2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测(理科数学A卷)

1、理科数学 A 卷第1页共 7 页、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|ln x :：: 0, B二x|x：0，则A.A B B.AnB=x|x：0C.AU B = RD.AUB=X|X1m 3i2. 设R,则“m空0”是“复数z =在复平面内对应的点在第二象限”的iA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，则输出k的值为A.4B.5C.6D.74. 若C.x-32)n(N*)展开式的二项式系数和勺x为 32,则其展开式的常数项为A.

2、80B.-80C.160D.-1605.已知汇一255,航均为锐角，则角等于6.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A.二 B.7.设等差数列 an 的前 n 项和为 S，若 S30,S4取最大值时 n 的值为A.5二12B.C.D.C.3:k = 9,s = t-Jt-iD.理科数学 A 卷第2页共 7 页A.6B.7C.8D.138.设函数f (x)满足f (1 x) = f (1 - x)，且f (x)是1,:)上的增函数，则理科数学 A 卷第3页共 7 页2 2 1a 二 f(0.63),b=f(0.73), c 二 f (0.73)的大小关系是A.

3、a b cB .b a cC .a c bD .c b a9.函数f (x) =2sin(2x)(0：二)的图像向左平移“g(x)的图像若g(x)的图像关于直线x蔦对称则g(x)在上的最小值是10. 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为 矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵 ABC - AEG 中，AC _ BC，左、右焦点，若E上存在一点P使得| PF1PF2h b，则E的离心率的取值范围是D. (1,、5x -x2,0 兰 x c 2,12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足 f(

4、x)二2_x若函,xX2,e数 F(x)二 f(x) -m 有六个零点，则实数 m 的取值范围是1 1 11 1 1A.(- 3，丿 B.(- 3,0)(0,/) C.(- 3,D.(- 3,0)e 4e4ee-个单位后A. -1B.C.-2D.若 A,A=AB=2，当堑堵 ABC-ABG 的侧面积最大时,阳马 B-AACG的体积为A.B.C.4D.11.已知 RE 分别是双曲线 E :x2=1 (a 0,b 0)的4.33理科数学 A 卷第4页共 7 页x y _1 _0,14. 设变量x, y满足约束条件x-y 1 _ 0,则z =的取值范围是_ .x + 23x - y - 3 _ 0,

5、15. 抛物线 y2= 2px( p 0)的焦点为F，直线y = 2与y轴的交点为M，与抛物线的交点为N，且4|NF |=5| MN |，则p的值为 .16. 在平面四边形ABCD中，AB _ AC,AD _ CD,AB =3, AC =8,则BD的最大值为三、解答题：共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22， 23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题 60 分17. （12 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且(1 an)2=4Sn4,等比数列bn的首项为 1，公比为q(q)，且 3bi,2b2,b3

6、成等差数列.(1) 求an的通项公式；、填空题：本大题共13.已知向量 a,b，若Ta4 小题，每小题 5 分，共 20 分。=1,b= 2, a + b= J3，贝 U |a-b|=理科数学 A 卷第5页共 7 页求数列anbn的前 n 项和 Tn.理科数学 A 卷第6页共 7 页18. （12 分）如图，三棱柱 ABC-ABQ!的侧面 AABB 是菱形，平面 AAGC 丄平面AABB，直线AB与平面 AAGC 所成角为3,AC 丄*臥=2心2,O为AA的中点.求证：OC_BG；求二面角 O - BC - B!的余弦值.19. （12 分）某企业有A, B两个分厂生产某种产品， 规定该产品的

7、某项质量指标值不低 于130的为优质品.分别从 A，B 两厂中各随机抽取 100 件产品统计其质量 指标值，得到如下频率分布直方图：理科数学 A 卷第7页共 7 页(1) 根据频率分布直方图，分别求出 A 分厂的质量指标值的众数和中位数的 估计值；(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%勺把握认为这两个分厂 的产品质量有差异？(3)(i)从 B 分厂所抽取的 100 件产品中，依据产品是否为优质品，采用分 层抽样的方法抽取 10 件产品，再从这 10 件产品中随机抽取 2 件, 已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质 品的概率;(ii)将频率视为概率，从 B

