电工技术第三版席时达教学指导习题解答第三章

1、电工技术第三版席时达讲课指导、习题解答第三章电工技术第三版席时达讲课指导、习题解答第三章电工技术第三版席时达讲课指导、习题解答第三章第三章正弦沟通电路【前言】1在生产和生活的各个领域中所用的沟通电，一般都是正弦沟通电，即电路各部分的电压和电流均按正弦规律变化。2分析正弦沟通电路的主要依据仍旧是各样元件的伏安关系和基尔霍夫定律，但沟通电路有其特其余规律，好多现象和结论用直流电路的见解是没法理解的。正弦沟通电路是本课程的要点内容，是学习此后各章的基础，学习利害，对此后影响很大。学习目的和要求1理解正弦沟通电的三因素以及相位差和有效值的见解。2理解正弦沟通电的各样表示方法及相互间的关系，掌握正弦沟通

2、电的相量表示法。3理解正弦沟通电路中电流与电压的关系及电路基本定律的相量形式。4理解正弦沟通电的刹时功率、均匀功率和功率因数的见解。认识无功功率、视在功率的见解。理解提升功率因数的意义和方法。5认识分析正弦沟通电路的一般方法。6认识串联谐振和并联谐振的条件和特色。7认识非正弦沟通电路的见解。本章要点：单调参数的沟通电路。本章难点：相位及无功功率的见解。3-1正弦沟通电的基本见解【讲解】图3-1-1（a）。直流电不随时间变化的电压（U）和电流（I）。【讲解】图3-1-1（b）。正弦沟通电随时间按正弦规律周期性变化的电压(u)和电流(i)。（a）(b)图3-1-149【说明】平常直流电由直流发电机

3、、电池、稳压电源产生，正弦沟通电由沟通发电机、电子振荡器产生。正弦沟通电的长处是：易于产生和使用，易于输送和分派、易于变换。【讲解】正弦沟通电常用波形图来表示。如图3-1-2所示。波形图正弦电流随时间变化的曲线【说明】波形图的横座标可用t表示，也可用t表示。图3-1-2周期T沟通电变化一周所需的时间（s）频次f每秒变化的周数（HZ）f=1T【讲解】正弦沟通电可用三角函数式表示。分析式表示正弦沟通电随时间变化的三角函数式。i=Imsin(t+i)瞬市价最大值角频次初相位【讲解】正弦电流可以由m、i这三个参数决定，因此称最大值、角频次、初相位为正弦量的特色量，亦称为正弦量的三因素，现分述以下：一、

4、正弦量的三因素1最大值幅值。【说明】最大值用带下标m的大写字母表示，如m、m、m。瞬市价用小写字母表示，如i、u、e2角频次单位时间内正弦函数辐角的增添值（rad/s）。2T【说明】f、T和三个物理量都是说明正弦沟通电变化快慢的同一物理实质的。知其一即可知其余两个量。50我国电力系统供电的频次f50Z，可知其周期为(150)s0.02s，角频次22f314rad/s。这一频次称为工业标准频次，简称工频。世界上多半国家以50Z为标准频次，美国、加拿大、日本等少量国家以60Z为标准频率。除工频外，各样技术领域则采纳不一样样频次的沟通电，比方：工业用中频炉500800Z高频炉200300kZ音频信号

5、2020kZ无线电通讯30kZ3104MZ3初相位计时开始时辰正弦量的相位角（rad或）。【讲解】图3-1-3。（t+i）正弦量随时间变化的进度（a）选i=0刹时作为记时起点时，初始值i（0）=Imsini=0，则初相角i=0，波形经过原点;（b）入选i0的某一刹时作为计时起点，则sini0，i0，波形前移一个i角；（c）入选i0的某一刹时作为计时起点时，则i0，波形后移一个i角sini0，iii0t0t0tii(a)i=0(b)i0(c)i0图3-1-3例3-1-1某正弦电压的最大值Um=310V，初相角u=30；某正弦电流的最大值Im=14.1A，初相角i=60。它们的频次均为50HZ。试

6、分别写出电压和电流的瞬市价表达式。并画出它们的波形。解电压的瞬市价表达式为u=Umsin(t+u)=310sin(2ft+u)V=310sin(314t+30)V电流的瞬市价表达式为i=Imsin(t+i)=14.1sin(314t60)A电压和电流的波形如图3-1-4所示。图3-1-4例3-1-2试求上式中电压u和电流i在t=(1/300)s时的瞬市价。51解u=310sin(250t+30)V=310sin(2501/300+30)V=310sin(/3+30)V=310sin90V=310Vi=14.1sin(2501/30060)A=14.1sin0A=0【说明】在t=1/300s刹时

7、，电压u达到最大值Um=310V，而电流i到零点，见图3-1-4。u与i的频次相同而最大值和初相位不一样样。分析电路常常会碰到两个同频次正弦量，因为电路中全部的电压、电流都是与电源频次相同的正弦量，这类初相位的差别反应了二者随时间变化的步伐不一致。这类步伐不一致的程度一般用相位差来表示。二、相位差两个同频次正弦量的初相角之差。=(t+u)(t+i)=ui=30（60）=90说明】两个同频次正弦量的相位差等于它们的初相角之差。计时起点（t=0）不一样样，两个同频次正弦量的初相位和相位不一样样，但相位差不变。不一样样频次的正弦量比较相位没心义。两个同频次正弦量的相位差有以下几种状况，如图3-1-5

