高二数学曲线与方程习题

1、1曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)2平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质 3求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐

2、标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上4两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组 ，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题5求曲线轨迹方程的常用方法 (1)直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这

3、种方法称为直接法(2)定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法(3)代入法又称相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x，y)的坐标，可先用x，y来表示x，y，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程6圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值e，当 时，圆锥曲线为双曲线；当时，为椭圆；当时，为抛物线 7直线与圆锥曲线交点 直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到8、基础自测1(2011·山东潍坊)已知圆x2y24，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程

4、为()A(x1)2y24(1x<) B(x1)2y24(0x<1)C(x2)2y24(1x<) D(x2)2y24(0x<1)答案D 解析由圆的几何性质知，BC的中点到A与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x2)2y24，又中点在圆内，0x<1.2(2011·宝鸡)如图所示，PAB所在的平面与四边形ABCD所在的平面垂直，且AD，BC，AD6，BC12，AB9，APDCPB，则点P在平面内的轨迹是()A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 答案A 解析由条件可知，RtDAPRtCBP， ，故P点的轨迹是圆的一部分3F1、F2是

5、椭圆1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线4过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，这样的直线条数为()A1 B2 C3 D4答案 C 解析若与双曲线右支交于两点A，B，则|AB|4(通径)，此时弦长为4的弦有一条；若与左右两支各有一交点A、B，则|AB|2(实轴长)，此时弦长为4的弦有两条共3条5如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x2上，则弦AB的长为_答案2 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、则AB的中点M，由y128x1，和y228x2相减得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，kPMkAB，kAB 令y1y22b，则有b22b80，b4或b2，于是M(2,4)或M(2，2)M(2,4)在抛物线上(舍去)M的坐标为(2，2)，从而kAB2.AB：y2x2，将其代入抛物线方程得x24x10.|AB|2.6两动直线l1、l2分别经过O(0,0)和A(0,2)，且方向向量分别为(1，)和(，1)，则它们交点的轨迹方程是_ 答案x2y22x0 解析当0时，l1与l2的交点为(0,0)；当0时，kl1，kl2，l1：yx，l2：y2x，l1与l2的方程相乘可得：x2y22y0.(当0时也

7、适合此式)综上可得交点的轨迹方程为x2y22y0.(当0时，也适合此式)7已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程解析设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得，即，C(x1，y1)在曲线y3x21上， 3y23(3x2)21，化简得y(3x2)219x212x3，故ABC的重心的轨迹方程为y9x212x3.题型分析例1(2009·安徽)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F

8、2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解析(1)由e，得.又由原点到直线yx2的距离等于圆的半径，得b，a.(2)解法1：由c1得F1(1,0)，F2(1,0)，设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2， 化简得y24x. 此轨迹是抛物线解法2：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.跟踪练习：已知圆的方程为x2y24，动抛物线过点A(1,0)，B(1

9、,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_答案1解析设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0xy0y4(|x0|2)，以l为准线过A、B两点的抛物线焦点F(x，y)，A、B到l距离分别为d1、d2，根据抛物线的定义，|FA|FB|d1d2 4>|AB|，F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，c1，b23，方程为1.例2(2011·青岛一中期中)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.(1)求动点M(x1，x2)的轨迹C

10、的方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点A、B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围 解析(1)由已知得直线l1l2，l1：yx，l2：yx，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，y1x1，y2x2，由|PQ|2，得(x12y12)(x22y22)4，即x124x224x221，动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为y21.(2)直线l的方程为ykx2，将其代入y21，化简得(13k2)x212kx90，设A(x3，y3)、B(x4，y4)，(12k)236×(13k2)>0k2>1，且x3x4，x3

11、x4，AOB为锐角，·>0，即x3x4y3y4>0x3x4(kx32)(kx42)>0，(1k2)x3x42k(x3x4)4>0.将x3x4，x3x4代入上式，化简得>0k2<.由k2>1且k2<，得k(，1)(1，)跟踪练习：已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0，y0)，记为与的夹角，求tan.解析(1)设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，(2,0)，·2(1x)，·x2y21，&#

