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文档简介
1、函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中xk+/2;y=cotx中xk等等。( 6 )中x二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法(10)不等式法 (11)平方法等等这些解题思想与
2、方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域: ; ; 解:x-2=0,即x=2时,分式无意义,而时,分式有意义,这个函数的定义域是.3x+20,即x-时,根式无意义,而,即时,根式才有意义,这个函数的定义域是|.当,即且时,根式和分式 同时有意义,这个函数的定义域是|且另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数的定义域: 解:要使函数有意义,必须: 即: 函数的定义域为: 要使函数有意义,必须: 定义域为: x|要使函数有意义,必须: 函数的定义域为:要使函数有意义,必须: 定义域为: 要使函数有意义,必须: 即 x 定义域为:例3 若函数的定义域是R,求
3、实数a 的取值范围 解:定义域是R,例4 若函数的定义域为-1,1,求函数的定义域解:要使函数有意义,必须:函数的定义域为:例5 已知f(x)的定义域为1,1,求f(2x1)的定义域。分析:法则f要求自变量在1,1内取值,则法则作用在2x1上必也要求2x1在 1,1内取值,即12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同,范围也应一样,12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。(注意:f(x)中的x与f(2x1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)解:f(x)的定义域为1,1,12x11,解之0x1,f(2x1)的定义域
4、为0,1。例6已知已知f(x)的定义域为1,1,求f(x2)的定义域。答案:1x21 x211x1 练习:设的定义域是-3,求函数的定义域解:要使函数有意义,必须: 得: 0 函数的定域义为:例7已知f(2x1)的定义域为0,1,求f(x)的定义域因为2x1是R上的单调递增函数,因此由2x1, x0,1求得的值域1,1是f(x)的定义域。已知f(3x1)的定义域为1,2),求f(2x+1)的定义域。)(提示:定义域是自变量x的取值范围)练习:已知f(x2)的定义域为1,1,求f(x)的定义域若的定义域是,则函数的定义域是()已知函数的定义域为,函数的定义域为,则()B 2、求值域问题利用常见函
5、数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为x|x0,值域为y|y0;二次函数的定义域为R,当a0时,值域为;当a0,=,当x0时,则当时,其最小值;当a0)时或最大值(a0)时,再比较的大小决定函数的最大(小)值.若a,b,则a,b是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.注:若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:1、求函数y=3+(23x)的值域解:由算术平方根的性质,知(23x)0, 故3+(23x)3。 函数的值域为.2、求函数
6、 的值域解: 对称轴 例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数,而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为y|y4/3。小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习:求函数y=3+4-x的值域。(答案:y|y3)法二:换元法(下题讲)例4 求函数 的值域 解:(换元法)设,则 点评:将
7、无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习:求函数y=x-1 x的值域。(答案:y|y3/4例5 (选)求函数 的值域解:(平方法)函数定义域为: 例6 (选不要求)求函数的值域解:(三角换元法) 设 小结:(1)若题目中含有,则可设 (2)若题目中含有则可设,其中(3)若题目中含有,则可设,其中(4)若题目中含有,则可设,其中(5)若题目中含有,则可设其中-10134-4xy 例7 求 的值域解法一:(图象法)可化为 如图, 观察得值域解法二:(零点法)画数轴 利用可得。-103解法三:
8、(选)(不等式法) 同样可得值域练习:的值域呢? ()(三种方法均可)例8 求函数 的值域解:(换元法)设 ,则 原函数可化为10xy 例9求函数 的值域解:(换元法)令,则 由指数函数的单调性知,原函数的值域为 例10 求函数 的值域解:(图象法)如图,值域为 例11 求函数 的值域解法一:(逆求法)解法二:(分离常数法)由 ,可得值域小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。例12 求函数 的值域011解法一:(逆求法) 小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围
9、,可采用逆求法。解法二:(换元法)设 ,则 01练习:y=;(y(-1,1)).例13 函数 的值域解法一:(逆求法) 2解法二:(换元法)设 ,则 解法三:(判别式法)原函数可化为 1) 时 不成立2) 时,综合1)、2)值域解法四:(三角换元法)设,则 原函数的值域为10例14 求函数的值域5解法一:(判别式法)化为1)时,不成立2)时,得综合1)、2)值域解法二:(复合函数法)令,则 所以,值域例15 函数的值域解法一:(判别式法)原式可化为 解法二:(不等式法)1)当时,2) 时,综合1)2)知,原函数值域为例16 (选) 求函数的值域解法一:(判别式法)原式可化为 解法二:(不等式法
10、)原函数可化为 当且仅当时取等号,故值域为例17 (选) 求函数的值域解:(换元法)令 ,则原函数可化为。小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为(选)的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。 练习:1 、;解:x0,y11.另外,此题利用基本不等式解更简捷:(或利用对勾函数图像法)2 、0y5.3 、求函数的值域; 解:令0,则,原式可化为,u0,y,函数的值域是(-,.解:令 t=4x-0 得 0x4 在此区间内 (4x-)=4 ,(4x-) =0函数的值域是 y| 0y24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式:,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是y|y3.解法2:函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,易见y的最小值是3,函数的值域是3,+. 如图 5、求函数的值域解:设 则 t0 x=1-代入得 t0 y46、(选)求函数的值域方法一:去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=
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