初中数学隐圆模型题型归纳

1、中考数学几何模型：隐圆侬【点睛1】触发隐圆模型的类型(1)动点定长模型原理：圆A中，AB=AC=AP备注：常转全等或相似证明出定长若P为动点，但AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径(2)直角圆周角模型固定线段AB所对动角NC恒为90° 则A、B、C三点共圆，AB为直径原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角(3)定弦定角模型固定线段AB所对动角NP为定值则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型若动角NA+动角NC=180° 则

2、A、B、C、D四点共圆原理：圆内接四边形对角互补备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型固定线段AB所对同侧动角NP=NC 则A、B、C、P四点共圆原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等备注：点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点（1）求CM最小值与最大值（2）求线段AB扫过的面积（3）求Sabc最大值与最小值作法：如图建立三个同心圆，作OMLAB, B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆 结论：CM1最小，CM3最大线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积5 ABC最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB

3、为底，CM2为高启迪思维探究重点典题探究例题1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°, M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN 沿MN所在直线翻折得到4A、MN,连接A、C,则A'C长度的最小值是.【分析】考虑4AMN沿MN所在直线翻折得到A,MN,可得MA,=MA =1,所以A轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧.连接CM，与圆的交点即为所求的A,，此时A,C的值最小.构造直角 M8C,勾股定理求CM，再减去A7M即可，答案为五1 .anbCA " NBCC变式练习>>>1 .如图，在Rt ABC中，ZC=90°,

4、AC=6, BC =8,点F在边AC上，并且。尸=2,点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.【分析】考虑到将4FCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧.过F 点作FH±AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH，再减去FP，即可 得到PH.答案为1.2.CE例题2.如图，已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点，经过点O的直线l°, l不经过点C,则AB的最小值为【分析】连接OP，根据 APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB

5、的一半，若AB最小，则 OP最小即可.连接OC,与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值.答案为4.变式练习>>>2 .如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2, AEQ沿EQ翻 折形成bEQ,连接PF、PD，则PF+PD的最小值是.答案为8.【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D,，连接PD,，PF+PD化为 PF+PD，连接ED,，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED,，再减去EF即可.D'例题3.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个

6、动点，满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是.BC【分析】根据条件可知：/DAG =N DCG =N ABE，易证AG ± BE,即/AHB=90°,所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，A_ E F D 尸i1BC变式练习>>>3.如图，RtABC 中，AB±BC, 段CP长的最小值是.B答案为4e-4【分析】,/ PBC +/PBA=90°,DH取到最小值，勾股定理可求.答案为5- -1AEFDADBCBCAB=8, BC=4, P是ABC内部的一个动点，

7、且满足/PAB =/PBC,则线/ PBC=/PAB ,/ PAB +/PBA=90°,；N APB=90°,.P点轨迹是以AB为直径的圆弧.当0、P、C共线时，CP取到最小值，,A,勾股定理先求0C,再减去0P即可.1BCCB例题4.如图，在RtAlBC中，/ACB=90°, BC=4, AC =10,点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆 0,连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为.【分析】连接CE，由于CD为直径，故NCED=90°,考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角NCEB.取CB中点M,所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的

8、圆弧.连接AM,与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，AE = AM EM = V102 + 22 2 = 2v26 2 .变式练习>>>4.如图，正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG, 则AG长的最小值为.【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF, BG±EF,但NBGE所对的BE边是不确定的.重点放在AE=CF,可得EF必过正方形中心O点，连接BD,与EF交点即为O点.NBGO为直角且BO边为定直线，故G

9、点轨迹是以BO为直径的圆.记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用R3AOM勾股定理先求AM,再减去GM即可.答案为由 转例题5.如图，等边4ABC边长为2, E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF,连接AE、BF,交点为 P点，则CP的最小值为.B EC答案为【分析】由BE= CF可推得 ABE/ BCF,所以NAPF=60°,但NAPF所对的边AF是变化的.所以考虑N APB =120°,其对边AB是定值.所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧.（构造OA=OB且NAOB =120°） 当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用R

10、3OBC勾股定理求得OC,再减去OP即可.变式练习>>>5. 在AABC中，AB=4,ZC=60°,ZA>ZB，贝U BC的长的取值范围是【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，/C=60°,即定边对定角.故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧.（作AO=BO且NAOB=120°）题意要求/A>ZB，即BC>AC,故点C的轨迹如下图.当BC为直径时，BC取到考虑/A为AABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4.无最小值.例题6.如图，在四边形ABCD中，NBCD=90°, AC为对角线，过点D作D

11、F±AB，垂足为E，交CB延长线于点 F,若 AC = CF, NCAD =NCFD, DF - AD=2, AB=6,则 ED 的长为谷5【解答】解：.NCAD =NCFD,A点A, F, C, D四点共圆，AN FAD +N DCF =180°, N FAC =N FDC, N DCF=90°, AN FAD=90°, AC=FC, AN FAC =N AFC, DF ± AB, AN ABF+N BFE =N CDF+N BFE=90°,AN ABF =N CDF, AN AFB =N ABF, . AF=AB=6, DF -