12、183;2(1x)，由题意，即，所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)(2)点P的坐标为(x0，y0)，而·x02y0212.又|·|×2.所以cos， 0<x0，<cos1，0<，sin，故tan|y0|.例3如右图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程解析设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2xx1,2yy1)点N在直线xy2上， 2xx12yy12，又PQ垂直于直线xy2， 1.即xyy1x10.由、联立，解得又Q在双曲线x2y21上，

13、x12y121，即(xy1)2(xy1)21整理得2x22y22x2y10，这就是所求动点P的轨迹方程跟踪练习： M是抛物线y2x上一动点，O为坐标原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程分析设M(x0，y0)，即x0y02，设P(x，y)，用x，y表示x0，y0或者直接消掉y0.解析依题意，设P(x，y)，M(y02，y0)四边形MNPO为正方形，|OM|OP|且OPOM.，由消去y0，化简得y2x4，动点P的轨迹方程为x2±y(y0)例4(2010·天津文)已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设

14、直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(a,0)若|AB|，求直线l的倾斜角；若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·4.求y0的值解析本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想(1) 由e，得3a24c2，再由c2a2b2，解得a2b.由题意可得×2a×2b4，即ab2. 解方程组，得a2，b1. 椭圆的方程为y21.(2)由(1)知，点A的坐标为(2,0)设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)A

15、，B两点的坐标满足方程组，消去y整理得，(14k2)x216k2x(16k24)0.由韦达定理得，2x1，x1，从而y1，|AB|，由|AB|，得，整理得32k49k2230，即(k21)(32k223)0，解得k±1.直线l的倾斜角为或.设线段AB的中点为M，由得M的坐标为.1°当k0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，(2，y0)，(2，y0)，由·4得，4y024y0±2.2°由k0时，线段AB的垂直平分线方程为y，令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，·2x1y0(y1y0)4.整理得7k2

16、2，k±，y0±，综上所述，y0±2或±.跟踪练习：(北京)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当ABC60°时，求菱形ABCD面积的最大值解析(1)由题意得直线BD的方程为yx1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为yxn.由，得4x26nx3n240.因为A、C在椭圆上，所以12n264>0，解得<n<.设A、C两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1x1n，y2

17、x2n，所以y1y2.所以AC的中点坐标为(，)由四边形ABCD为菱形可知，点(，)在直线yx1上，所以1，解得n2.所以直线AC的方程为yx2，即xy20.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC60°，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD的面积S|AC|2.由(1)可得|AC|2(x1x2)2(y1y2)2，所以S(3n216)(<n<)所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.例5已知椭圆1上的两个动点P，Q及定点M，F是椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B

18、，求|PB|的最小值及相应的P点坐标分析(1)由|PF|，|MF|，|QF|成等差数列可得PQ的中点横坐标，引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值解析(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由条件可知a2，b，c，e.由椭圆的焦半径公式得|PF|2x1，|QF|2x2，|MF|2.(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A.当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.(2)由于点B与点A关于原点O对称，故点B.2x12，2x22，x12x20,2，|PB|22y12(x11)

19、2，当点P的坐标为(0，±)时，|PB|min.跟踪练习：在例题条件不变的情况下，若0，求|PB|的最大值及相应的P点坐标解析0，B点坐标为.|PB|，2x12，当x12时，|PB|max，此时，P点坐标为(2,0)1常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆(4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数(定点不在定直线上)的点的轨迹是圆锥曲线当常数大于1时，表示双曲线；当常数等于1时，表示抛物线；当常数大于0而小

20、于1时，表示椭圆定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线2求轨迹的常用方法(1)直译法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x、y的等式得到轨迹方程，这种方法称之为直译法. 用直译法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、证明六个步骤，但最后的证明可以省略. (2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程. (3)代入法：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x，y)的运

21、动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x、y用x、y表示，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法. (4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程(5)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程3轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应

22、指出方程所表示的曲线的类型有时候，问题仅要求指出轨迹的形状如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程4直线与圆锥曲线相交弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时，通常作如下变形|x2x1|，|y2y1|，使用韦达定理即解决(2)当斜率k不存在时，直线为xm的形式，可直接代入求出交点纵坐标y1、y2得弦长|y1y2|.(3)经过圆锥曲线焦点的弦(也称焦点弦)的长度应用圆锥曲线的定义转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公

