新北师大版八年级上册数学期末复习（全册知识点梳理及常考题型巩固练习）（提高版）（家教、补习）

1、北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理（提高）【学习目标】1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题

2、的目的（3）理解勾股定理的一些变式：， 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以要点三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3 与勾股定理有关的面积计算；4勾股定理在实际生活中的应用【典型例题】类型一、与勾股定理有关的证明1、在ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证：【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE AB=AC，AEBCBE=EC,

3、AEB=AEC=90 【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长【答案与解析】解：连接BD，等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，BDAC（三线合一），BD=CD=AD，ABD=45，C=45，ABD=C，又DE丄DF，FDC+BDF=EDB+BDF，FDC=EDB，在EDB与FDC中，EDBFDC（ASA），BE=F

4、C=3，AB=7，则BC=7，BF=4，在RtEBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，EF=5【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长举一反三：【变式】（2015春天津校级期中）如图，C=30，PAOA于A，PBOB于B，PA=2，PB=11，求OP的长【答案】解：PAOA，C=30，PC=2PA=4，BC=BP+PC=11+4=15，PBOB，C=30，设OB=x，则OC=2x，在RtBOC中，由勾股定理得：x+15=（2x），解得，x=5，即OB=5，OP=14类型三、与勾股定理有关的面积计算3、（

5、2015丰台区二模）问题背景：在ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，求这个三角形的面积小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需要求出ABC的高，借用网格就能计算出它的面积（1）请你直接写出ABC的面积 ；思维拓展：（2）如果MNP三边的长分别为，2，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点MNP，并直接写出MNP的面积【思路点拨】（1）根据图形得出SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再

6、根据图形和面积公式求出即可【答案与解析】解：（1）ABC的面积是4.5，理由是：SABC=S矩形MONCSCMASAOBSBNC=43412133=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的MNP，SMNP=S矩形MOABSMONSPANSMBP=53512431=7，即MNP的面积是7【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A17B36C77D94【答案】C类型

7、四、利用勾股定理解决实际问题4、（2016贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的长，进而得出答案【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA=20米，BC=15（米），则：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键

8、举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如图所示，由题意可得： ， 在RtAAB中，根据勾股定理得： 则AB15 所以需要爬行的最短路程是15北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理（提高）【巩固练习】一选择题1如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，则BE的长度为（）A10 B11 C12 D132. （2016漳州）如图，ABC中，AB=AC=5,BC=8，D是线段BC上的动点（不含端

9、点B、C）.若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）A5个 B4个 C3个 D2个3如图，长方形AOBC中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A.30 B32 C34 D16 4如图，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则的值是（ ）A68 B20 C32 D475在ABC中，AB15，AC13，高AD12,则ABC的周长为（ ）A42 B32 C42或32 D37或336（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以

10、CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2015的值为（）AB CD二填空题7若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边的平方为_8 将一根长为15cm的很细的木棒置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度x的范围是 9如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，这样的点C共 个10（2016黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为

11、a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值是_11已知长方形ABCD，AB3，AD4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_12（2015春召陵区期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，B=90，那么四边形ABCD的面积是 三解答题13（2015青岛模拟）如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，求运动过程中，点D到点O的最大距离14现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分

12、割后拼接成一个新的正方形要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形15由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？【答案与解析】一选择题1. 【答案】C【解析】BEAC，AEB是直角三角形，D为AB中点，DE=10，AB=20，AE=16，,所以BE=12.

13、2. 【答案】C【解析】过点A作AEBC,则由勾股定理得AE=3，点D是线段BC上的动点（不含端点B、C）.所以3AD5，AD=3或4，共有3个符合条件的点.3【答案】A 【解析】由题意CDDE5，BE4，设OE，AEAC，所以，阴影部分面积为4【答案】A【解析】如图，分别作CD交于点E，作AF，则可证AFBBDC，则AF3BD, BFCD235，DF538AE，在直角AEC中，勾股定理得5【答案】C【解析】高在ABC内部，第三边长为14；高在ABC外部，第三边长为4，故选C6【答案】C 【解析】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，第n个正方形

14、的边长是，所以S2015的值是（）2012，故选C.二填空题7【答案】169或119；【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边8【答案】2cmx3cm；【解析】由题意可知BC=5cm，AC=12cm，AB=13cm当木棒垂直于底面时露在杯子外面的部分长度最长为，15-AC=15-12=3cm，当木棒与AB重合时露在杯子外面的部分长度最短为15-AB=15-13=2cm.9【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求10【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4ab=131，2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=251

15、1【答案】；【解析】连接BE，设AE，BEDE，则，12【答案】36. 【解析】解：ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，在ACD中，AC2+CD2=25+144=169=AD2，ACD是直角三角形，S四边形ABCD=ABBC+ACCD=34+512=36故答案是：36三解答题13【解析】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1，DE=，OD的最大值为：+114【解析】解：如图所示：15【解析】解：（1）过点A作ACBM，垂足为C，在RtABC中，由题意可知CBA=30，A