8、所示。0=90=0=ui=180=ui=ui=uiuiuiiuuiiuiuiuuiOtOtOtOt电压超前于电流电压滞后于电流90电压与电流同相电压与电流反相相图3-1-5选定某正弦量为参照正弦量，令其初相角=0，则其余各正弦量的初相角，即为该正弦量与参照正弦量的相位差。例3-1-3已知正弦电压u和电流i1、i2的瞬市价表达式为=310sin（t45)V1=14.1sin(t30)Ai2=28.2sin(t+45)A52试以电压u为参照量从头写出电压u和电流i1、i2的瞬市价表达式。解若以电压u为参照量，则电压u的表达式为u=310sintV因为i1与u的相位差为1=i1u=30（45）=15

9、故电流i1的瞬市价表达式为i1=14.1sin(t+15)A因为i2与u的相位差为2=i2u=45（45）=90故电流i2的瞬市价表达式为i2=28.2sin(t+90)A【讲解】正弦量三因素的实质是正弦量的大小、变化快慢和起步地点。正弦量的大小是不停变化的的，好多场合用最大值来表示它的大小其实不适合，比方最大值1A的交流电与1A直流电经过同一电阻的热效应是不一样样的，电流值不可以看作是相等的。实质上不论是周期性变化的电流仍是直流，我们把经过同一电阻热效应相等的电流值看作是相等的。我们平常说的沟通电多少安培、多少伏特其实不是指最大值，而是指有效值。三、正弦量的有效值从能量变换角度去考虑的等效直

10、流值。问题有效值必然比最大值小，那么终究是多大呢？【朗诵教材第50页第8行】有效值是从电流的热效应来规定的，因为在电工技术中，电流常表现其热效应。不论是周期性变化的电流仍是直流，只需它们在相等的时间内经过同一电阻而二者的热效应相等，就把它们的电流值看作是相等的。也就是说，当某一沟通电流i经过一个电阻R在一个周期内所产生的热量，与某向来流电流I经过相同的电阻在相同时间内产生的热量相等时，则该沟通电流的有效值在数值上就等于这个直流值I。【讲解】图3-1-6【说明】图上标出的电压和电流方向是参照方向，当沟通电为正半周时，电流（或电压）的实质方向与参照方向一致，此时电流（或电压）为正当；当沟通电为负半

11、周时，电流（或电压）的实质方向与参考方向相反，电流（或电压）为负值。沟通电流i在一周期时间（T）内经过电阻R所产53ITT直流电流I在相同时间（T）内经过电阻R所产图3-1-62RdtI2RT得1T2dt沟通电有效值Ti0将i=Imsin(t+i)代入，得=1TIm0(Imsint)2dt=2=0.707Im正弦沟通电有效值T同理可得mEE=2=0.707EmUmmU=2=0.707U【说明】正弦沟通电的有效值是它最大值的2。一般用有效值表征一个沟通电的大小，而最大值只表示沟通电最大的瞬市价。沟通电的有效值是从能量变换角度去考虑的等效直流值。引入有效值后，即可借鉴直流电路的分析方法去办理沟通电

12、路的好多问题。实质生活和工作中常常有到的沟通电的数值都是有效值，比方家庭用的沟通电220V、沟通电机和电器的铭牌上所标的额定电压和额定电流、沟通电压表和电流表的读数等都是有效值。只有在说明某些电气设施或器件上的击穿电压或绝缘耐压时才用到电压的最大值，比方电容器上所标的额定电压，平常指的是直流电压值。当电容器用在沟通电路时，沟通电压的最大值应不超出它的额定电压值，不然电介质将被击穿，电容器将破坏。例3-1-4试求例3-1-3中正弦电压u和电流i1、i的有效值。解UUm310V220V22I1mI12I2mI2214.1A10A228.2A20A2发问思虑题3-1-1、3-1-3、3-1-4、3-

13、1-5。思虑题3-1-1已知i15sin314t，i215sin(942t+90)。你能说i2比i1超前90吗？为何？答二者频次不一样样，比较其相位是没存心义的，因此不可以说i2超前i190。543-1-2正弦量的最大值和有效值能否随时间变化？它们的大小与频次、相位有没相关系？答正弦量的最大值和有效值是不随时间变化的，它们的大小与频次、相位没相关系。3-1-3将平常在沟通电路中使用的220V、100W白炽灯接在220V的直流电源上，试问发光明度能否相同？为何？答平常在沟通电路中使用的220V、100W白炽灯，接在有效值为220V的沟通电源上，其功率是100W，因为沟通电有效值是从能量变换角度去

14、考虑的等效直流值，假如将它接在220V的直流电源上，其功率也是100W，故发光明度相同。3-1-4沟通电的有效值就是它的均方根值，在什么条件下它的幅值与有效值之比是2？答必然是正弦沟通电，它的幅值与有效值之比才是2。3-1-5有向来流耐压为220V的交、直流通用电容器，能否把它接在220V沟通电源上使用？为什么？答220V沟通电压的最大值为2202V，超出电容器的耐压值220V，会使电容器的绝缘击穿，故耐压为220V的电容器不可以用在220V沟通电压上。3-2正弦量的相量表示法分析式【引出】正弦量的表示方法计算不便波形图相量用复数表示。计算方便，本章要点。相量表示法是用复数来表示正弦量，下边简

15、单复习一下复数。一、复数代数形式1复数的表示形式三角函数形式指数形式实部虚部（1）复数的代数形式A=a+jb【讲解】图3-2-1。=1，虚数单位j模A=a2+b2b复平面A复数b=AsinbA辐角=arctana0a1虚轴a=Acos图3-2-1实轴（2）复数的三角函数形式A=A（cos+sin）（3）复数的指数形式A=Aej简je=cos+sin欧拉公式复数的极坐标形式写/A=A552复数运算设A1=a1jb1=A11A=ajb=A21）加、减运算用代数形式，实部与虚部分别相加或相减。A1+A=(a1a)+j(b1b)【说明】图3-2-22）乘、除运算用指数或极坐标形式，模相乘、除，辐角相加

