全国卷数学导数真题

1、-. z.全国卷数学导数真题整理参考答案与试题解析一解答题共14小题12015函数f*=*3+a*+，g*=ln*i当 a为何值时，*轴为曲线y=f*的切线；ii用min m，n 表示m，n中的最小值，设函数h*=min f*，g*0，讨论h*零点的个数【分析】if*=3*2+a设曲线y=f*与*轴相切于点P*0，0，则f*0=0，f*0=0解出即可ii对*分类讨论：当*1，+时，g*=ln*0，可得函数h*=min f*，g*g*0，即可得出零点的个数当*=1时，对a分类讨论：a，a，即可得出零点的个数；当*0，1时，g*=ln*0，因此只考虑f*在0，1内的零点个数即可对a分类讨论：当a3

2、或a0时，当3a0时，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：if*=3*2+a设曲线y=f*与*轴相切于点P*0，0，则f*0=0，f*0=0，解得，a=因此当a=时，*轴为曲线y=f*的切线；ii当*1，+时，g*=ln*0，函数h*=min f*，g*g*0，故h*在*1，+时无零点当*=1时，假设a，则f1=a+0，h*=min f1，g1=g1=0，故*=1是函数h*的一个零点；假设a，则f1=a+0，h*=min f1，g1=f10，故*=1不是函数h*的零点；当*0，1时，g*=ln*0，因此只考虑f*在0，1内的零点个数即可当a3或a0时，f*=3*2+a在0，1内无零点，

3、因此f*在区间0，1内单调，而f0=，f1=a+，当a3时，函数f*在区间0，1内有一个零点，当a0时，函数f*在区间0，1内没有零点当3a0时，函数f*在内单调递减，在内单调递增，故当*=时，f*取得最小值=假设0，即，则f*在0，1内无零点假设=0，即a=，则f*在0，1内有唯一零点假设0，即，由f0=，f1=a+，当时，f*在0，1内有两个零点当3a时，f*在0，1内有一个零点综上可得：当或a时，h*有一个零点；当a=或时，h*有两个零点；当时，函数h*有三个零点【点评】此题考察了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考察了分类讨论思想方法、推理能

4、力与计算能力，属于难题22015新课标II设函数f*=em*+*2m*1证明：f*在，0单调递减，在0，+单调递增；2假设对于任意*1，*21，1，都有|f*1f*2|e1，求m的取值*围【分析】1利用f*0说明函数为增函数，利用f*0说明函数为减函数注意参数m的讨论；2由1知，对任意的m，f*在1，0单调递减，在0，1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得m的取值*围【解答】解：1证明：f*=mem*1+2*假设m0，则当*，0时，em*10，f*0；当*0，+时，em*10，f*0假设m0，则当*，0时，em*10，f*0；当*0，+时，em*10，f*0所以，f*在，0时

5、单调递减，在0，+单调递增2由1知，对任意的m，f*在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f*在*=0处取得最小值所以对于任意*1，*21，1，|f*1f*2|e1的充要条件是即设函数gt=ette+1，则gt=et1当t0时，gt0；当t0时，gt0故gt在，0单调递减，在0，+单调递增又g1=0，g1=e1+2e0，故当t1，1时，gt0当m1，1时，gm0，gm0，即合式成立；当m1时，由gt的单调性，gm0，即emme1当m1时，gm0，即em+me1综上，m的取值*围是1，1【点评】此题主要考察导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用属于难题，高考压轴题32014*函数f*=

6、ln*+1a1讨论f*的单调性；设a1=1，an+1=lnan+1，证明：an【分析】求函数的导数，通过讨论a的取值*围，即可得到f*的单调性；利用数学归纳法即可证明不等式【解答】解：函数f*的定义域为1，+，f*=，当1a2时，假设*1，a22a，则f*0，此时函数f*在1，a22a上是增函数，假设*a22a，0，则f*0，此时函数f*在a22a，0上是减函数，假设*0，+，则f*0，此时函数f*在0，+上是增函数当a=2时，f*0，此时函数f*在1，+上是增函数，当a2时，假设*1，0，则f*0，此时函数f*在1，0上是增函数，假设*0，a22a，则f*0，此时函数f*在0，a22a上是减

