回归正交试验设计

1、第第8 8章章 回归正交试验设计回归正交试验设计 Orthogonal Regression Designn正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案试验范围内的最优方案 n回归正交设计（回归正交设计（orthogonal regression design） ：可以在因素的试验范围内选择适当的试验点可以在因素的试验范围内选择适当的试验点用较少的试验建立回归方程用较少的试验建立回归方程能解决试验优化问题能解决试验优化问题不适合非数量性因素不适合非数量性因素8.1 一次回归正交试验设计及结果分析一次回归正交试验设计及结

2、果分析 n建立试验指标（建立试验指标（y）与）与m个试验因素个试验因素x1，x2，xm之间的之间的一次回归方程一次回归方程n例：例：m3时，时，一次回归方程：一次回归方程： yab1x1b2x2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3其中其中x1，x2，x3表示表示3个因素；个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用表示交互作用若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： yab1x1b2x2b3x38.1.1 一次回归正交设计的基本方法一次回归正交设计的基本方法 （1）确定因素的变化范围）确定因素的变化范围 以因素以因素xj为例为例：n

3、设设xj 的变化范围为的变化范围为xj1， xj2 nxj1为为xj的下水平的下水平 nxj2为为xj的上水平的上水平 n xj0为为xj的零水平：的零水平： xj0 (xj1 xj2)/2n因素因素xj的变化间距的变化间距j：j上水平上水平 零水平零水平xj2xj0j= (xj2 xj1)/2 （2）因素水平的编码）因素水平的编码zj：因素：因素xj的编码的编码 ，称为规范变量，称为规范变量 xj：自然变量：自然变量 上水平上水平xj2的编码的编码 ：zj21 下水平下水平xj1的编码：的编码：zj11 零水平零水平xj0的编码：的编码：zj00 0jjjjxxzn 编码（编码（coding

4、）：将因素）：将因素xj的各水平进行线性变换：的各水平进行线性变换：n编码目的：编码目的：使每因素的每水平在编码空间是使每因素的每水平在编码空间是“平等平等”的，规范变量的，规范变量zj的取值范围都是的取值范围都是1，1编码能将试验结果编码能将试验结果y与因素与因素xj（j1，2，m）之间）之间的回归问题，转换成试验结果的回归问题，转换成试验结果y与编码值与编码值zj之间的回归问之间的回归问题题 （3）一次回归正交设计表）一次回归正交设计表n将二水平的正交表中将二水平的正交表中“2”用用“1”代换代换 ，例：，例：n回归正交设计表的特点：回归正交设计表的特点：任一列编码的和为任一列编码的和为0

5、 任两列编码的乘积之和等于任两列编码的乘积之和等于0 （4）试验方案的确定）试验方案的确定可参考正交设计的表头设可参考正交设计的表头设计方法计方法交互作用列的编码等于表交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘中对应两因素列编码的乘积积 n零水平试验（中心试验零水平试验（中心试验 ）n 表头设计表头设计 ：8.1.2 一次回归方程的建立一次回归方程的建立 n总试验次数为总试验次数为n ： nmcm0mc：二水平试验次数：二水平试验次数m0：零水平试验次数：零水平试验次数n一次回归方程系数的计算：一次回归方程系数的计算：常数项：常数项：a一次项系数：一次项系数：bj 交互项系数：交互项系数：

6、bjk11niiayyn1njiiijcz ybm j1，2，m 1()nkjiiikjcz zybmjk, k1，2，m1 n说明：说明：求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负 8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析回归方程及偏回归系数的方差分析 8.1.3.1 无零水平试验时无零水平试验时 平方和：平方和：n总平方和：总平方和：2221111()()nnnTyyiiiiiiSSLyyyyn2jcjSSm b2kjckjSSm bRSSSSSS一次项交互项e

7、TRSSSSSSn一次项偏回归平方和一次项偏回归平方和 ：n交互项偏回归平方和：交互项偏回归平方和：n回归平方和回归平方和 ：n残差平方和残差平方和 ：自由度自由度 ndfTn1 n各种偏回归平方和的自由度各种偏回归平方和的自由度1 n回归平方和的自由度回归平方和的自由度 ：Rdfdfdf一次项交互项eTRdfdfdfn残差自由度：残差自由度：n不考虑交互作用时不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。均方均方F检验：检验：n回归方程显著性检验回归方程显著性检验n偏回归系数显著性检验偏回归系数显著性检验 ：判断因素或交互作用对试验的影响程度判断因素或交互作用对试验的影响程度可直接从回归

8、方程中剔除这些一次和交互项可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验例例8-1： （1）因素水平编码）因素水平编码 （2）正交表的选择和试验方案的确定）正交表的选择和试验方案的确定 （3）回归方程的建立）回归方程的建立 m00，nmc8 计算表计算表计算各回归系数计算各回归系数写出写出y与规范变量与规范变量zj的回归方程的回归方程根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向根据偏回归系数正负，得到各因素

9、对试验指标的影响方向（4）方差分析）方差分析（5）回归方程的回代：得到试验指标）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量与自然变量xj的回归的回归方程方程8.1.3.2 有零水平试验时有零水平试验时 n目的：进行回归方程的失拟性（目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验）检验 （要求（要求m02 ）n失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况拟合情况n失拟性检验步骤：失拟性检验步骤： 设设m0次零水平试验结果为次零水平试验结果为y01，y02，y0m0 重复试验误差：重复试验误差：n平方和：平方和： 000222