16、、减。A1A=A1A21A1A1A2=A21【说明】图3-2-33）复数乘以j0+j=1/90A1=1/90A1=A11+900j=1/90A1=A1190【说明】图3-2-4。jA1A2A2A101图3-2-2jA1A2A1A2A2122A1101图3-2-3图2-3-4任一复数乘以，相当于在复平面上把复数矢量沿逆时针方向旋转90任一复数乘以，相当于在复平面上把复数矢量沿顺时针方向旋转90。J旋转因子二、正弦量与复数的关系【讲解】图3-2-5。逆时针旋矢量长度转角速度矢量与横轴的正向夹角图3-2-5矢量在纵轴上的投影56i=Imsin(t+)矢量长度逆时针旋矢量与横轴转角速度的正向夹角三因素

17、决定一个正弦量【说明】正弦量可用旋转矢量来表示。求解一个正弦量必然求得它的三因素。但在分析正弦沟通电路时，因为电路中全部的电压、电流都是同频次的正弦量，平常只需分析最大值（或有效值）和初相角两个因素就够了。用一个有必然长度，与横轴有必然夹角的静止矢量即可来表示正弦量。这样的静止矢量置于复平面上就是复数，因此可以直接用复数来表示正弦量。三、相量用来表示正弦量的复数【讲解】相量有最大值相量和有效值相量两种，相量符号是在大写字母上加黑点，如?m、Um、?m，、U、?。如图3-2-6所示。（1）最大值相量（2）有效值相量?m=Im?=I/相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角j?mIm相量的

18、模=正弦量的有效值j相量辐角=正弦量的初相角?I0101(a)最大值相量（b）有效值相量图3-2-6有效值相量运算更方便，故一般都采纳有效值相量。若已知一正弦量，则可求出与之对应的相量，反之亦然。?=I/i=2Isin(t+)相量是一个复常数，而正弦量是周期性的实变数，是时间t的函数，二者不可以相等。?=I/i=2Isin(t+)57非正弦量不可以用相量表示。四、正弦电路的相量分析【讲解】引入正弦量的相量表示法后，正弦量的分析计算就变得十分简单。在分析正弦沟通电路时，有两种方法可用：一是利用相量图上各相量之间的关系，用几何方法求出所需的结果；二是用复数式直接进行运算。相量式?=I/用复数进行运

19、算。两种分析方法相量图几个同频次的相量画在一同，利用相量图上各相量之间的关系，用几何方法求出所需的结果，如图3-2-7（a）所示。图3-2-7【说明】几个同频次的相量画在一同，可取此中一个相量作为参照相量，令其初相角为零，即画在横轴方向上，其余相量的地点按其与此相量之间的相位差定出，坐标轴可不画出,如图3-2-7（b）、（c）所示。例3-2-1已知图3-2-8（a）所示的电路中，i1=28sin(t+60)A，i2=26sin(t30)A，试求总电流i的有效值及瞬市价表达式。图3-2-8解先将正弦电流i1和i2用相量来表示：1=8/60A2=6/30A（1）用相量图求解58画出相量图，如图3-

20、2-8（b）所示，此后用平行四边形法例求出总电流i的相量?。因为?1和?2的夹角为90，故2222I=I1+I2=8+6A=10A这就是总电流i的有效值。相量?与横轴的夹角就是i的初相角。8=arctan630=23.1因此总电流的瞬市价表达式为i=210sin(t+23.1)A（2）用复数运算求解?=?1+?2=（8/60+6/30）A=(4+j6.9+5.2j3)A=(9.2+j3.9)A=10/23.1A故电流的有效值为10A，初相角为23.1。瞬市价表达式为i=210sin(t+23.1)A【注意】计算表示，II1+I2。这是因为同频次正弦量相加时，除了要考虑它们的数值外，还要考虑相位

21、问题，这是与直流不一样样之处。例3-2-2已知图3-2-9（a）所示的电路中，u1=141sin(t+45)V，u2=84.6sin(t30)V，试求总电压u的有效值及瞬市价表达式。图3-2-9解u1和u2的相量分别为141U1=2/45V=100/45V84.6U2=2/30V=60/30V（1）用相量图求解59,画出电压相量U1和U2，依据U=U1+U2，由平行四边形法例作出U，如图3-2-9（b）所示。从相量图中各相量之间的几何关系可得总电压的有效值U=（U1cos1+U2cos2）2+（U1sin1+U2sin2）2=（100cos45+60cos30）2+（100sin4560sin

22、30）2V=129V初相角为1122arctanUsin+Usin1122Ucos+Ucosarctan100sin45+60sin（30）100cos45+60cos（30）=arctan0.332=18.4因此总电压的瞬市价表达式为u=1292sin(t+18.4)V（2）用复数运算求解总电压的相量为U=U1+U2=(100/45+60/30）V=(70.7+j70.7+51.9j30)V=(122.6+j40.7)V=129/18.4V故总电压的有效值为129V，初相角为18.4，瞬市价表达式为u=1292sin(t+18.4)V【说明】用相量图求解和用复数运算求解的结果应相同。【小结】

23、随时间按正弦规律周期性变化的电压和电流统称为正弦电量，或称为正弦沟通电。最大值、角频次和初相位是确立一个正弦量的三因素。最大值反应正弦量的变化范围；角频次反应正弦量变化的快慢；初相位反应正弦量在计时起点的状态。两个同频次正弦量的初相位之差称为相位差，相位差是不随计时起点而变化的。在热效应方面与沟通电等效的直流值称为沟通电的有效值。正弦量的有效值是最大值的0.707倍。正弦量可用三角函数式、波形图和相量三种方法来表示。三角函数式和波形图是两种基本的表示方法，能将正弦量的三因素全面表示出来，但不便于计算；相量表示法是分析和计算沟通电路的一种重要工具，它用相量图或复数式表示正弦量的量值和相位关系，经