12、AD = 2, ADF=AD+2, DF2= AF2+AD2, A (2+AD) 2=62+AD2,解得：AD=8, ADF =10, NFAD=90°, AE±DF, AAADEADAF, A延=,A DE=4=:=段，故答案为：羽 DF ADDF 1055标检测领悟提升强化落实1.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB =10, AC=8. D是弧BC上的一个动点，连接AD, 过点C作CE±AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.答案为：2V13 4【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，NAEC=90°,且AC是一条定

13、线段，所以E点轨迹是以 AC为直径的圆弧.当B、E、M共线时，BE取到最小值.连接BC,勾股定理求BM，再减去EM即可.B2.如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,NAEB = 90°, AC、BD交于。.已知AE、BE的长分别为3, 5,求三角形OBE的面积.【解答】解：丫四边形a且右n是正方形r :.£DOC- s 2白C占=45° r£, C、D四点共瓦1,11点CM乍DGF_L1?E干台r OG=EGtiOGx ,贝!|£<?二工/*<?5j , 由匈股定理得：DC=32+s2=y34 .。*。仃曲中 r

14、 OD2=OG2+i>G2 r 17=j/+ ( 5-x ) 2 Hj7-5j + 4=0 ,工二1或,，OG=I或$ (舍).口口五的面积是.口曰口。=异5乂】=2", 故替奏为："53.如图，正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF±BE于点F,点P是 AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为.口AB答案为：2 <13 2【分析】/AFB=90°且AB是定线段， 折线段，作点C关于AD的对称点CC CEA；*oy'''、/4.如图，在RtABC 中，/ACB=90°故F点轨迹

15、是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆.考虑PC+PF是 ，化PC+PF为PC,+ PF,当C'、P、F、O共线时，取到最小值.DC、 ，;二 力、A、o;ZB=30°, AB=4, D 是 BC 上一动点，CE±AD 于 E, EF±AB 交 BC于点F,则CF的最大值是.AC FDB【分析】ZAEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧. 当EF与圆相切的时候，CF取到最大值.连接OF,易证 OCF芸OEF,ZCOF=30°,故CF可求.答案为与/ 一. ，_C:Eb.C FDBC FB考虑EF±AB，且E点在

16、圆上，故A(C FB5 .如图， ABC为等边三角形，AB=3,若P为AABC内一动点，且满足NPAB =ZACP，则线段PB长度的 最小值为.答案为6 .如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm, AC=4cm. D是弧BC上的一个动点（含端 点B，不含端点C）,连接AD，过点C作CE±AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是一:13- 2<BE<3【解答】解：如图，由题意知，NAEC=90°,E在以AC为直径的。M的CN上（不含点C、可含点N）,BE最短时，即为连接BM与。M的交点（图中点E点）,?AB=5, AC=4,BC =

17、3, CM=2,贝 UBM = .'CM2+BC2= ,-；22+32=' 13,BE长度的最小值BE=BM - ME'= '； 13-2,BE最长时，即E与C重合，:BC=3,且点E与点C不重合，.BE<3,综上，13-2<BE<3,7.在Rt ABC中，NC=90°, AC =10, BC =12,点D为线段BC上一动点.以CD为。O直径，作AD交。O于点E，连BE，则BE的最小值为 8【解答】解：解：如图，连接CE,AN CED = N CEA = 90°,'点E在以AC为直径的。Q上，VAC =10, AQC

18、 = QE=5, 当点Q、E、B共线时BE最小，V BC =12, A QB = .'BC2-H3C2=13,BE = QB - QE =8,，BE的最小值为8,故答案为8._8 .如图，在等腰RtA ABC中，Z BAC=90°, AB = AC, BC =&/'2,点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为亏二2_.【解答】解：连结AE，如图1, _ VZBAC=90°, AB=AC, BC = &； 2, AB=AC=4,/ AD为直径，AZ AED=90°,AZ AEB=90

19、76;,A点E在以AB为直径的。O上，V。O的半径为2,A当点O、E、C共线时，CE最小，如图2,在 RtA AOC 中，V OA = 2, AC=4,A OC = .10A2+-AC2=2''GA CE = OC - OE=2 ； 5-2,_即线段CE长度的最小值为2r亏-2. 故答案为2'/ 5-2.21 17- 21：5 .9 .如图，在矩形ABCD中，已知AB=4, BC =8,点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的 一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是一【解答】解：如图，连接EO、PO、OC.V 四边形 ABCD 是矩形，AZ B =Z OAP=90°,在 RtA OBC 中，BC =8, OB = 2, AOC = ' ： ?之十 g ?=2 ；17,在 RtA AOP 中，OA=2, PA=4, A OP = .即十4?=2： 5,V