16、C=AB=240=120，AC=120150，A城将受这次沙尘暴的影响.（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，由题意得,，CE=90EF=2CE=290=18018012=15（小时）A城受沙尘暴影响的时间为15小时.北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】要点一、勾股定理的逆定理

17、如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解

18、题会很有帮助：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（2016春咸丰县月考）如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ的面积为多少 cm2.【思路点

19、拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=931=6（cm），BQ=23=6（cm），SPBQ=BPBQ=（93）6=18（cm2）故过3秒时，BPQ的面积为18cm2【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合

20、求解由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键隐含了整体的数学思想和正确运算的能力2、如图，点D是ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5（1）判断DEC的形状，并说明理由；（2）求ADB的度数【思路点拨】把ABD绕点B顺时针方向旋转60，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60，因此出现等边BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求ADB的度数【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又DBE=ABC=60，ABC和DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD

21、=4，又CD=5，DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC为直角三角形（2）DEC为直角三角形，DEC=90，又BDE为等边三角形，BED=60，BEC=90+60=150，即ADB=150【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题解答（2）时要注意运用（1）的结论举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，已知ACB90，ACBC，P是ABC内一点，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度数【答案】解：连接BD CDCP，且CDCP2， CPD为等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBC

22、P+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在RtCPD中，又 PB1，则 ， ， DPB为直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+90135类型二、勾股定理逆定理的应用3、已知a、b、c是ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索ABC的形状【答案与解析】解：令=ka+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，a=3k4，b=2k3，c=4k8又a+b+c=12，（3k4）+（2k3）+（4k8）=12，k=3a=5，b=3，c=4ABC是直角三角形【总结升华】此题借用设比例系数k的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定

23、三角形的形状举一反三：【变式】（2015春渝中区校级月考）ABC的三边a、b、c满足|a+b50|+（c40）2=0试判断ABC的形状是 【答案】直角三角形解：|a+b50|+（c40）2=0，解得，92+402=412，ABC是直角三角形故答案为直角三角形4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解： ，

24、 ABC为直角三角形 ABC90又BDAC，可设CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10时41分进入我国领海【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一选择题1（2016春平武县校级月考）下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A13，16，19B，C18，24，36D12，35，372（2015春凉山州期末）ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（）A.a：b：c=1：1 B

25、.A：B：C=3：4：5C.（a+b）（ab）=c D.A：B：C=1：2：3 3 已知ABC三边长分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，（n为正整数），则ABC为（）A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形4 有下面的判断：ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形ABC是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2若ABC中，a2b2=c2，则ABC是直角三角形若ABC是直角三角形，则（a+b）（ab）=c2以上判断正确的有（）A4个B3个C2个D1个5五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）6 为直角三角形的三

26、边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：能组成一个三角形 能组成直角三角形能组成直角三角形 三个内角的度数之比为3：4:5能组成一个三角形其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二填空题7若ABC中，则B_8（2016春罗定市期中）若ABC的三边长分别为x+1，x+2，x+3，要使此三角形成为直角三角形，则x= 9若一个三角形的三边长分别为1、8(其中为正整数)，则以、为边的三角形的面积为_10ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为_，此三角形为_11（2014春寿县期中）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度

27、以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东_度 12 如果线段能组成一个直角三角形，那么_组成直角三角形(填“能”或“不能”)三解答题13（2014秋广州校级期末）如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量A=90，AB=300m，AD=400m，CD=1300m，BC=1200m请计算种植草皮的面积14在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别是a、b、c（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3 4 55 12 138 15 17（2）若a+bc=m，则猜想=（并证明此结论）15 我们给出如下定

28、义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到DBE，连接AD，DC，DCB=30度求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形【答案与解析】一选择题1【答案】D 【解析】判断一组数是不是勾股数

29、时，应先判断他们是否都是正整数，在验证他们平方间的关系，所以只有D项满足2【答案】B3【答案】A；【解析】由2n2+2n+12n2+2n，且2n2+2n+12n+1，得到2n2+2n+1为最长的边，（2n+1）2+（2n2+2n）2=1+4n+8n2+8n3+4n4，（2n2+2n+1）2=1+4n+8n2+8n3+4n4（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2ABC为直角三角形4【答案】C；【解析】c不一定是斜边，故错误；若ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（ab）c2，故错误5【答案】C；【解析】6【答案】B；【解析】因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角

