南通市2013届高三第一次到第三次调研测试数学题2013

1、南通市2013届高三第一次到第三次调研测试数学题2013.8.12填空题 Nt1 9在ABC中，若AB=1，AC=，则= 满足的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，于是=1 Nt1 10已知，若，且，则的最大值为 -2 Nt1 11曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 在方程中，令x=0，则得Nt1 13已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 圆心C(-1，0)到直线l：y=ax+3的距离为，解得a0或a 由PA=PB，CA=CB，得PCl，于是，进而可求出x0的取值范围Nt1 14设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小

2、时，点 P的坐标为 (2，3)法一 当且仅当，即时m取得最小，此时点的坐标为法二 当且仅当时取得最小值Nt2 12. 设数列an满足：，则a1的值大于20的概率为 Nt2 13.设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1x2x3x4x5=729，则maxx1x2，x2x3，x3x4，x4x5的最小值是 9 第13题 本题考查不等式的有关知识与方法. maxx1x2，x2x3，x3x4，x4x5maxx1x2，x3x4，x4x59. 当x1= x3= x5=9，x2= x41.Nt2 14.在平面直角坐标系xOy中，设，B，C是函数图象上的两点，且ABC为正三角形，则ABC的高为 2N

3、t3 11已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，若，则实数的值为考查函数的图象与基本性质由偶函数的性质，得到由题意知所以，则Nt3 12过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点则点的坐标为 设，则，解得，所以；设，则，解得，所以；设，则，解得，所以；，通过归纳可猜想：讲评时提醒学生本题可推导出是等差数列用于求解Nt3 13在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，CD若，则的值为 13Nt3 14已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且

4、a1a2a3，则a4的取值范围是 【答案】14考查一元二次方程，不等式等相关知识 因为所以，消去得，且，两边同除以得，解得，所以，解得解答题：Nt1 16.（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围解：(1)因为，即，所以，即 ，得 所以，或(不成立)即 , 得 (2)由因， 故= ，故14分Nt1. 18.已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有

5、满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令n=1，则a1=S1=0 (2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 13分当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列，于是 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数由(x)3(m3)x2 + 90在区间(，+)上恒成立，所以m3故m的取值范围是3，) （2）当m

6、3时，f (x)在1，2上是增函数，所以f (x) maxf (2)8(m3)184,解得m eq f(5,4)3，不合题意，舍去 当m3时，(x)3(m3) x2 + 9=0，得所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减当，即时，所以f (x)在区间1，2上单调增，f (x) max f(2)8(m3)184，m eq f(5,4)，不满足题设要求当，即0m时，f (x) max舍去当，即m0时，则，所以f (x)在区间1，2上单调减，f (x) max f (1)m + 64，m2.综上所述：m2 Nt2 19在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2r2和直线l：xa（其中r

7、和a均为常数，且0 r 0，函数，记（是函数的导函数），且当x = 1时，取得极小值2（1）求函数的单调增区间；（2）证明【解】（1）由题于是，若，则，与有极小值矛盾，所以令，并考虑到，知仅当时，取得极小值所以解得故，由，得，所以的单调增区间为（2）因为，所以记因为， 所以，故Nt3 16在ABC中，角，所对的边分别为，c已知 （1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围解：（1）在ABC中， ， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以 （2） 因为，所以， 故，因此， 所以 Nt3 17某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃厚度均为4 m

8、m，中间留有厚度为的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为）（1）设室内，室外温度均分别为，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为， 且试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用，及表示）； （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题） 解：（1）设单层玻璃和双层中

9、空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为， 则， （2）由（1）知， 当4%时，解得（mm） 答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% Nt3 18如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为（第18题）分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值 （1）解：由题意，得，故， 从而， 所以椭圆的方程为 （2）证明：设直线的方程为， 直线的方程为， 由得，点，的横坐标为， 由得，点，的横坐标为， 记， 则直线，的斜率之和为 Nt3. 19已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列 （1）若

10、，求数列的前项和；（2）若存在正整数，使得试比较与的大小，并说明理由解：（1）依题意， 故， 所以， 令， 则， 得， ， 所以 （2）因为， 所以，即， 故， 又， 所以 （）当时，由知 ， （）当时，由知 ， 综上所述，当时，；当时，；当时，Nt3 20设是定义在的可导函数，且不恒为0，记若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是 否为“2阶负函数”？并说明理由 解：（1）依题意，在上单调递增， 故 恒成立，得， 因为，所以 而当时，显然在恒成立， 所以 （2）先证： 若不存在正实数，使得，则恒成立 假设存在正