10、1000011101()()mmmeiiiiiiSSyyyym101edfm11LfTReeeSSSSSSSSSSSS1Lfeedfdfdfn重复试验误差的自由度：重复试验误差的自由度：回归方程失拟部分：回归方程失拟部分：n失拟平方和失拟平方和 ：n失拟平方和自由度：失拟平方和自由度：n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平（一般取（一般取0.1） n当当FLfF（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显）时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回是由随机误差造成的，所建立的回归方程是拟合得很好归方程是拟合得很好n例例8-2 11LfL

11、fLfeeSSdfFSSdf失拟检验失拟检验 ：8.2 二次回归正交组合设计二次回归正交组合设计 n回归方程的建立：回归方程的建立：根据最小二乘法原理得到正规方程组根据最小二乘法原理得到正规方程组求解正规方程组，得回归系数求解正规方程组，得回归系数要求：试验次数回归方程的项数要求：试验次数回归方程的项数n回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案案 8.2.1 二次回归正交组合设计表二次回归正交组合设计表 （1）二元二次回归正交组合设计试验方案

12、）二元二次回归正交组合设计试验方案n二元二次回归方程：二元二次回归方程：221 122121211 1222yab xb xb x xb xb xn试验方案试验方案n正交组合设计的三类试验点及次数：正交组合设计的三类试验点及次数：二水平试验：二水平试验：全实施：全实施：mc2m 1/2实施：实施：mc2m11/4实施：实施：mc2m2 星号试验：星号试验：与原点（中心点）的距离都为与原点（中心点）的距离都为 m2m 零水平试验：零水平试验：各因素水平编码都为零时的试验各因素水平编码都为零时的试验 试验次数试验次数m0 n 二元二次回归正交组合设计二元二次回归正交组合设计（2） 三元二次回归正交

13、组合设计试验方案三元二次回归正交组合设计试验方案 n三元二次回归方程：三元二次回归方程：2221 12 23 312 1 213 1 323 2 311 122 233 3y a bxbxbxb xxb xxb x xb xb xb x n试验方案试验方案n 三元二次回归正交组合设计三元二次回归正交组合设计 （3）星号臂长度与二次项的中心化）星号臂长度与二次项的中心化 星号臂长度星号臂长度n星号臂长度星号臂长度与因素数与因素数m，零水平试验次数，零水平试验次数m0及二水平试及二水平试验数验数mc有关有关n的确定的确定公式计算公式计算0(2)2cccmmm mm 参考表参考表8-18m0因素数因

14、素数m234（1/2实施）实施）45（1/2实施）实施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.00091.4571.6681.7521.8681.

15、9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回归正交组合设计二次回归正交组合设计值表值表 二次项的中心化二次项的中心化 n对二次项的每个编码进行中心化处理对二次项的每个编码进行中心化处理 ： (二次项编码二次项编码)(二次项编码算术平均值二次项编码算术平均值)2211njijijiizzzn试验号试验号z1z2z1 z2z12z22z1z21111111/31/32111111/31/33111111/31/34111111/31/35100101/32/36100101/32/37010012/31/38010012/31/39000002/32/3二

16、元二次回归正交组合设计编码表二元二次回归正交组合设计编码表 8.2.2 二次回归正交组合设计的应用二次回归正交组合设计的应用 （1）基本步骤）基本步骤 因素水平编码因素水平编码 n试验因素的水平被编为试验因素的水平被编为，1，0，1，n变化间距：变化间距：j上水平零水平零水平下水平上水平零水平零水平下水平0jjjxx 规范变量规范变量zj自然变量自然变量xjx1x2xm上星号臂上星号臂x1x2xm上水平上水平1x12x101x22x202xm2xm0m零水平零水平0 x10 x20 xm0下水平下水平1x11x101x21x202xm1xm0m下星号臂下星号臂x1x2xm变化间距变化间距j12

17、m因素水平的编码表因素水平的编码表 确定合适的二次回归正交组合设计确定合适的二次回归正交组合设计 n参考表参考表8-22因素数因素数m选用正交表选用正交表表头设计表头设计mcm2L4（23）1，2列列22443L8（27）1，2，4列列23864（1/2实施）实施）L8（27）1，2，4，7列列241884L16（215）1，2，4，8列列241685（1/2实施）实施）L16（215）1，2，4，8，15列列24116105L32（231）1，2，4，8，16列列253210正交表的选用正交表的选用 试验方案的实施试验方案的实施 回归方程的建立回归方程的建立 n常数项：常数项：a11niia

18、yynn一次项偏回归系数一次项偏回归系数bj ：121njiiijnjiiz ybzn 交互项偏回归系数交互项偏回归系数bkj ：121()()nkjiiikjnkjiiz zybz zn 二次项偏回归系数二次项偏回归系数bjj ：121()()njiiijjnjiizybz回归方程显著性检验回归方程显著性检验 总平方和：总平方和： 2221111()()nnnTiiiiiiSSyyyyn221njjjiiSSbz 交互项偏回归平方和：交互项偏回归平方和：221()nkjkjkjiiSSbz z 二次项偏回归平方和：二次项偏回归平方和：221()njjjjjiiSSbz 一次项偏回归平方和：一次项偏回归平方和：n 平方和：平方和： 回归平方和：回归平方和： 残差平方和：残差平方和： eTRSSSSSSRSSSSSSSS一次项二次项交互项n自由度：自由度：dfTn1各种偏回归平方和的自由度：各种偏回归平方和的自由度：1 回归平方和的自由度：回归平方和的自由度： Rdfdfdfdf一次项二次项交互项 残差平方自由度：残差平方自由度： eTRdfdfdfn回归系数的检验：回归系数的检验：