30、形，错误；因为，所以又因为得两边同除以，得正确；因为，所以正确，360=150，最大角并不是90，所以错误 二填空题7【答案】90； 【解析】由题意，所以B=908【答案】2；【解析】由题意得：（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2，解得：x1=2，x2=2（不合题意，舍去）.9【答案】24；【解析】79，8 10【答案】13；直角三角形；【解析】71711【答案】30；【解析】解：由题意得：甲船的路程：AO=82=16，乙船的路程：BO=152=30，302+162=342，AOB=90，AO是北偏东60方向，BO是南偏东30故答案为：3012【答案】能；【解析】设为斜边，则，两边同乘以，

31、得，即 三解答题13【解析】解：连接BD， 在RtABD中，BD2=AB2+AD2=3002+4002=5002，在CBD中，CD2=13002，BC2=12002，而12002+5002=13002，即BC2+BD2=CD2，则DBC=90，S四边形ABCD=SBAD+SDBCADBD+BDBC=360000m2答：种植草皮的面积是360000m214【解析】（1）解：S=34=6，L=3+4+5=12，=，同理可得其他两空分别为1，；（2）；证明：a+bc=m，a+b=m+c，a2+2ab+b2=m2+2mc+c2，又a2+b2=c2，2ab=m2+2mc，S=m（m+2c），=15【解析

32、】（1）解：正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）（2）解：答案如图所示 （3）证明：连接EC，ABCDBE， AC=DE，BC=BE， CBE=60，EC=BC，BCE=60，DCB=30，DCE=90，DC2+EC2=DE2， DC2+BC2=AC2即四边形ABCD是勾股四边形北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等

33、于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系： 若，则ABC是以C为90的直角三角形； 若时，ABC是锐角三角形；若时，A

34、BC是钝角三角形 2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联

35、系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角ABC中，ACB90，E、F为AB上两点(E左F右)，且ECF45，求证：.【思路点拨】由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若将ACE和BCF合在一起则为一特殊角45，于是想到将ACE旋转到BCF的右外侧合并，或将BCF绕C点旋转到ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明 【答案与解析】解：(1)，理由如下： 将BCF绕点C旋转得ACF，使BCF的BC与AC边重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB

36、90，ACBC， CAFB45， EAF90 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45 在ECF和ECF中 ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中， 【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90角内含45角，120角内含60角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求证：. 【答案】解：将ABD绕点D顺时针旋转60由于DCAD，故点A转至点C点B转至点E，连结BE BDDE，BDE60 BDE为等边三角形，B

37、EBD易证DABDCE，A2，CEAB 四边形ADCB中ADC60，ABC30 121A270 3360(12)90 2、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数【答案与解析】解：如图，做ECB=PCA，且使CE=CP，连结EP，EB在APC和BEC中APCBECPCE为等腰直角三角形CPE=45，PE2=PC2+CE2=8又PB2=1，BE2=9PE2+ PB2= BE2 则BPE=90BPC=135【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度

38、转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将APC绕点C旋转，使CA与CB重合即APCBEC.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016春丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积【思路点拨】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积【答案与解析】解：连接AC，如图所示：B

39、=90，ABC为直角三角形，又AB=3，BC=4，根据勾股定理得：AC2=25，又CD=12，AD=13，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，CD2+AC2=AD2，ACD为直角三角形，ACD=90，则S四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=34+512=36故四边形ABCD的面积是36【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：BAF=2EAD.【答案与解析】证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H ABG

40、=HCG，BG=CG，AGB=HGC GABHCG GAB=H，AB=CH又 AB=AD，B=D，BG=DE ABGADE GAB=DAE在中，设，由勾股定理得：又 AF=HF FAH=H FAH=DAE BAF=2DAE【总结升华】要证BAF=2EAD，一般方法是在BAF中取一个角使之等于EAD，再证明另一个角也等于EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】（2014春防城区期末）如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，

41、问过3秒时，BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=931=6（cm），BQ=23=6（cm），SPBQ=BPBQ=（93）6=18（cm2）故过3秒时，BPQ的面积为18cm2类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC400米，BD200米，CD800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家试问在何处饮水，所走路程最短

42、？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短说明如下：在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE 点G、A关于直线CD对称， AIGI，AEGE由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GIBIGBAEBE，于是得证最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作B

43、D的垂线交于点H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程为1000米【总结升华】这是一道有关极值的典型题目解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点本题体现了勾股定理在实际生活中的应用举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE3，EB1，在AC上有一点P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根据正方形的对称性可知：BPDP，连接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP，

44、 即最短距离EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根据勾股定理得： ED0， ED5， 最短距离EPBP56、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

45、（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响理由：如图，过点A作ADBC于D点，则AD即为该城市距离台风中心的最短距离在RtABD中，因为B=30，AB=240AD=240120（千米）由题可知，距台风中心在（12-4）25=200（千米）以内时，则会受到台风影响因为120200，因此该城市将会受到影响（2）依题（1）可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC上作AE=AF=200；台风中心从点E移动到点F处时，该城市会处在台风影响范围之内（如图）由勾股定理得，DE160（千米）所以EF=2160=320（千米）又知台风中心以20