8、分厂中随机抽取 10 件该产品，记抽到优质 品的件数为 X,求 X 的数学期望.20.(12 分)在平面直角坐标系xOy中，圆 0:x2 y2=4,片(-、3,0),F2C3,0),P 为平面内P理工k)0.1000.0500.0250.0100. 001k2.7Q63.841& 63510.3282附：K2=n(ad -be)_(a b)(e d)(a e)(b d)忧质品AB台计非优费品合计1B頻串/组距A理科数学 A 卷第8页共 7 页一动点，若以线段 PF2为直径的圆与圆O相切.证明PFi PF2|为定值,并写出点P的轨迹方程；设点P的轨迹为曲线C,直线I过Fi交C于代B两点,

9、过Fi且与丨垂直的 直线与C交于M ,N两点,求四边形AMBN面积的取值范围.21. ( 12 分)已知函数p(xlnx,q(x ax (1 a2)x.x2(1)讨论函数f(x)二q(x) ax p(x)的单调性；是否存在k Z，使得kx p（x） 2对任意x 0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做则按所做第一题计分理科数学 A 卷第9页共 7 页22. 选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分）理科数学 A 卷第10页共 7 页x = t,y = _1、3t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的

10、非负半轴为极轴，建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为cos2v - 4cos J -0.(1)求曲线 G 的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；若曲线Ci与C2相交于A,B两点，求11的值|PA|PB|23. 选修 4-5:不等式选讲(10 分)已知函数f(x)=|x+2|+|x-a|(a2),不等式f(x)X7的解集为(-：,；U4,：).(1)求a的值；若f (x) _x m,求m的取值范围.2018 年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A 卷)理科数学参考答案及评分细则评分说明：1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应

11、的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该 部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再 给分。3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。在直角坐标系xOy中,曲线Ci过点P(0, 1)，其参数方程为丿理科数学 A 卷第11页共 7 页4 只给整数分数选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。（1）A（2）B（ 3）C（4）B（ 5）C（ 6）C（7）B（ 8）A（ 9）D（ 10）A（

12、11）C（ 12）D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。3（13） .、7 （ 14）0,（ 15）1 （ 16）94三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。17.本小题主要考查利用 an与 Sn的递推关系求数列的通项公式以及错位相减法 求和,考查运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想等.满分 12 分. 解：（1）当n =1时，a2* 2a仁 4S,4a14 ,即 a12-2 印-3） 1）-0,因为 an0，所以 C=3, . 1 分当n_2时，a； 2an-a；-2an. =4Sn-4Sn_!

13、, .2分即（4 an（an-an）=2（anan），. 3 分因为 an0，所以 an-an=2，所以数列an是首项为 3,公差为 2 的等差数列，. 4 分所以 aa1（n -1）3 2（n -1） =2n 1,. 5 分因为数列bn首项为 1,公比为q的等比数列，3b1,2b2,b3成等差数列所以 4b2二旳 b3，即 43 q2,所以（q -3）（q -1） =0,又因为q =1，所以q=3,. 6 分所以0 =bq2 =3心，.7分理科数学 A 卷第12页共 7 页则 anbn=（2n 1） 3n4,理科数学 A 卷第13页共 7 页XTn= aib)a2b 亠亠 anbn= 3 3

14、5 31亠 亠(2n 1)3n J,. 则 3Tn=3 315 32(2n1) 3nJ- (2n 1) 3n,由-得 一 2=3 2& 32Wn)-(2n 1) 3n,. 9 分=3 233-(2n 1) 3n=(-2n) 3n,. 11 分31所以 Tn= n 3n.18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程 思想、化归与转化思想、数形结合思想等满分12 分.解：(1)如图所示，连接 0G , AB,在矩形 AAGC 中，AA=2AC = 2,O为 AA的中点,所以 OC_OG,又因为平面