7、函数，假设*a22a，+，则f*0，此时函数f*在a22a，+上是增函数由知，当a=2时，此时函数f*在1，+上是增函数，当*0，+时，f*f0=0，即ln*+1，*0，又由知，当a=3时，f*在0，3上是减函数，当*0，3时，f*f0=0，ln*+1，下面用数学归纳法进展证明an成立，当n=1时，由，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=lnan+1ln，an+1=lnan+1ln，即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立【点评】此题主要考察函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大42014新课标II函数f*=

8、e*e*2*讨论f*的单调性；设g*=f2*4bf*，当*0时，g*0，求b的最大值；1.41421.4143，估计ln2的近似值准确到0.001【分析】对第问，直接求导后，利用根本不等式可到达目的；对第问，先验证g0=0，只需说明g*在0+上为增函数即可，从而问题转化为“判断g*0是否成立的问题；对第问，根据第问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值【解答】解：由f*得f*=e*+e*2，即f*0，当且仅当e*=e*即*=0时，f*=0，函数f*在R上为增函数g*=f2*4bf*=e2*e2*4be*e*+8b4*，则g*=2e2

9、*+e2*2be*+e*+4b2=2e*+e*22be*+e*+4b4=2e*+e*2e*+e*+22be*+e*2，e*+e*+24，当2b4，即b2时，g*0，当且仅当*=0时取等号，从而g*在R上为增函数，而g0=0，*0时，g*0，符合题意当b2时，假设*满足2e*+e*2b2即，得，此时，g*0，又由g0=0知，当时，g*0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为21.41421.4143，根据中g*=e2*e2*4be*e*+8b4*，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g*的解析式中，得当b=2时，由g*0，得，从而；令，得2，当时，由g*0，得，得所以ln2的近似值

10、为0.693【点评】1此题三个小题的难度逐步增大，考察了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决此题的一个重要突破口3此题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第2问中g*的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的*围的端点值，到达了估值的目的52014新课标I设函数f*=ae*ln*+，曲线y=f*在点1，f1处得切线方程为y=e*1+2求a、b；证明：f*1【分析】求出定义域，导数f*，根据题意有f1=2，f1=e，解出即可；由知，f*1等价于*ln*e*，设函

11、数g*=*ln*，函数h*=，只需证明g*minh*ma*，利用导数可分别求得g*min，h*ma*；【解答】解：函数f*的定义域为0，+，f*=+，由题意可得f1=2，f1=e，故a=1，b=2；由知，f*=e*ln*+，f*1，e*ln*+1，ln*，f*1等价于*ln*e*，设函数g*=*ln*，则g*=1+ln*，当*0，时，g*0；当*，+时，g*0故g*在0，上单调递减，在，+上单调递增，从而g*在0，+上的最小值为g=设函数h*=*e*，则h*=e*1*当*0，1时，h*0；当*1，+时，h*0，故h*在0，1上单调递增，在1，+上单调递减，从而h*在0，+上的最大值为h1=综上

12、，当*0时，g*h*，即f*1【点评】此题考察导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考察转化思想，考察学生分析解决问题的能力62013新课标函数f*=*2+a*+b，g*=e*c*+d假设曲线y=f*和曲线y=g*都过点P0，2，且在点P处有一样的切线y=4*+2求a，b，c，d的值；假设*2时，f*kg*，求k的取值*围【分析】对f*，g*进展求导，在交点处有一样的切线及曲线y=f*和曲线y=g*都过点P0，2，从而解出a，b，c，d的值；由I得出f*，g*的解析式，再求出F*及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F*的最值，从而判断出f*kg*恒成立，从而求出k的*围【解答】解