46、千米/时的速度移动所以台风影响该城市32020=16（小时）（3）AD距台风中心最近，该城市受到这次台风最大风力为：12-（12025）=7.2（级）答：该城市受台风影响最大风力7.2级【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一选择题1在中，若，则ABC是（ ）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 直角三角形2 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B60

47、C45 D303（2015春西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A三内角之比为1：2：3B三边长的平方之比为1：2：3C三边长之比为3：4：5D三内角之比为3：4：54如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A2900mB1200mC1300mD1700m5 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（）Aab=h2 Ba2+b2=h2 C D 6如图，RtABC中，C90，CDAB于

48、点D，AB13，CD6，则(ACBC)2等于( )A25B325 C2197D4057 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）AB CD8（2016连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A86 B64 C54 D48二填空题9如图，AB5，AC3，BC边上的中线AD2，则ABC的面积为_10如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB6，BC8，将直角边AB

49、折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD_11已知：ABC中，AB15，AC13，BC边上的高AD12，BC_12如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是 cm13如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm14（2014春监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）15（2016春浠水县期末）如图，

50、AD=8，CD=6，ADC=90，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 16 如图所示，在ABC中，AB5，AC13，BC边上的中线AD6，BAD_三解答题17（2016春召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，abc（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=41217，b，c172+b2=c218如图等腰ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以

51、025cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直 19（2015永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间20 如图1，四根长度一定的木条，其中AB6，CD15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形AB

52、CD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，C90（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长【答案与解析】一选择题1【答案】D；【解析】因为4，所以，由勾股定理的逆定理可知：ABC是直角三角形2【答案】C；【解析】连接AC，计算AC2BC25,AB210,根据勾股定理的逆定理，AB

53、C是等腰直角三角形，ABC453【答案】D；【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90角，所以不是直角三角形，故不正确故选D4【答案】C； 【解析】作A点关于河岸的对称点A，连接BA交河岸与P，则PB+PA=PB+PA=BA最短，如图，BB=BD+DB=1200，BA=500，BA=1300（m）5【答案】D；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：再结合勾股定理：a

54、2+b2=c2进行等量代换，得a2+b2= 两边同除以a2b2，得6【答案】B；【解析】16921363257【答案】B； 【解析】8【答案】C；【解析】解：如图1，S1=AC2，S2=AB2，S3=BC2，BC2=AB2AC2，S2S1=S3，如图2，S4=S5+S6，S3+S4=4516+11+14=54故选C二填空题9【答案】6；【解析】延长AD到E，使DEAD，连结BE，可得ABE为直角三角形10【答案】3；【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD，则DEBD，AEAB6，CE4，CD8，在RtCDE中根据勾股定理列方程11【答案】14或4；【解析】当ABC是锐角三角形时，BC9514

55、；当ABC是钝角三角形时，BC95412【答案】5 【解析】作E点关于直线BD的对称点E，连接AE，则线段AE的长即为AP+EP的最小值513【答案】5 【解析】长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC，AC=4cm，PC=BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=514【答案】能； 【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为49005000，所以能放进去15【答案】96；【解析】连接AC，在RtACD中，AD=8，CD=6，AC2=100，在ABC中，AC2+BC2=1

56、02+242=262=AB2，ABC为直角三角形；图形面积为：SABCSACD=102468=9616【答案】90；【解析】延长AD到M，使DMAD，易得ABDMCD CMAB5 AM2AD12在ACM中 即AMCBAD=90三解答题17【解析】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：以上各组数均满足a2+b2=c2；最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即

57、m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，172=289=144+145，b=144，c=14518【解析】解：如图，作ADBC，交BC于点D， BC=8cm， BD=CD=BC=4cm， AD=3， 分两种情况：当点P运动t秒后有PAAC时， AP2=PD2+AD2=PC2AC2，PD2+AD2=PC2AC2， PD2+32=（PD+4）252PD=225，BP=4225=175=025t，t=7秒，当点P运动t秒后有

58、PAAB时，同理可证得PD=225，BP=4+225=625=025t，t=25秒，点P运动的时间为7秒或25秒19【解析】解：（1）过点A作ADON于点D，NOM=30，AO=80m，AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，ADBC，BD=CD=BC，OA=80m，在RtAOD中，AOB=30，AD=OA=80=40m，在RtABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=230=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟

59、，重型运输卡车经过BD时需要60300=02（分钟）=12（秒）答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒20【解析】 解：（1） 在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变，BC， 在图2中，ACBCAB6，ADACCD9 （2）位置二的图形见图3 （3） 在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变， 在图3中，BC，ACABBC6，AD9 在ACD中，C90 由勾股定理得 整理，得 化简，得6180 解得 30 即 BC30 AD39北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习平方根和开平方（提高）【学习目标】1了

60、解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；