24、过简单的几何或代数方法对同频次的正弦交流电进行分析计算，十分方便。60复数的加减以代数形式运算最为简单，复数的乘除以指数形式或极座标形式运算最为简单。j是旋转90的算符，任一相量乘上+j后，即逆时针方向旋转90；乘上j后，即顺时针方向旋转90。沟通电的符号：瞬市价I、u、e恒定值I、U、E有效值I、U、E最大值Im、Um、Em额定值IN、UN、EN相量?、Ummm）、?（?、U、?【发问】思虑题3-2-1。【练习】3-2-2（必然或指犯错误）、思虑题3-2-3。【作业】习题3-1、3-2、3-3、3-4、3-5。思虑题3-2-1不一样样频次的几个正弦量能否用相量表示在同一图上？为何？答几个相量

25、画在同一图上应表示出它们之间的相位差，假如各相量的频次不一样样，则相位差没心义，这样的相量图也是没心义的，故不一样样频次的几个正弦量不可以用相量表示在同一图上。3-2-2正弦沟通电压的有效值为220V，初相角30，试问以下各式能否正确？1）u=220sin(t+30)V2）U=220/30V（3）U=220ej30V=2220sin(t+30)V（4）U5）u=220/30V（6）u=2220/30V答只有（3）是正确的。3-2-3已知?10/30，试将以下各相量用对应的时间函数（角频次为）来表示：?j?j?答(1)i1=210sin(t+30)Ai2=210sin(t+120)Ai3=210

26、sin(t60)A【发问】思虑题3-2-3。3-3单调参数的沟通电路61R=u【概括】电路参数L=iC=qu本章讨论单调参数电路加上沟通电压时产生的电流与功率。是分析、计算正弦沟通电路的基础，也是本章的要点内容。一、电阻电路【讲解】电阻中的电流和它两头的电压在任一刹时都遵照于欧姆定律。在图3-3-1中，u=iR正弦电压与电流的关系设u=Umt，则图3-3-1sinuUmsint=ImRi=sintR式中Um=RIm或U=RImt频次相等不变u=Usin相位相同um比较三因素it=0i=Isin符合欧姆定律U=RI【讲解】据此可作图3-3-2（a）用相量表示：如图3-3-2（b）所示。u=Ums

27、intU=U/0i=ImsintU=RI/0=R?=I/0图3-3-262欧姆定律的相量形式U=?R是同频次正弦量【说明】式U=?R反应电压与电流关系同相位依据式U=?R相同可画出图3-3-2（a）、(b)图3-3-1的电路可用相量模型来取代,如图3-3-3所示。图3-3-3电阻电路中的功率（1）刹时功率p电路任一刹时所汲取的功。.p=ui=UmsintImsint=2U2Isin2t=UI（1cos2t）=UIUIcos2t恒定值以2的角频次随时间变化的交变量【讲解】图3-3-4。恒定值以2的角频次随时间变化的交变量图3-3-4【说明】电阻所汲取的功率在任一刹时老是大于零的，说明电阻是耗能元

28、件。（2）均匀功率P有功功率632P=UI=I2R=U单位：W（瓦）、kW（千瓦）R【说明】此公式与直流电路相像平常40W灯泡、4kW电动机都指有功功率。例3-3-1已知一白炽灯，工作时的电阻为484，其两头的正弦电压为u=311sin(314t60)V，试求(1)白炽灯电流的相量及瞬市价表达式；(2)白炽灯工作时耗费的功率。解(1)电压相量为311/60V=220/60VU=U/u=2电流相量为U220/60?=R=484A0.45/60A电流瞬市价表达式为i=2Isin(t+u)=0.452sin(314t60)A工作时耗费的功率即均匀功率P=UI=220V0.45A=100W二、电感电路

29、【讲解】在图3-3-5中，u=e=Ldidt1正弦电压与电流的关系设i=Imsint图3-3-5则u=e=Ld（m）=LImmIsint)dtsin(t+90)=Usin(t+90式中Um=LIm或U=LI=XLI感抗XL=L=2fL单位为（欧姆）【说明】I=U/XL，U一准时I与XL成反比，感抗XL起阻截电流经过的作用。感抗XL与L和f成正比。电感有阻高频，通低频的作用。若f=0，则XL=0，可视为短路。感抗有阻交通直的作用。i=Imsint频次相等不变电压超前电流90ui=90u=Umsin(t+90)比较三因素符合欧姆定律U=XLI【讲解】据此可作图3-3-6（a）64【讲解】电感元件在

30、沟通电路中使电压与电流之间出现相位差，除了从数学推导中得出结论外，还应从物理见解上理解。即电感只在电流变化时才有自感电动势，当正弦沟通电的电流为最大值时，其变化率为零，故自感电动势为零，端电压也为零，而当电流过零值时，其变化率最大，自感电动势也最大，di与它相均衡的电压也最大。在图3-3-6(a)上可看出u与成正比的关系。dt用相量表示：如图3-3-6（b）所示。mt?=I/0i=Isinu=Umsin(t+90)U=XLI/90=XLIjU=U/90(a)(b)图3-3-6欧姆定律的相量形式U=jXL?是同频次正弦量【说明】式U=jXL?反应电压与电流关系电压超前电流90有效值关系U=XI图

