3平面曲线的弧长概要

1、3平面曲线的弧长大纲3平面曲线的弧长大纲4/43平面曲线的弧长大纲3平面曲线的弧长授课目标与要求：理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中，计算平面曲线的弧长的公式授课重点，难点：在直角坐标系、参数方程、极坐标中，计算平面曲线的弧长的公式.授课内容：.一平面曲线的弧长在这一部分中我们第一建立了曲线弧长的相关看法，此后曲线在三种表示状况，即分参数方程、直角坐标方程、极坐标方程给出时，获取了相应的弧长公式。其中曲线C由参数方程给出时的弧长公式是以定理10.1的形式给出的，其余两各种类经过转变成参数方程，也很简单地获取了相应的弧长公式。先建立曲线弧长的看法。设平面曲线C=。如图取分点：1014所示

2、，在C上从A到B依次A=P0，P1，P2，Pn1，Pn=B，它们成为对曲线割，记为T。此后用线段联系T中每相邻两点，获取C的一个分C的n条弦Pi1Pi（i=1，2，n），这n条弦又成为C的一条内接折线。记nTmaxPi1Pi,sTPi1Pi，1ini1分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义1对于曲线C的无论怎样的切割T，若是存在有限极限limsTs,|T|0则称曲线C是可求长的，并把极限s定义为曲线C的弧长。定义2设平面曲线C由参数方程x=x（t），y=y（t），t，（1）给出。若是x（t）与y（t）在，上连续可微，且x（t）与y（t）不同样样时为零（即x2（t）+y2(t)0，t，），则称

3、C为一条圆滑曲线。定理10.1设曲线C由参数方程（1）给出。若C为一圆滑曲线，则C是可求长的，且弧长为s=x2ty2tdt（2）证1。对C作任意切割T=P0，P1，Pn，并设P0与Pn分别对应t=与t=，且Pi（xi，yi）=（x（ti），y（ti），i=1，2，n1。于是，与T对应地获取区间，的一个切割T：=t0t1t2tn1tn=.2在T所属的每个小区间i=ti1，ti上，由微分中值定理得xi=x（ti）x（ti1）=xiti,ii;yi=y（ti）y（ti1）=yiti,ii;从而曲线C的内接折线总长为nxi2yi2sT=i1nx2y2=iiti。i13又因C为圆滑曲线，当x（t）0时，

4、在t的某邻域内x=x（t）有连续的反函数，故当x0时，t0；近似地，当y（t）0时，亦能由y0推知t0。因此当Pi1Pixi2yi20时，必有ti0。反之，当ti0时，显然有Pi1Pi0。由此知道：当C为圆滑曲线时，T0与T0是等价的。4由于x2ty2t在，上连续从而可积，因此依照定义1，只需证明：nx2y2limsTlimiiti,（3）T0T0i1此后者即为（2）式右边的定积分。为此记ix2iy2ix2iy2i，则有nsT=x2iy2iiti.i1利用三角形不等式易证iyiyiyiyi,由y（t）在，上连续，从而一致连续，故对任给的0，存在0，当T时，只要i，ii，就有i，i=1，2，n。

5、因此有nnnsTx2iy2itiitiiti.i1i1i1即（3）式得证，亦即公式（2）建立。推论（1）若曲线C由直角坐标方程y=f（x），xa，b表示，其中f（x）在a，b上连续可微时，这时弧长公式为s=b1f2xdx。（4）a（2）若曲线C由极坐标方程r=r（），表示，其中r（）在，上连续，且r（）与r（）不同样样时为零时，这时弧长公式为s=r2r2d（5）证明：（1）若曲线C由直角坐标方程y=f（x），xa，b表示，把它看作参数方程，即为x=x，y=f（x），xa，b。当f（x）在a，b上连续可微时，C为一圆滑曲线，由定理10.1弧长为s=b1f2xdx。a(2)曲线C由极坐标方程r=r

6、（），表示,把它化为参数方程:xrcos,yrsin,.由于xrcosrsin，yrsinrcos,x2y2r2r2,因此当r（）在，上连续，且r（）与r（）不同样样时为零时，此极坐标曲线为一圆滑曲线。由定理10.1弧长为s=r2r2d例1求摆线x=a（tsint），y=a（1cost）（a0）一拱的弧长（见图解x（t）=a（1cost），y（t）=asint，由公式（2）得2y2tdt22a21costdts=x2t00=2a2sint8a。0dt2例2求悬链线exexy=2从x=0到x=a0那一段的弧长。解y=exex，1+y2=exex2，由公式（4）得103）。24a1y2dxaexexeaeas=0dx。022例3求心形线r=a（1+cos）（a0）的周长。解由公式（5）得22r2d22a21cosds=r00=4acosd8a2下面简单介绍弧微分与微分三角形。若把公式（2）中的积分上限改为t，就获取曲线（1）由端点P0到动点P（x（t），y（t）的弧长，即t2y2ds（t）=xa由于被积函数是连续的，因此2dsdxdydtdtdt2，ds