2022年人教版高中数学《余弦定理》教案

1、1.1.2 余 弦 定 理1 一、教学内容 分析余弦定理第一课时；通过利用平面几何法, 坐标法 两点的距离公式 ,向量的模 , 正弦定理等方法推导余弦定理,正确懂得余弦定理的结构特点,初 步体会余弦定懂得决 “边、角、边 ”和“边、边、边 ”问题,懂得余弦定理是勾股 定理的特例 , 从多视角摸索问题和发觉问题,形成良好的思维品质 , 激发同学 学习数学的积极性和深厚的爱好,培育同学思维的宽阔性；二、同学学习情形分析本课之前,同学已经学习了两点间的距离公式, 三角函数、向量基本学问和正弦定理有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的熟悉；在此基 础上利用多种方法探求余弦定理,同学已有肯定的学

2、习基础和学习爱好；三、教学目标 连续探究三角形的边长与角度间的详细量化关系、把握余弦定理的两种表 现形式,体会多种方法特殊是向量方法推导余弦定理的思想；通过例题运用余 弦定懂得决 “边、角、边 ”及“边、边、边 ”问题；懂得余弦定理是勾股定理的特 例,懂得余弦定理的本质；四、教学重点与难点 教学重点：余弦定理的证明过程特殊是向量法与坐标法及定理的应用；教学难点：用正弦定理推导余弦定理的方法 五、教学过程：1. 学问回忆aAbBc正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinsinsin C正弦定理可以解什么类型的三角形问题？1已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角 AAS,

3、ASA ；2已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的一边和另外两角 SSA ；2. 提出问题 已知三角形两边及其夹角如何求第三边？SAS 问题 在三角形 ABC中, 已知边 a,b, 夹角 C, 求边 c A b c A C a B 3. 解决问题通过预习由同学给出自己的证明方法；同学甲：利用和正弦定理证明相像的方法bA a c B 法一：平面几何法（作高法）解 过 点作 : AADBC交BC于点DADbsinC CDbcosCA BDBCCDabcosCC 在直角三角形ABC 中 由勾股定理得 ,D c2 sinC2abcosC2c2a2b22abcosC同学乙：由于涉及边长问题,可

4、考虑求两点的距离；利用坐标法来推导余弦定 理：法二：坐标法x 解: 以 C为原点 ,BC 为 x 轴建立直角坐标系y c cos Ca 2 sinC02AbcosC,bsinC cb2cos2C2abcosCa2b2sin2Cbc A 2 ca22 b2 abcos CC a Ba,0 同学丙：由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来讨论这个问题；利用向量法推导余弦定理：法三：向量法cC bA a c B 解：令CAb CBa AB由三角形法就有cabA |c|2 cab2C|c2 |a2b22a bc2a2b22abcos老师：由于我们才学习了正弦定理,那么用正弦定理可以证明余弦定理吗？法四：

5、由aAcC得csinAasinC1cos sinsin同理 csinBbsinC2利用B CA 代入2 消去角B 得ccosAbacos C3利用2 12 +3 消去 即得证法五：求证:c22 ab22 abcos C证明 右边2RsinA 22RsinB 22 8 RsinAsinBcos CCAB 右边42 R2 sin AB 法六：利用c2RsinC 证明由CAB得c22 4 Rsin2A2 cosB2 cosA2 sinB2sinAcos sinB把2 cosA12 sin2 A ,cosB12 sinB 代入得c22 ab22 abcos C4. 归纳概括余弦定理：a2b2c22 b

6、ccosAb2a2c22 accosB作用： SAS问题c2a2b22 abcosC三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；2c22 a作 用 ： SSS（ 已 知 三 边 求 三 个 夹推论：cosAb2 bccosBa22 cb22 accos C2 a角）b2c22 ab5余弦定理的简洁应用例 1：.在三角形 ABC 中,已知 b=8,c=3,A=600（1）求 a; 2 求三角形中最大角的余弦值 ;3 判定三角形的外形. 用锐角 , 钝角 , 直角三角形回答解: 1 由a22 bc22bccosA 得a2822 32 83cos 6049a72

7、由bac 得角 B最大cosB=a2c2b24996412 ac27 373cosB0B90所以ABC 为钝角三角形.6余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理是一般三角形中边与角的平方关系,引导同学联想到勾股定理；余弦定理22 abcos C有关系吗 .勾股定理b2c2a2b2 c2 a例 2：用,= 填空1 在ABC 中 当 为锐角时,a2b22 c2 在ABC 中 当 为直角时,a22 bc23 在ABC 中 当 为钝角时,a22 b2 c例2. 解:1 当0C90时 ,cosC0c22 ab22 abcos C2 ab22 当C90时 ,cosC02 ca2b22 abcos Ca2b23 当 90C180时 ,cosC02 ca22 b2 abcos Ca22 b勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理就指出了一般三角形中三边平方之间的关系；理是余弦定理的特例7. 课堂小结c2 =a2+ b22abcosC 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,