相似矩阵的性质及应用

1、华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称： 线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2013年n月6日摘要：若矩阵P可逆,则矩阵p-%p与A称为相似。矩阵相似的概念是为深 入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩 阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类 问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如: 利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵 属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价 条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其 他学科中都有极其广

2、泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应 用。关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值英文题目：The properties and application of similar matrixAbstract： There are a lot of applications about similar matrix.Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted i

3、nto similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to example, we can discuss the integrality of the method by using the properties

4、 of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especiall

5、y, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.Key words：similar matrices; diagonal matrix; Jordan? s normal form; characteristic value; characte

6、ristic vector引言：矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点 之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中, 往往将这两个问题紧凑的联系在一起。由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及 各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、H动控制理论基础等领 域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有 利于学习者的掌握和应用。1.矩阵相似的定义与基本性质矩阵相似的定义设A, B是n阶方阵,如果存在可逆阵P使得AP二B,则称矩阵A与B相 似.若矩阵A相似于对角阵，则称A可相似对角化，即存在可逆阵P使 pT Ap

7、 =点火（44,4），4,，儿为A的n个特征值.令sm为非奇异矩阵，考察矩阵人工的线性变换B=SaA.令线性变换3的特征值为4对应的特征向量为，即By=将式3fHaS弋入上式，即有54与海或令x = Sy或y=SZ,则式可以写作比较3尸的和A*注两式可知，矩阵A和B=SA.1具有相同的特征 值，并且矩阵B的特征向量是矩阵A的特征向量入的线性变换，即 >=5-0由于矩阵A和的特征值相同，特征向量存在线性变换 的关系，所以称这两个矩阵“相似二于是：设4、8都是阶方阵，若有可逆方阵S,使SA&G，则称8是A 的相似矩阵。或者说矩阵A与8相似。对A进行运算p-Ap称为对4进行 相似变换。

8、可逆矩阵夕称为把A变成8的相似变换阵。矩阵相似的一些基本性质：对称性：43则84。传递性：AB及8C可得:力C。如果阶矩阵A, 8相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。 相似矩阵另外的一些特性：1)相似矩阵有相同的秩。2)相似矩阵的行列式相等。3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相 似。4) A 3则 M 8。keN、A、A-1 - Bl (若4, 8 均可逆)、|月宅小是/从而A , 8有相同的特征值。5) .若A与B都可对角化,则A与B相似的充分条件是A与B由相同 的特征多项式.6) . A的属于同一特征值人的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应4的特征

9、向量.7) . A的属于不同特征值的特征向量线形无关.8) .实对称矩阵A的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正 交.9) .若是实对称矩阵A的r重特征值,则A对应特征值力恰有r个线 性无关的特征向量.10) .任何一个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵J相似.11) .对n阶方阵A,以下三条等价：(DA可对角化；(2)A有n个特征值(重根按重数计)，且Vr (>1)重特征值几；(3)A有n个线性无关的特征向量.12) .对角化的基本方法有如下两种:特征值法，特征向量法.相似矩阵与若尔当标准形虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对 角矩阵稍微复杂的若尔当标

10、准形由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它 不仅容易求出矩阵A的乘累，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵 微分方程。定义：形如14 1 4 14叫X网的方阵称为明阶若尔当块。其中4可以是实数，也可以是复数。定理：矩阵的充要条件是他们相应的特征矩阵A =每个阶复矩阵A都与一个若尔当标准形,相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵A唯一决定。复矩阵A可对角化的充要条件是A的特征矩阵的初等因子全为一次 式。2.相似矩阵在微分方程中的应用许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此，如何求 解微分方程（组

11、）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量，约 当标准形在其中的应用.将常系数线性微分方程组du.丁 = %必+%22 +. + /“”； atdiiy丁 =。21%+222 +atdun1丁 =""必+""2"2+-+3(2-1)写成矩阵形式3 "(2-2)其中 u=(“,2-一,")'，A = (&)".“为系数矩阵，令(3-2)式的解 u= e/JX ,(2-3)即(M1,M2,-,wn)7 =e/U(x1,x2,- )7 .将(2-3)式代入(2-2) Ae/jx = AeA,x =

12、eAtAx,化简得AX =封，即(2-3)式中为A的特征值,X为九对应的特征向量;若A 可对角化,则存在n个线性无关的特征向量西,勺,与,于是得至心2-2)式的 n个线性无关的特解.U1 e%1, u2 =e/：,x2, , un =e/"txH.它们的线性组合u = C 1 ”鹏+c 2+c ”，(2-4)(其中c“2,c”为任意常数)为(2-1)式的一般解，将(2-4)式改写成矩阵 形式c二(q,Q，, e = diag (e”e为，/)P= (xlyx2, -,xn),则(2-1)式 或(2-2)式有一般解%= 0 ="(2-5)对于初值问题(2-6)解为(2-7)因

13、为廿0代入(2-5)式得例2解线性常系数微分方程组dx.T = X +工2； atdx, A .-=-4x. +;dtdx.八=-Xi + 2& dt已知初始值为：阳(0) = 1,±(。) = -=2.解本题的初始值问题为dtdx=Ax.r(0) = %=(-1,2)7110其中A= -4 5 0 ,可得A的约当标准形，即有可逆矩阵1 0 22 0 0使 P“AP=J= 0 3 10 0 3由(2-7)式，该初值问题的解为(2-8)八/+丝1+"1+,2!(2-9)Jn =20003"003Z,_, C*3(2-10)将(2-10)式代入(2-9)式得(