23、式简捷5二次曲线求最值的方法(1)代数法：归结为求函数的最值问题，利用“配方法、判别式法、不等式法”等代数方法求解(2)几何法：利用二次曲线的几何性质结合图形性质求解当堂练习一、选择题1(2010·山东文)已知抛物线y22px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案B解析本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点(，)，2，得y12y222p(x1x2)，kAB1p2，y24x，准线方程式为：x1，故选B.2过点(0，)的直线l与抛物

24、线yx2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为()A B C4 D无法确定答案B 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程ykx，代入抛物线方程得2x22kx10，·x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)(k21)k(k).3已知动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆圆心的轨迹方程为()Ax2y21 Bx2y21 Cy24x Dx0答案C 解析动点到(1,0)和直线x1的距离相等，所以其轨迹方程为y24x.4已知动点P(x，y)满足10|3x4y|，则P点的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D两相交直线答案A

25、解析条件化为2，即为点P(x，y)到定点F(1,2)的距离与到定直线l3x4y0的距离之比为，又点F不在直线l上，故根据椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆5直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切 C相离 D不确定答案A 解析直线yk(x1)1过椭圆内定点(1,1)，故直线与椭圆相交6已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D4答案C 解析根据题意设椭圆方程为1(b>0)，则将xy4代入椭圆方程得，4(b21)y28b2yb412b20，椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，(8b2)24×

26、;4(b21)(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23， 长轴长为22，故选C.7已知双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2 B(1,2) C2，) D(2，) 答案C解析渐近线l1：yx与过焦点F的直线l平行，或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支交于一个点，即c2a2b24a2，e2，故选C.8(2010·重庆理)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A直线 B椭圆

27、 C抛物线 D双曲线 答案D解析如图所示，设两异面直线为m，n过n上任一点O，作m的平行线m，设m与n确定的平面为，以O为原点，m，n分别为x轴，y轴建立坐标系，设与两异面直线距离相等的点为M(x，y)，令m到平面的距离为d，由题意|x|2d2|y|2即y2x2d2故轨迹为双曲线二、填空题9已知BC是圆x2y225的动弦，且|BC|6，则BC的中点的轨迹方程是_答案x2y216解析设BC中点为P(x，y)，则OPBC，|OC|5，|PC|3，|OP|4，x2y216.10点P在以F1、F2为焦点的椭圆1上运动，则PF1F2的重心G的轨迹方程是答案1(x0) 解析F1(0，1)、F2(0,1)，

28、设P(x0，y0)，G(x，y)，G为PF1F2的重心，代入1中得1构成三角形时，三点P、F1、F2不共线，x0.11过点P(8,1)的直线与双曲线x24y24相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为_答案2xy150 解析解法1：经分析知k一定存在，设直线方程为y1k(x8), yk(x8)1，代入x24y24中，整理得(14k2)x2(64k28k)x256k264k80.x1x216，即2，k2，所求方程为2xy150.解法2：设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)则x124y124，(1) x224y224，(2)(1)(2)得(x1x2)(x1x2)4(y

29、1y2)(y1y2)0，P是线段AB的中点，x1x216，y1y22，2.直线AB的斜率为2，直线AB的方程为2xy150.点评用“点差法”解决圆锥曲线中点弦等有关问题较为方便，注意进行总结三、解答题12(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0(1)设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹；(2)设x12，x2，求点T的坐标解析本主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算

30、求解能力和探究问题的能力由题设得A(3,0)，B(3,0)，F(2,0)(1)设点P(x，y)，则PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所点P的轨迹为直线x.(2)由x12，1及y1>0，得y1，则点M(2，)，从而直线AM的方程为yx1；由x2，1，及y2<0，得y2，则点N(，)，从而直线BN的方程为yx.由解得所以点T的坐标为(7，)13(2009·广东文)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程； (2)求AkF1F2的面积； (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由解析考查椭圆的定义与标准方程、圆的一般方程、椭圆与圆的位置关系及运算能力、分析解决问题的能力(1)设椭圆G的方程为：1(a>b>0)