31、3-3-5的电路可用相量模型来取代,如图3-3-7所示。图3-3-72电感电路中的功率（1）刹时功率p=ui=2Usin（t+90）2Isint2UIsintcost=UIsin2t幅值为UI角频次为2【讲解】图3-3-8。的正弦量65幅值为UII与u方向一致角频次为2的正弦量UII与u方向P0P0P0P0相反储能放能储能放能图3-3-（2）均匀功率P刹时功率在一个周期内的均匀值1T1TTTP=0pdt=0UIsin2t=0【讲解】电感不用耗能量，是储能元件，在电路中起着能量的吞吐作用。电感与电源之间有功率的交换，电源必然供应它电流，要占用电源设施的容量。电源对电感元件供应电流时，通电线路上的

32、电阻仍要耗费功率。电感吞吐能量的快慢如何表示？工程上用刹时功率的最大值来权衡无功功率3）无功功率刹时功率的最大值，反应电路中能量交换的速率。U2XL单位：var（乏尔，简称乏）U=IXLI=U/XL【说明】不要把“无功”功率理解为“无用”功率。实质上无功功率在工程上据有重要地位，比方电磁铁、变压器、电动机等一些拥有电感的设施，没有磁场是不可以工作的，而磁场能量是由电源供应的，电源需要向设施供应必然规模的能量与之进行交换才能保证设施的正常运转。例3-3-2设有一电感线圈，其电感L=0.5H，电阻可略去不计，接于50HZ、220V的电压上，试求：1）该电感的感抗；2）电路中的电流及其与电压的相位差

33、；3）电感的无功功率；（4）若外加电压的数值不变，频次变为5000HZ，重求以上各项。解（1）电感的感抗X=L=2fL=2500.5=157L2）选电压为参照相量，即U=220/0V，则220/0j15766?=jXL=A=j1.4A即电流的有效值=1.4A，电流滞后于电压90。3）电感的无功功率1.42157var308var或2201.4var308var（4）当频次为5000HZ增大到100倍XL=2fL=250000.5=15700增大到100倍I=U=220A=0.014A减小到100倍15700XL0.014215700var=3.08var减小到100倍【说明】同一电感对不一样样

34、频次的电流呈不一样样的感抗，频次越高，则感抗越大，电流越小，因此与电源交换功率的最大值也越小，即无功功率越小。电感电流的相位永久滞后于电压90三、电容电路dQdu【讲解】在图3-3-9中，i=dt=Cdt正弦电压与电流的关系图3-3-9u=Umsint设则i=Cdu=CUmcost=CUmsin（t+90）=Imsin（t+90）dt式中Im=CUm或U=1I=XCIC容抗XC=1=1单位为（欧姆）C2fC【讲解】I=U/XC，容抗XL起阻截电流经过的作用。容抗与C和f成反比，有通高频阻低频的作用。若f=0，则XL，可视为开路，电容有通交隔直的作用。mt频次相等不变u=Usin电压滞后电流90

35、ui=90m比较三因素t+90）i=Isin（符合欧姆定律U=XCI【讲解】据此可作图3-3-10（a）【讲解】电容元件在沟通电路中使电压与电流之间出现相位差，除了从数学推导中得出结论外，还应注意其物理见解。电容只在端电压发生变化时才有电流，当正弦沟通电压为最大值时，其变化率67为零，故电流也为零，而当正弦沟通电压过零值时，其变化率最大，故电流也最大。从图3-3-10(a)上可看出I与du成正比的关系。dt用相量表示：如图3-3-10（b）所示。mU=U/0u=Usinti=Imsin(t+90)?=I/90U=XCI/0=XC?/90=jXC?(a)(b)图3-3-10欧姆定律的相量形式U=

36、jXC?是同频次正弦量【说明】式U=jXC?反应电压与电流关系电压滞后电流90有效值关系U=XI图3-3-9的电路可用相量模型来取代,如图3-3-11所示。图3-3-112电容电路中的功率（1）刹时功率pp=ui=2Usint2Isin（t+90）=2UIsintcost=UIsin2t幅值为UI角频次为2【讲解】图3-3-12。的正弦量68幅值为UI角频次为2的正弦量I与uUI方向一致I与uP0P0P0P0方向充电放电充电放电相反图3-3-12（2）均匀功率P刹时功率在一个周期内的均匀值TTpdt=T10TP=10UIsin2t=0【说明】电容不用耗能量，是储能元件，在电路中起着能量的吞吐作

37、用。（3）无功功率C刹时功率的最大值。2C=UI=I2XC=U例3-3-3设有一电容器，其电容C=38.5F，电阻可略去不计，接于50HZ、220V的电压上，试求：1）该电容的容抗C；2）电路中的电流及其与电压的相位差；3）电容的无功功率C；（4）若外加电压的数值不变，频次变为5000HZ，重求以上各项。解（1）电容的容抗1=180C=62fC25038.510（2）选电压为参照相量，即令U=220/0V，则U220?=A=j2.75AjXC=j80即电流的有效值为2.75A，相位上比电压超前90。（3）无功功率CC2.75280var605var或2202.75var605varC（4）若f

38、=5000HZ增大到100倍1162fC2500038.51069则C=0.8减小到100倍U220增大到100倍?=jXC=j0.8A=j275AC220275var60500var60.5kvar增大到100倍【说明】同一电容对不一样样频次的电流呈不一样样的容抗。频次越高，则容抗越小，电流越大，无功功率也越大，与电感恰巧相反。电容电流的相位永久超前于电压90。表3-3-1单调参数电路元件的沟通电路基天性质电路模型电路参数电阻R电感L电压瞬市价u=Riu=L与电流的有效值U=RIU=XLI关系相位u与i同相u超前于i90di电阻或电抗RdtXL=L用相相量模型量表示电相量关系式U=R?U=j