13、：由题意知f0=2，g0=2，f0=4，g0=4，而f*=2*+a，g*=e*c*+d+c，故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；由I知，f*=*2+4*+2，g*=2e*+1设F*=kg*f*=2ke*+1*24*2，则F*=2ke*+22*4=2*+2ke*1，由题设得F00，即k1，令F*=0，得*1=lnk，*2=2，假设1ke2，则2*10，从而当*2，*1时，F*0，当*1，+时，F*0，即F*在2，*1上减，在*1，+上是增，故F*在2，+上的最小值为F*1，而F*1=*1*1+20，*2时F*0，即f*kg*恒成立假设k=e2，则F*=2e2

14、*+2e*e2，从而当*2，+时，F*0，即F*在2，+上是增，而F2=0，故当*2时，F*0，即f*kg*恒成立假设ke2时，F*2e2*+2e*e2，而F2=2ke2+20，所以当*2时，f*kg*不恒成立，综上，k的取值*围是1，e2【点评】此题主要考察利用导数研究曲线上*点切线方程，函数恒成立问题，考察分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题72013新课标函数f*=e*ln*+m设*=0是f*的极值点，求m，并讨论f*的单调性；当m2时，证明f*0【分析】求出原函数的导函数，因为*=0是函数f*的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析

15、式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；证明当m2时，f*0，转化为证明当m=2时f*0求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在2，+上为增函数，并进一步得到导函数在1，0上有唯一零点*0，则当*=*0时函数取得最小值，借助于*0是导函数的零点证出f*00，从而结论得证【解答】解：，*=0是f*的极值点，解得m=1所以函数f*=e*ln*+1，其定义域为1，+设g*=e*+11，则g*=e*+1+e*0，所以g*在1，+上为增函数，又g0=0，所以当*0时，g*0，即f*0；当1*0时，g*0，f*0所以f*在1，0上为减函数；在0，+上为增函数；证明：当m2，*m，+时，ln*+m

16、ln*+2，故只需证明当m=2时f*0当m=2时，函数在2，+上为增函数，且f10，f00故f*=0在2，+上有唯一实数根*0，且*01，0当*2，*0时，f*0，当*0，+时，f*0，从而当*=*0时，f*取得最小值由f*0=0，得，ln*0+2=*0故f*=0综上，当m2时，f*0【点评】此题考察了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考察了不等式的证明，考察了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考察了学生分析问题和解决问题的能力熟练函数与导数的根底知识是解决该题的关键，是难题82013秋梁子湖区校级月考函数I假设*0时，f*0，求的最小值；II设数列an的通项an

17、=1+【分析】I由于函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数的取值*围，即可求得其最小值；II根据I的证明，可取=，由于*0时，f*0得出，考察发现，假设取*=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：I由，f0=0，f*=，f0=0欲使*0时，f*0恒成立，则f*在0，+上必为减函数，即在0，+上f*0恒成立，当0时，f*0在0，+上恒成立，为增函数，故不合题意，假设0时，由f*0解得*，则当0*，f*0，所以当0*时，f*0，此时不合题意，假设，则当*0时，f*0恒成立，此时f*在0，+上必为减函数，所以当*0

18、时，f*0恒成立，综上，符合题意的的取值*围是，即的最小值为 II令=，由I知，当*0时，f*0，即取*=，则于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以【点评】此题考察了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，此题考察了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度92013秋城关区校级月考设函数f*=a*+cos*，*0，讨论f*的单调性；设f*1+sin*，求a的取值*围【分析】求导函数，可得f*=asin*，*0，sin*0，1，对a进展分类讨论，即可确定函数的单调区间；由f*1+sin*得f1，a11，可得a，构造函数g*=sin*

19、0*，可得g*00*，再考虑：0*；，即可得到结论【解答】解：求导函数，可得f*=asin*，*0，sin*0，1；当a0时，f*0恒成立，f*单调递减；当a1 时，f*0恒成立，f*单调递增；当0a1时，由f*=0得*1=arcsina，*2=arcsina当*0，*1时，sin*a，f*0，f*单调递增当*1，*2时，sin*a，f*0，f*单调递减当*2，时，sin*a，f*0，f*单调递增；由f*1+sin*得f1，a11，a令g*=sin*0*，则g*=cos*当*时，g*0，当时，g*0，g*0，即0*，当a时，有当0*时，cos*1，所以f*1+sin*；当时，=1+1+sin*