15、 AAGC 丄平面AAB.B，所以直线 AB 在平面 AAGC 上的射影是直线 AA所以直线AB与平面 AAGC 所成角为.BAA，因为直线AB与平面AAGC所成角为,31即BAA,二一，.2 分3所以.IAAB 为正三角形，又 O 为AA的中点,又平面 AAGC 丄平面 AA,B.|B，平面 AAGC 口平面 AA)B|B =AA,OBU 平面 AA1B1B，所以OB丄平面 AAGC,4 分 又OCU平面 AAGC，所以OB丄OC，且 OBOG =O,12 分理科数学 A 卷第14页共 7 页所以OC_平面 BOG,. 5 分又因为 BCi平面 BOCi,所以 OC_BG. 6 分设E为 C

16、G 中点，贝 U 0E _ AA，所以OA,OB,OE两两互相垂直,以O为原点，分别以 OA,OB,OE 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图,. 7 分则 C(1,0,1),Ci(1,0,1),B(0, . 3,0)，OC =(1,0,1),OB =(0, 一 3,0),CB =(-1,、.3,-1),CG =(-2,0,0),设平面OBC的一个法向量为 m =(x, y,z)，则*匕OB -0,n1OC = 0,即令x =1，得 口 =(1,0,-1),同理可求平面 BCG 的一个法向量为应二(0,13),10 分1甲cos ；：n, n?吋口丨72*2411 分由

17、图知二面角 O-BC-B1为锐二面角,所以二面角 O-BC-B1的余弦值为. 12 分419.本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望 等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与 整合思想、或然与必然思想等满分12 分.解:(1)A 分厂的质量指标值的众数的估计值为1(110+120)=115.1 分2设 A 分厂的质量指标值的中位数的估计值为x，则0.18 0.23 (x -110) 0.030 =0.5解得x=113理科数学 A 卷第15页共 7 页理科数学 A 卷第16页共 7 页所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品

18、的1概率是;.9 分17(ii)用频率估计概率， 从B分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率 为0.20，所以随机变量 X 服从二项分布，即 XB(10,0.20)，10 分 则 E(x)=10 X0.20=2. . 12 分20. 本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线及圆 与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与 方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思 想等.满分12 分 解设 PF2的中点为G，连接 PR,OG，1优质品非比质品合计A595100B2080100合计251752002 X 2 列联表:由列

19、联表可知 K2的观测值为：22n(ad -be)K 二(a +b)(c+d)(a+c)(b+d)200 (5 80-95 20)2100 100 25 17572710.286 6.635所以有 99%勺把握认为两个分厂的产品质量有差异 . 6 分(i)依题意，B 厂的 100 个样本产品利用分层抽样的方法抽出 10 件产品中,优质品有 2 件，非优质品有 8 件，. 7 分设“从这 10 件产品中随机抽取 2 件，已知抽到一件产品是优质品”为事件M，“从这 10 件产品中随机抽取 2 件，抽取的两件产品都是优质品”为C2事件N,则 P(N|M) =C2.花117理科数学 A 卷第17页共 7

20、 页在 PF1F2中，O,G分别为RF2,PF2的中点，所以|OG |PF2111又圆O与动圆相切，则| OG| = 2-IPF2I，所以一|PF1| = 2-|PF2|,1 分22 2理科数学 A 卷第18页共 7 页即 IPFi| IPF2&4 为定值, |PFi| |PF24 |FIF2| =2_3,所以点P的轨迹是以 FI,F2为焦点的椭圆,2则 a=2,c3，b=1,所以点P的轨迹方程为沪=1.4分(2)(法一)当直线I的斜率不存在时，11不妨设A(3,),B(-、3,-)，M(2,0), N(-2,0)，则|AB|=1,|MN | = 4，221四边形 AMB 面积S= |