39、XL?压与电流电容Ci=CU=XCIu滞后于i90diXC=dtU=jXC?关系参照方向伏安特性有效值欧姆定律可记忆为：感压前，容压后电感阻高频，通低频（阻交通直）电容通高频，阻低频的关相量图系有功功率P=UI=I2RP=0=02无功功率QLUI=IXLQ=1C关系参照方向P=0欧姆定律相量形式Q=UI=I2包括三因素关系XCC电阻是耗能元件电感、电容是储能元件刹时功率的最大值70【小结】单调参数电路元件的沟通电路是理想化（模型化）的电路。电阻是耗能元件，电阻电路的端电压与电流成正比，电压与电流同相；电感和电容是储能元件。电感电路的端电压与电流的变化率成正比，电压超前于电流90；电容电路的电流

40、与电容端电压的变化率成正比，电流超前于电压90。单调参数电路欧姆定律的相量形式是：U=R?U=jXL?U=jXC?它们反应了电压与电流的量值关系和相位关系，此中感抗XL=L=2fL，容抗XC=1/C=1/2fC。电感、电容和电阻相同都拥有阻截沟通电流的作用，电感以自感电动势的形式抗争沟通电流的变化，电容以充放电的形式经过沟通电流。沟通电流的频次越高，则电感的自感电动势越大，对电流的阻截也越大，而电容的充放电则越快，对沟通电流的阻截越小。因此，感抗与电源频次成正比，而容抗与电源频次成反比。【练习】思虑题3-3-1、3-3-2、3-3-3、3-3-4。【作业】习题3-6。思虑题3-3-1在图3-3

41、-13所示的电路中，正弦电压u1与电流i1的相位有如何的关系?答设i1=i1，则i1的参照方向与u1的参照方向一致(关系参照方向)，在此条件下，电感元件上电压u1的相位超前于电流90。因为i1与i1反相，作相量图如图3-3-14所示，可知u1滞后于i190。I1U1I1图3-3-13图3-3-143-3-2在图3-3-15所示的电路中，当沟通电压u的有效值不变，频次增高时，电阻元件、电感元件、电容元件上的电流将如何变化？答当沟通电的频次增高时，电阻不变，感抗增大，容抗减小，故电阻元件上的电流不变，电感元件上电流减小，电容元件上电流增大。图3-3-153-3-3解答上题的依据是不是：在正弦沟通电

42、路中,频次越高则电感越大，电容越小,而电阻不变?答不对，在正弦沟通电路中，频次越高则感抗越大，容抗越小。而不是电感越大，电容越小。3-3-4指出以下各表达式正确与否？R=u/iXL=u/LjXC=UC/?jXC=UC/?71XL=UL/II=UL/jXL?=UL/jXL?=UC/jXC答只有R=u/i，jXC=UC/?，XL=UL/I三式正确。3-4RLC串联电路【引出】实质电路的电路模型一般都是由几种理想电路元件构成的，RLC串联电路是一种典型电路，从中引出的一些见解和结论可用于各样复杂的沟通电路，而单调参数电路、RL串联电路、RC串联电路则可看作是它的特例。一、电压与电流之间的关系【讲解】

43、在图3-4-1中，设i=Imt?=I/0sin则依据基尔霍=URmtsin夫电压定律=ULmsin（t+90）u=uR+uL+uCU=UR+UL+UC=UCm（t90）图(a)可用图(b)取代sin(a)+U=U+UUCRL=R?=R?+jXLC?jX=jXL?=R+j(XLXC)?电抗X=XLCX=jXC?=(R+jX)?=Z?图(b)可用图(c)取代(b)复阻抗Z=R+jX（）阻抗Z=R2+X2=R2+（XLXC）2=R+jX=Z/阻抗角=arctanX=arctanXLXCRR(c)图3-4-1欧姆定律相量形式U=Z?=Z?/72是同频次正弦量电压超前电流角有效值U=ZI【说明】式U=Z

44、?=Z?/反应电压与电流关系复阻抗Z是一个复数，实部为阻，虚部为抗。单位也是欧（），也拥有对电流起阻截作用的性质。Z固然是复数，但不是相量，符号上不可以加点。Z与R、X之间的关系可用向来角三角形表示，如图3-4-2所示，称为阻抗三角形。ZX=XLXCZ=R2+X2R=ZcosR图3-4-2X=Zsin【讲解】由欧姆定律相量形式画出相量图，可得电压三角形如图3-4-3所示。22UUXU=UR+UXUR=UcosUX=UsinUR电压三角形图3-4-【说明】图中假设XLXC，即电感的电压UL大于电容上的电压UC。UXULUC=阻抗角电压与电流的相位差角=arctan=arctanURUR电压三角形

45、与阻抗三角形相像，各边长度相差I倍。但电压三角形是相量三角形，而阻抗三角形不是相量三角形。电路性质由感抗和容抗的大小决定：XLXC时，X0，则ULUC，0，U超前于?，呈感性。（图3-4-3）XLXC时，X0，则ULUC，0，滞后于?，呈电容性。（图3-4-4）XL=XC时，X=0，则UL=UC，=0，U与?同相，呈电阻性。（图3-4-5谐振）73图3-4-4图3-4-5公式U=Z?合用于RLC串联电路的各样特例：电阻电路：XL=0，XC=0，Z=R+j（XLXC）=R，则U=Z?=R?；(电压与电流同相位)电感电路：R=0，XC=0，Z=R+j（XLXC）=jXL，则U=Z?=jXL?；(电

46、压比电流超前90)电容电路：R=0，XL=0，Z=R+j（XLXC）=jXC，则U=Z?=jXC?；(电压比电流滞后90)RL串联电路：X=0，Z=R+j（XXC）=R+jX，则U=Z?=（R+jX）?；CLLL(电压比电流超前角，为电感性电路)RC串联电路：X=0，Z=R+j（XX）=RCjX，则U=Z?=（RjX）?。LLCC(电压比电流滞后角；为电容性电路)例3-4-1已知RLC串联电路的电路参数为R=100、L=300mH、C=100F，接于100V、50Hz的沟通电源上，试求电流，并以电源电压为参照相量写出电源电压和电流的瞬市价表达式。解XL=L=2fL=25030010-3=94.

