必有“”，当“”时，若推不出“”，故正确；C：非零平面向量，的夹角为0时也有，当，的夹角不为锐角，故错误；D：当时，由不能推出，故错误.故选：AB三、填空题20．（2021·湖北·高三期中）若集合，，，，且满足集合中最大的数大于集合中最大的数，则称有序集合对为“兄弟集合对”.当时，这样的“兄弟集合对”有_________对；当时，这样的“兄弟集合对”有___________对（用含有的表达式作答）.【答案】14【分析】当时，分别对集合中最大数为1，2和3进行讨论即可；当时，先找出集合中最大数为时，集合和的个数，再结合等比数列求和公式即可求解.【详解】由题意可知，时，.当集合中最大数为1，即时，无满足题意的集合；当集合中最大数为2，即或时，只有一种满足题意的集合，此时“兄弟集合对”有种；当集合中最大数为3，即，，或时，满足题意的集合有，和三种可能，此时“兄弟集合对”有种；故当时，这样的“兄弟集合对”有种.若集合中最大数为时，集合的个数为的子集个数，即个，此时集合的个数为的真子集个数，即个，因此这样的“兄弟集合对”有种，故当时，这样的“兄弟集合对”有：种.故答案为：14；.21．（2021·云南师大附中高三月考）若，集合，集合且，现将满足条件的每一个集合中的最小元素取出，然后将取出的所有元素相加，相加的结果记为，那么______，_______________________.【答案】【分析】由不等式求解得，根据集合且，分类讨论判断最小元素为，，，……，对应的情况，然后求和，再利用错位相减法计算.【详解】∵，解得，∴，对于数，集合有子集个，∴以作为最小元素被计算的次数为，总和为，同理以作为最小元素被计算的次数为，总和为，以作为最小元素被计算的次数为，总和为，依此类推，故所求结果，则，∴，得.故答案为：；；【点睛】一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．22．（2021·陕西·西安中学高三月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】解不等式求出集合，，由可得，再结合包含关系即可求解.【详解】因为，，由可得，所以，所以实数的取值范围是，故答案为：.23．（2021·河南驻马店·高三月考（理））在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.【答案】①③④【分析】根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误.【详解】对于①，，则，①正确；对于②，，则，②不正确；对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，则，③正确；对于④，若整数、属于同一“类”，则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，则，故，若，不妨令，则，显然，于是得，，即整数属于同一“类”，“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．正确的结论是①③④.故答案为：①③④.24．（2021·上海·复旦附中高三开学考试）设集合，集合.若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________【答案】【分析】求出中不等式的解集确定出，由与交集中恰有两个整数，得到（2）且（3）且，解不等式即得解．【详解】解：由中不