21、AB | MN| =2;22当直线I的斜率为 0 时,同理可得四边形 AMB!面积S=2; . 5 分3当直线l的斜率存在且不为 0 时，可设直线l的方程为 y 二 k(x ,3),设 A(x1,y1), B(x2,y2),联立yk(x?3),得(1 4k2)x28 .3k2x 12k2-4 = 0, . 6 分ix 4y -4=0,四边形 AMB 面积 -| AB| |MN |=设椭圆方程为2 2x_丄a1 2b2= 1(a b 0),-8 总彳x1 x2一1 4k2 ,x1x212k2-41 4k| AB|= 1 k2|捲X2|= 1 k2，(x1x2)24x24(k21)21 4k2理科

22、数学 A 卷第19页共 7 页124(-丿2+1) 同理|MN卜k 4(-卄 k4(k2+1).k24,8(k21)2(k24)(4k21)，理科数学 A 卷第20页共 7 页设k21二t 1,所以S 2； . 11 分2532综上所述，四边形AMBN面积的取值范围是3,2. . 12 分251一1(法二)当AB_x轴时，不妨设A(-.3,?), B(i.3,-?)，则|AB|=1,|MN|=4,1四边形 AMBI 面积S = -| AB|MN | = 2,22当AB_y轴时,同理可得四边形 AMBI 面积S = 2. .5 分3当直线AB不垂直坐标轴时,设AB方程为 x = my - 3(m

23、 0), A(xyj, B(x2,y), 联立卜？my3得(m2+4)y2-273my-1= 0 ,+4y _4=0m2二, y2二2-,.则S(t)二8t28t2(t 3) 4t一3一4严9t一99 9t2t1(- (0,1)10 分24(m1)m24同理|MN纵)2勺/血 1)(一丄)244m211四边形8(m21)2(m24)(4m21)设m21二t 1,理科数学 A 卷第21页共 7 页m +4m +4|AB|= .1 m21%-丫2卜1m2(力y?)2yy理科数学 A 卷第22页共 7 页所以差2;32综上所述,四边形AMBN面积的取值范围是艺,2.2521. 本小题主要考查函数的性

24、质及导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分 类与整合思想等满分 12 分.1解:(1)由已知得f(x)=q(x)ax p(x)ax2一(1 a2)x aln x,2f(x)的定义域为(0,：),则f (x)二ax-(1 a2)a=(ax1)(xa)xx 1当a5时，xa 0, 0,ax-：0所以f(x)：0,x所以函数f(x)在(0,上单调递减;1当a 0时，令f(x) =0得x=或 x=a,a所以函数f(x)在(0, V)上单调递增；. 4 分11.(ii)当0 a，即a. 1 时，在(0, -)和(a：)上函数f (x)

25、0，a a8 1则S(t)2(0,1),(t+3)(4t3) 4t2+9t9_2 + 9+4 tt2t8t28t210 分11 分12 分(i)1当a(a 0)，a即a =1时,所以f (x) =(x一1)_0(x0)xaaa单调递减，在(a, ：)上单调递增；. 5 分理科数学 A 卷第23页共 7 页g(x)max-g(1)=2，所以2Eg(x。)：20911 分11(iii) 当0：a，即0：a；：1时，在(0,a)和(,；)上函数aa1在(a,)上函数f (x) 0,a1所以函数f (x)在(0, a)上单调递增,在(a,-)上单调递减,a1 在(，=：)上单调递增.a若kx . p(x) 2对任意x 0恒成立，则k上,x x记g(x)二辱？，只需 k g(X)max.x x1 - 2ln x 21 - 2x - 2ln x乂g (x)323x xx2记h(x) =1 -2x _2ln x，则h (x) - -20，x所以h(x)在(0, ：)上单调递减.又h(1)j0，口一2-2ln4=ln9n0所以存在唯一x (-,1),使得 h(x0 0，即 1 -2x0-2Inx = 0，4当x 0时，h(x), g(x),g(x)的变化情况如下：X(0,X0)X(心址)h(x)+0一g(x)+0一g(x)/极大值所以 g(x)max=g(x) =2x 2nx0，X。