高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法学案 新人教A版选修22

1、2.2.2反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重点、难点) 自 主 预 习·探 新 知反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？提示反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？提示反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理基础自测1思考辨析(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题()(3)反证法的实质是否定结论推出矛盾()

2、答案(1)(2)×(3)2“a<b”的反面应是()aabba>bcab dab或a>b答案d3用反证法证明“如果ab，那么”，假设的内容应是_. 【导学号：31062152】答案4应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有_(填序号)结论的反设；已知条件；定义、公理、定理等；原结论解析反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果答案 合 作 探 究·攻 重 难用反证法证明否定性命题已知三个正数a

3、，b，c成等比数列，但不成等差数列求证：，不成等差数列证明假设，成等差数列，则2，即ac24b.a，b，c成等比数列，b2ac，即b，ac24，()20，即.从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列规律方法1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1设sa、sb是圆锥so的两条母线，o是底面圆心，c是sb上一点，求证：ac与平面sob不垂直证明假设ac平面sob，如图，直线so在平面sob内，soac.so底面圆o，soa

4、b.so平面sab.平面sab底面圆o.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即ac与平面sob不垂直用反证法证明唯一性命题求证方程2x3有且只有一个根. 【导学号：31062153】证明2x3，xlog23，这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的：假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21.若b1b2>0，则2 b1b2>1，这与2 b1b21相矛盾若b1b2<0，则2 b1b2<1，这也与2 b1b21相矛盾b1b20，则b1b2.假设不成立，从而原命题得证规律方法巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明

5、结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.跟踪训练2求证：两条相交直线有且只有一个交点证明假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点a和b，这样同时经过点a，b就有两条直线，这与“经

6、过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点用反证法证明“至多”“至少”问题探究问题1你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？提示：量词含义至少有一个有n个，其中n1至多有一个有0或1个至少有n个大于等于n个 2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？提示：量词反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有n个至多有n1个已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解. 【导学号：31062154】证明假设三个方程都没有实根，则三个方程

7、中：它们的判别式都小于0，即：a1，这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？解若方程没有一个有实根，则解得即a1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是.2(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围解假设三个方程都有实数根，则即解得即a.所以实数a的取值范围为实数r.规律方法当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反

8、证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误. 当 堂 达 标·固 双 基1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是() 【导学号：31062155】a有两个内角是钝角b有三个内角是钝角c至少有两个内角是钝角d没有一个内角是钝角c“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选c.2如果两个实数之和为正数，则这两个数()a一个是正数，一个是负数b两个都是正数c至少有一个正数d两个都是负数c假设两个数分别为x1、x2，且x10，x20，则x1x20，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实

9、数至少有一个正数，故应选c.3已知平面平面直线a，直线b，直线c，baa，ca，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设_解析空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，应假设b与c平行或相交答案b与c平行或相交4用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：abc90°90°c>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则ab90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设a、b、c中有两个角是直角，不妨设ab90°.正确顺序的序号排列为_. 【导学号：31062156】解析根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论答案5. 设数列an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和求证：数列sn不是等比数列证明假设数列sn是等比数列，则ss1s3，即a(1q)2a1·a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21q