47、211XC=C=314100106=31.8Z=R2+(XLXC)2=1002+(94.231.8)2118故I=U=100A=0.85AZ117.8以电源电压为参照相量，则电源电压的瞬市价表达式为u=2100sint=2100sin100t又=arctanX=arctan94.231.832R100故电流的瞬市价表达式为i=20.85sin(100t32)A例3-4-2已知某继电器的电阻为2k，电感为43.3H，接于380V的工频沟通电源上。试求经过线圈的电流及电流与外加电压的相位差。解这是RL串联电路，可看作是XC=0的RLC串联电路，其电路图如图3-4-6(a)所示。有以下三种方法可以求

48、解：74图3-4-6（1）先求出阻抗再求解X=XL=2fL=25043.313600Z=R2+X2=20002+136002=13700电流I=U=380A27.7mAZ13700阻抗角=arctanX13600=arctan=arctan6.881.6R2000故经过线圈的电流是27.7mA，滞后于电压81.6。（2）用相量图求解以电流?为参照相量，则UR与?同相，UX超前于?90，作相量图如图3-4-6（c）所示。可见电流滞后于电压UXX=arctanUR=arctanR=81.6而RU=Ucos=380cos81.6V55.3V故UR55.3I=R=2000A27.7mA用复数运算求解相

49、量模型如图3-4-6（b）所示，令U=380/0V，则U380/0380?=Z=2000j13600A=13700/81.6A=0.0277/81.6A=27.7/81.6mA电流有效值相位差二、RLC串联电路的功率【问题】在分析单调参数电路元件的沟通电路时已经知道，电阻是耗费能量的，而电感和电容是不用耗能量的，只在电感、电容与电源之间进行能量的交换。因此在串联电路中必然同时存在着有功功率和无功功率。那么，串联电路的功率是如何计算的呢？.刹时功率p=ui=（uR+uL+uC）i=uRi+uLi+uCi=pR+pL+pC耗能元件的储能元件的刹时功率75刹时功率【说明】任一刹时,电源供应的功率一部

50、分被耗能元件耗费掉,一部分与储能元件进行交换。有功功率【讲解】有功功率即均匀功率，RLC电路所耗费的功率就是电阻所耗费的功率，故1P=TT（uRi+uLi+uCi）dt01=TTuRidt0=URI由电压三角形=UIcosUR=UcosP=UIcos=UI功率因数=cos【说明】有功功率是URI，其实不是UI，故友流电的功率表达式比直流电多了一个系数。3无功功率【讲解】图3-4-7。电感和电容流过同一电流iuL与uC反相pL与pC反相L与C作用相反图3-4-7【说明】当电感汲取能量时，电容恰巧放出能量，反之亦然。这样就减少了电源的负担，使它与负载之间传输的无功功率等于L与C之差。因此电路总的无

51、功功率为=L-C=ULIUCI=（ULUC）I=UXI由图3-4-5UX=Usin76=UIsin感性电路，ULUC，则=LC0；无功功率为正当容性电路，ULUC，则=LC0。无功功率为负值【概括】P=UIcos，有功功率决定于U、I的乘积和cos的大小=UIsin，无功功率决定于U、I的乘积和sin的大小【讲解】在生产实质中，电气设施所耗费的有功功率是由发电机或变压器供应的，而有功功率是电流、电压和功率因数的乘积决定的。但在设计发电机或变压器时，负载的电流、电压和功率因数是不知道的。因此发电机或变压器不可以规定额定功率，只好规定额定电压UN和额定电流IN，而UN和IN的乘积称为电气设施的容量

52、，又称为视在功率。4视在功率S电压有效值与电流有效值的乘积。S=UI单位为VA（伏安）【说明】S看似功率，但既非有功功率，又非无功功率，但是视在功率。比方变压器的额定容量为1.5千伏安，表示了它可能供应的最大功率。而实质能输出多罕有功功率，还与负载的功率因数相关。5功率三角形【讲解】由有功功率和无功功率跟视在功率的关系可得出功率三角形，如图3-4-8所示。SS=P2Q2QP=UIcos=Scos=UIsin=SsinPQ图3-4-8=arctanP2而得，因此功率三角形、电压三角形、阻抗【说明】功率三角形也可以由阻抗三角形各边乘以I三角形它们是相像三角形。功率三角形不是相量三角形。任何复杂电路

53、中所耗费的总有功功率等于各部分有功功率之和，总无功功率也等于各部分无功功率之和，但总视在功率不等于各部分视在功率之和，即P=PK=K（K中L为正C为负）S=P2Q2SK例3-4-3日光灯电路可以看作是一个RL串联电路。若日光灯接在u=2202sin314tV沟通电源上，正常发光时测得灯管两头的电压为110V，镇流器两头的电压为190V，镇流器参数L=1.65H（线圈内阻忽视不计）。试求：（1）电路中的电流；（2）电路的阻抗；773）灯管的电阻；4）电路的有功功率；5）电路的功率因数。解由u=2202sin314tV可得U=220V，=314rad/s,=0（1）XL=L=（3141.65）51