14、2-11)再将(2-11)式及P, P一代入(2-8)式得251/ 0 00 心 tei,0 0 /-3 15 -2-2 11-12对于阶线性齐次常系数微分方程(2-12)可令dx e dT+ anx(t) = Odx d2x万=占而于是可得与方程(2-12)同解的方程组dx1dtdx2dtdx丁5(2-13)式(2T3)可写成矩阵形式%AX(2-14)其中T (IX/dx1dx、dxtx、7X =(占，A,一=(,，T ,出dtdtdt- 01 0 00 0A =.* *00 1一 - 一4一于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组，然后再利用特 征值和特征向量求解.例2.求解微分方程

15、.d2x 万T不一4 dx ，八 八4 + 12x = 0dt(2-15)解令于是(2-15)式可变成等价的方程组dx一= 12再 + 4.Q + 3占其中X = (xpx?,x3)r ,=( atdx. dx, dx. IJdt dt dt00-12可求得A的特征值为4 =3,% =2,4=-2,对应的特征向量分别为X1 = (1,3,9尸了) = (124)7 ,x, = (1,-2,41于是由上例知,X =+ C2X2/2r + 阳1-24从而x = x= Ge" + c2e21 + ge"'其中G（" = 1,2,3）为任意常数.3相似矩阵在现实生

16、活中的应用例3.污染与环境发展的增长模型一一发展与环境已成为21世纪各国 政府关注的重点，为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以 下的工业增长模型：解 设X。是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指 数为测量单位），y。是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量 单位），以5年作为一个期间，第/个期间的污染和工业发展水平分别记为 乂,和丫（，它们之间的关系是：X = 3% + .t二 1, 2,<,=2九十2九(3-1)则(3-1)的矩阵形式为区=A"t=l, 2,(3-2)如果已知该地区目前(亦称为基年)的污染和工业发展水平 生二1%打，利用(3-2

17、)就可以预测第k个期间该地区的污染和工业发展 水平以，这是因为由(3-2)可得% = Aa(),a2 =4% = A2aOi-,ak = 4, .这表明可通过A"求得,为此考察A能否对角化,计算出A的特征多项式./ _ 3 - 1f(A)=AE-A =；，、=(A-1)(2-4)一，A 2由A有2个相异的特征值1和4知,A能对角化,所以可用性质来计算淤. 对于4 =1，解出-A)X=O,可得A属于1的一个特征向量。=1 2 对于4 = 4,解(4E- A)X =。,可得A属于4的一个特征向量多=1 1了 .令尸=当多1有A二尸"沁gl 4俨，屋=Pdia 4,卜=1T1 0

18、-11 lfl + 2* 7 + 4火1_ 0 4*J3|_2一2 + 2*4* 2 + 4"一屋4工。+ 2*飞+ 4"3(-2 + 2木4 )x0+(2 + 4 )y0(3-3)就是所要的预测结果,对不同的为值代入(4-3)即可求得见.例如：若4=1，有4 =陵4吁，(实际上此时就是属于4的特征向量,所以% =Aa =4"% =(4&4吁);若 =1 2，有4 =1-1+4*+, 2 + 4 可.这些都表明，尽管工业发展水平可以达到相当高的程度，但照此模式发 展，环境污染不容忽视.例4.人口流动模型一一假设某省城人口总数保持不变,每年有20% 的农村人

19、口流入城镇，有10%的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农 村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k年该省 城的城镇人口和农村人口分别设为乞，儿，据题意有4 =09k+°.2”.1.”=01七-1十°8果.】0.9 0.2 A =0.1 0.8% = A%_ = A(4Zi ) = = A4为计算4。仍考察4能否对角化.计算出A的特征多项式/(4)=火止2-0.9 -0.2-0.1 2-0.8= (2-1)(2-0.7)由于A有2个相异的特征值1和知，A能对角化，所以可用性质来计算屋.对于4 =1解(E-A)X=0可

20、得4属于1的一个特征向量刍=2 if ; 对于4=0.7解(0.7E-A)% = 0可得A属于的一个特征向量4=1 -I7 .令。=伟 刍，有 A = Ragl 0.7JP-1,=Pdiag (0.7/P-1_ '2 1 iFl 0 liFl 1 _ 112 + (0.7)* 2-2*(0.7/".I -iJLO (0.7/J 3 1 _2_|_Q|j_(0.7)« l + 2*(0.7/利用玉）+2=?，可得2+ (0.7/ 2-2*(0.7/ I-(0.7)x 1 + 2*(0.7/ JL>o.2/n + (x0-2y0 )(0.7/ m-(x0-2y0

21、)(0.7/21从而有演=：? +4(工0一2%)(07)人%=-,n (天)- 2 %)(0.7 y数列4，”的极限为r 2 r 1lim xk= m, lim yk = 一 mAtx 3 kT8- 3这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有I为城镇人口 为农村人口.4.矩阵相似在代数方面的应用.例5.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将!熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、 6老非熟练工经过培训及时间至年终考核有-成为熟练工。设第年一月份5x统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为匕和记成向量。LyJ求4 与卜的关系

22、式并写成矩阵形式:卜 = A卜;L%U 卜_4IF-1（2）验证7=:，小=1是A的两个线性无关的特征向量，并求出相£2时，求布11%川2.应的特征值；当卜,52 1X+l = Xn + £（£ / +）'）解：（1）按题意有65 631、=（二七 + %）924+1 =示七十£久化简得 105对其用矩阵表示即为93二 io 121r_9_ 2目于是4”：.10 5JLio 5.4 -1令P =（7，%）=,则由|P| = 5WO知，小，%线性无关。因1 1A=： = 7。故7为A的特征向量，且相应的特征值4=1。因A%= J =；小，故%为A的特征向量，且乡音的特征值为4=：。_5 .（3）由于有于是有A=P1 4A =因此有二A二 A-Ki£2£5.，有人=