《相似三角形的性质及相似三角形应用举例》课件（3课时）VIP

27.2.2相似三角形应用举例第1课时1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题；2.了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.相似三角形的判定（1）通过平行线.（2）三边对应成比例.（3）两边对应成比例且夹角相等.（4）两角相等.根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为什么？(1)∠A=120°，AB=7，AC=14∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21(3)∠A=70°,∠B=48°,∠A′=70°,∠C′=62°【例1】据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，如果木杆EF长2m，它的影子FD长为3m测得OA为201m，求金字塔的高度BO.如何测量OA的长？因此金字塔的高为134m.解析：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEFBO：EF=OA：FDPQRSTba【例2】如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m.求河的宽度PQ.解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P,∴△PQR∽△PST.PQ：PS=QR:ST，即PQ：（PQ+QS）=QR：ST，

PQ：（PQ+45）=60:90,PQ×90=(PQ+45)×60，解得PQ=90.因此河宽大约为90m.如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB.解析：∵∠B=∠C=90°，

∠ADB=∠EDC，

∴△ABD∽△ECD，

AB：EC=BD：DC，

AB=50×120÷60=100（m）ABDCE利用相似三角形测量瓶子的内径学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距离．构造相似并计算瓶子内径．【解析】设点O将两根小木棒都分成了1/n，如果我们测出线段AB的长度为m，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，我们就可以求出内径CD的长度了，即CD=mn．【规律方法】相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相等的重要方法．如图，已知△ACB的边AB、AC上的点D、E，且∠ADE=∠C，求证：AD·AB=AE·AC．【解析】∵∠ADE=∠C，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）

∴AD︰AC=AE︰AB

即AD·AB=AE·AC．1.（乐山中考）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（）（A）6米（B）7米（C）8.5米（D）9米D2.（衡阳中考）如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x=

mm．2.5ACBA′B′C′32cm20cm3.如图：与小孔O相距32cm处有一枝长30cm燃烧的蜡烛AB，经小孔，在与小孔相距20cm的屏幕上成像，求像A′B′的长度.O【解析】根据题意,得:△ABO∽△A′B′O过点O作AB、A′B′的垂线，垂足分别为Ｃ、Ｃ′，则由相似三角形的对应高之比等于相似比，得ACBA′B′C′32cm20cmO即解得：A′B′＝18.75(cm)答：像A′B′的长度为18.75cm.一、相似三角形的应用主要有如下两个方面1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)；2.测距(不能直接测量的两点间的距离)．二、测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．三、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．27.2.2相似三角形应用举例第2课时1、能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题；2、进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.基本图形归纳平行型A型图X型图斜截型解决实际应用问题的关键是根据题意画出图形，或在图中找出基本图形，便于解题.眼睛在生活中具有非常重要的作用，有它可以欣赏美丽的大好河山，有它可以辨别是非黑白，有它可以传达你对同学们的友爱……，但是你有没有想过人眼的视线在相似形中还有非常重要的作用.【例】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？设观察者眼晴的位置（视点）为F，∠CFK和∠AFH分别是观察点C、A的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.解析：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上.∵AB⊥l，CD⊥l

，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，∴FH：FK=AH：CK，即解得FH=8.当他与左边较低的树的距离小于8m时，就不能看到右边较高的树的顶端点C.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?ABCDE解析：因为∠ACB＝∠DCE,所以△ABC∽△DEC，答：池塘的宽大致为60米．

∠CAB＝∠CDE=90°,ABCDE1.某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为___米(不计宣传栏的厚)。62.（内江中考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_____m.3.（德州中考）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.A时B时74

在应用相似的相关知识解决实际问题时，要利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型.27.2.3相似三角形的周长与面积1、理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比也等于相似比；多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。2、能应用相似三角形的有关性质解决相关问题.（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢？根据定义：对应角相等，对应边的比相等；（3）相似三角形的对应边的比叫什么？相似比（4）ΔABC与ΔA′B′C′

的相似比为k,则ΔA′B′C′

与ΔABC的相似比是多少？（1）相似三角形有哪些判定方法？如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？ABCA′B′C′相似三角形周长的比等于相似比.三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：高线角平分线中线相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？例如：ΔABC∽ΔA′B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥

B′C′于D′，求证：ABCDA′B′C′D′①相似三角形的对应高线之比等于相似比.角平分线角平分线中线中线②相似三角形的对应角平分线之比，中线之比，都等于相似比.（1）如图ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？①相似三角形面积的比等于相似比的平方.ABCDA′B′C′

D′（2）如图，四边ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCDA′B′C′D′②相似多边形面积的比等于相似比的平方.（1）相似三角形对应的比等于相似比.相似三角形(多边形)的性质:（3）相似的面积的比等于相似比的平方.多边形多边形（2）相似的周长的比等于相似比.三角形三角形高线角平分线中线【例】如图在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长和面积.ABCDEF解析：1.（1）已知ΔABC与ΔA′B′C′

的相似比为2：3，则周长之比为

，对应边上中线之比为

，面积之比为

.（2）已知ΔABC∽ΔA′B′C′，且面积之比为9：4，则周长之比为

，相似比为

，对应边上的高线之比为

.2:34:93:23:23:22:32.判断题：（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍.（

√）（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍.（×）1.（潍坊中考）如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选D.由中位线定理可知因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC，相似比为1：2，则面积比为相似比的平方即1：4.2.如图,在△ABC中,D是AB的中点，DE∥BC，则:(1)S△ADE:S△ABC=

.(2)S△ADE:S梯形DBCE=

.1:41:33.如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似比是_______.B