54、8电路的电流为I=IL=UL=190A0.367AXL518（2）电路的阻抗为Z=U=220599I0.367（3）灯管的电阻为518UR110R=I=0.367300（4）电路的有功功率为518P=I2R=0.3672300W40.4W（5）电路的功率因数为=P=40.40.5UI2200.367【小结】串联电路是拥有必然代表性的电路，其欧姆定律的相量形式为U=Z?式中Z为复阻抗，它决定了电路中电压与电流的大小关系和相位关系，其值为Z=R+jX=R+j（XL-XC）式中实部为“阻”，虚部为“抗”，其模即为“阻抗”Z。学习沟通电路的功率时，应分清刹时功率、有功功率、无功功率、视在功率等不一样样

55、的见解：刹时功率是每一时辰耗费的功率，它是不停变化的；有功功率是一周期内耗费的均匀功率，有必然的数值，简称功率；无功功率是反应电源与电感、电容之间交换能量的规模大小，也有必然的数值。能量交换是电感和电容正常工作所需要的，因此无功功率其实不是无用的，好多电气设施必然有无功功率才能正常工作；视在功率S=UI拥有功率的形式，其实不是沟通电路所耗费的功率，只有乘上功率因数后才等于电路耗费的功率。沟通电路中的有功功率是电阻所耗费的功率。无功功率是由电感或电容产生的，二者产生的无功功率有相互赔偿的作用，因此电源与负载间交换的功率等于二者之差。好多公式可包括在三个相像三角形中，不要死记。如图3-4-9所示。

56、78阻抗Z=R2X2=R2XLXC2电阻R=Zcos阻抗三角形Z电抗X=ZsinX=XLXCR阻抗角=arctanX=arctanXLXC放R大RI222ULUC2倍总电压U=URUX=UR电压三角形UUX=ULUC电阻电压UR=Ucos电抗电压UX=Usin放UR相位差角=arctanUX=arctanULUC大IURUR倍功率三角形S视在功率S=P2Q2=P2QLQC2Q=QQLC有功功率P=ScosP无功功率=Ssin图3-4-Q=arctanQLQC功率因数角=arctanPP【说明】阻抗角=相位差角=功率因数角【练习】思虑题3-4-1、3-4-2、3-4-3、3-4-4。【作业】习题

57、3-7、3-8、3-9、3-10。思虑题3-4-1在RLC串联电路中，已知阻抗为10，电阻为6，感抗为20，试问容抗可能为多大?答容抗可能为12或28。3-4-2在RLC串联电路中,以下公式有哪几个是正确的?(1)u=uR+uL+uC(2)u=Ri+XLi+XCi(3)U=UR+UL+UC(4)U=UR+j(ULUC)(5)U=UR+UL+UC(6)U=UR+j(ULUC)答只有(1)、(5)是正确的3-4-3正弦沟通电路如图3-4-10所示，电源频次必然，U和R不变，试问当电容C的值增添时，该支路耗费的功率将如何变化?答当电容C的值增添时，容抗减小。因R不变，故电路的阻抗减小，电流增大，该支

58、路耗费的功率将增大。3-4-4在串联电路中，当时，电流的相位能否必然滞题3-4-3的电图3-4-10后于总电压？答不，电流的相位能否滞后于总电压决定于与的大小，而不决定于与的大小。793-5正弦沟通电路的分析方法【引出】我们已导出了正弦沟通电路中欧姆定律的相量形式：U=RIU=Z?再导出基尔霍夫定律的相量形式，直流电路中由欧姆定律和基尔霍夫定律所推导出来的全部定理和方法都可以扩展到正弦沟通电路中了。一、基尔霍夫定律的相量形式【讲解】基尔霍夫定律合用任何电路任何刹时，假如电路中的电流和电压都是同频次的正弦量，则电流和电压可用相量表示：i=0?=0基尔霍夫电流定律的相量形式u=0基尔霍夫电压定律的

59、相量形式U=0【说明】在正弦沟通电路中，以相量形式表示的欧姆定律和基尔霍夫定律都与直流电路有相像的表达形式。因此在直流电路中由欧姆定律和基尔霍夫定律推导出来的电阻串、并联公式、支路电流法、叠加定理、戴维南定理等等都可以相同扩展到正弦沟通电路中。在扩展中，直流电路中的电动势E、电压U和电流I分别要用相量?、U和?来取代，电阻R要用复阻抗Z来取代。直流U=RII=0U=0I?UU?=0E?RZ沟通U=Z?U=0二、复阻抗的串联和并联【讲解】在沟通电路中，R、L、C等电路参数都可构成复阻抗Z，因此，沟通电路的串联和并联，实质上就是Z的串联和并联。直流电路中的串、并联公式可以扩展到正弦沟通电路中：RZ

60、。复阻抗的串联【讲解】图3-5-1（a）所示为直流电路中两个阻抗的串联，它与图(b)的沟通电路相对应。直流电路的串联公式可扩展到正弦沟通电路顶用。80直流电路沟通电路I?+U1R1Z1U1U+U+2U22Z2RU（a）(b)图3-5-1R=R1+R2Z=Z1+Z2R1Z1111U=RI=R1R2UU=Z?=Z1UZ2R2.U2=R2I=UU2=Z2?=Z2UR1R2Z1Z22复阻抗的并联【讲解】图3-5-2（a）所示为直流电路中两个阻抗的并联，它与图(b)的沟通电路相对应。直流电路的并联公式可扩展到正弦沟通电路顶用。直流电路沟通电路I?+?1?2I1I2UR1R2Z1Z2U图3-5-21=1+