20、综上，a【点评】此题考察导数知识的运用，考察函数的单调性，考察函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性102011新课标函数f*=+，曲线y=f*在点1，f1处的切线方程为*+2y3=0求a、b的值；如果当*0，且*1时，f*+，求k的取值*围【分析】I求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值II将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的*围【解答】解：由题意f1=1，即切点坐标是1，1由于直线*+2y3=0

21、的斜率为，且过点1，1，故即解得a=1，b=1由知，所以考虑函数*0，则i设k0，由知，当*1时，h*0而h1=0，故当*0，1时，h*0，可得；当*1，+时，h*0，可得h*0从而当*0，且*1时，f*+0，即f*+ii设0k1由于当*1，时，k1*2+1+2*0，故h*0，而h1=0，故当*1，时，h*0，可得h*0，与题设矛盾iii设k1此时h*0，而h1=0，故当*1，+时，h*0，可得h*0，与题设矛盾综合得，k的取值*围为，0【点评】此题考察导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考察构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考察了分类讨论的数学思想方法1120

22、10全国卷设函数f*=1e*证明：当*1时，f*；设当*0时，f*，求a的取值*围【分析】1将函数f*的解析式代入f*整理成e*1+*，组成新函数g*=e*1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g*的最小值g0，进而g*g0可得证2先确定函数f*的取值*围，然后对a分a0和a0两种情况进展讨论当a0时根据*的*围可直接得到f*不成立；当a0时，令h*=a*f*+f*，然后对函数h*进展求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的*围【解答】解：1当*1时，f*当且仅当e*1+*令g*=e*1，则g*=e*1当*0时g*0，g*在0，+是增函数当*0时g*0，g*在，0是减函数于是g*在*

23、=0处到达最小值，因而当*R时，g*g0时，即e*1+*所以当*1时，f*2由题意*0，此时f*0当a0时，假设*，则0，f*不成立；当a0时，令h*=a*f*+f*，则f*当且仅当h*0因为f*=1e*，所以h*=af*+a*f*+f*1=af*a*f*+a*f*i当0a时，由1知*+1f*h*af*a*f*+a*+1f*f*=2a1f*0，h*在0，+是减函数，h*h0=0，即f*ii当a时，由i知*f*h*=af*a*f*+a*f*af*a*f*+af*f*=2a1a*f*当0*时，h*0，所以h*0，所以h*h0=0，即f*综上，a的取值*围是0，【点评】此题主要考察导数的应用和利用导

24、数证明不等式，考察考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考察考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生结实掌握根底知识、根本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考察力度不会减弱作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在122010全国卷函数f*=*+1ln*+1假设*f*2+a*+1，求a的取值*围；证明：*1f*0【分析】先根据导数公式求出导函数f*，代入*f*2+a*+1，将a别离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数a

25、的取值*围；根据I可知g*g1=1即ln*+10，然后讨论a与1的大小，从而确定*1的符号，然后判定f*与0的大小即可证得结论【解答】解：，*f*=*ln*+1，题设*f*2+a*+1等价于ln*a令g*=ln*，则当0*1，g*0；当*1时，g*0，*=1是g*的最大值点，g*g1=1综上，a的取值*围是1，+由知，g*g1=1即ln*+10当0*1时，f*=*+1ln*+1=*ln*+ln*+10；当*1时，f*=ln*+*ln*+1=0所以*1f*0【点评】此题主要考察了利用导数研究函数的最值，以及利用参数别离法求参数的取值*围，同时考察了运算求解的能力，属于中档题132009全国卷设函数f*=*2+aln1+*有两个极值点*1、*2，且*1*2，求a的取值*围，并讨论f*的单调性；证明：f*2【分析】1先确定函数的定义域然后求导数f*，令g*=2*2+2*+a，由题意知*1、*2是方程g*=0的两个均大于1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f*0