人教版九年级下册数学《用函数观点看一元二次方程》习题课学案

1、26.2 用函数观点看一元二次方程（2）基础探究1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:(1)a=_,c=_.y(2) 函数图象的对称轴是 _, 顶点坐标 P_.(3) 该函数有最 _ 值,当 x=_ 时 ,y 最值 =_.(4) 当 x_ 时,y 随 x 的增大而减小 .14当 x_ 时,y 随 x 的增大而增大 .(5) 抛物线与 x 轴交点坐标 A_,B_; 与 y 轴交点 C 的坐标为 _;O ABxS ABC =_, S ABP =_.(6) 当 y0 时 ,x 的取值范围是 _; 当 y0?3.请画出适当的函数图象,求方程 x2= 1 x+3

2、 的解 .2124.若二次函数 y=-x +bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0).2(1) 求这个二次函数的关系式 ;(2) 如果要通过适当的平移 ,使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点 ,那么应该怎样平移 ?向右还是向左 ?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上 , 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系 .速度 V(km/h)48648096112刹车距离 s(m)22.53652.57294.5(1)请你以汽车刹车时的车速 V 为自变量 ,刹车距离 s 为函数 , 在图所示的坐标系中描点连线 ,画出函数

3、的图象 ;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么 ?(3) 若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对 ,求出它的函数关系式 ;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.s(m)15010050O50100 150v(km/h)能力提升6.如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=3,AD=2, 将此矩形置入直角坐标系中,使 AB 在 x 轴上 ,点 C在直线 y=x-2 上 .(1) 求矩形各顶点坐标 ;(2) 若直线 y=x-2 与 y 轴交于点 E,抛物线过 E、 A 、 B 三点 ,求抛物线的关系式 ;(3) 判断上述抛物线的顶点是否落在矩形AB

4、CD 内部 ,并说明理由 .yDCOABxE57.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6) 两点 ,对称轴是x=.3(1) 求这条抛物线的关系式 .(2) 证明 : 这条抛物线与 x 轴的两个交点中 ,必存在点 C,使得对 x 轴上任意点 D 都有AC+BC AD+BD.8.如图所示 ,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮 ,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时 ,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为 3.05m.(1) 建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2) 若该运动员身高 1.8m,这次跳投时 ,球在他头顶

5、上方 0.25m 处出手 .问 :球出手时 ,他跳离地面多高 ?y3.05m2.5m Ox4m9.某工厂生产A 产品 x 吨所需费用为P 元 ,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元 , 已知P= 1 x2+5x+1000,Q=-x +45.1030(1) 该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W( 元 )关于 x( 吨)的函数关系式 ;(2) 当生产多少吨这种产品 , 并全部售出时 ,获利最多 ?这时获利多少元 ? 这时每吨的价格又是多少元 ?10.已知抛物线y=2x 2 -kx-1 与 x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求 k 的取值范围 .11.如图 ,在 Rt AB

6、C 中 ,ACB=90,BCAC, 以斜边 AB所在直线为x 轴 ,以斜边 AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系 ,若 OA 2+OB 2= 17,且线段 OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根 .(1)求 C 点的坐标 ;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过 A 、 B、 E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P,使 ABP 与 ABC 全等 ?若存在 ,求出符合条件的P 点的坐标 ;若不存在 ,说明理由 .yCAOBxEE综合探究2b4ac b212.已知抛物线 L;y=ax +bx+

7、c( 其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是2a,4a与 y 轴的交点是 M(0,c) 我们称以 M 为顶点 ,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线 ,直线 PM 为 L 的伴随直线 .(1)请直接写出抛物线y=2x 2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_伴随直线的关系式 _(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x 2-3 和 y=-x-3,则这条抛物线的关系是 _:(3)求抛物线 L:y=ax 2+bx+c( 其中 a、b、c 都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L 与 x 轴交于

8、A(x 1,0),B(x 2,0)两点 x2x 10,它的伴随抛物线与x 轴交于 C,D两点 ,且 AB=CD, 请求出 a、 b、 c 应满足的条件 .13 已知抛物线 y=mx 2 -(m+5)x+5.(1)求证 :它的图象与 x 轴必有交点 ,且过 x 轴上一定点 ;(2)这条抛物线与 x 轴交于两点A(x 1,0),B(x 2,0),且 0x1x 2,过 (1)中定点的直线 L;y=x+k交 y 轴于点D,且 AB=4, 圆心在直线L 上的 M 为 A 、 B 两点 ,求抛物线和直线的关系式,弦 AB 与弧 AB 围成的弓形面积.答案：1.(1)a=1;c=455959(2) 直线 x

9、=,(3)小 ;22424(4)5;5(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6;27; (6)x4;1x;2.(1) 由表知 ,当 x=0 时222,ax +bx+c=3; 当 x=1 时 ,ax =1;当 x=2时 ,ax +bx+c=3.c3a1y x=1 a1, b2 ,4a2bc3c3321O12x a=1,b=-2,c=3, 空格内分别应填入 0,4,2.2213=-80.3.:在同一坐标系中如答图所示 ,y画出函数 y=x 2 的图象 ,画出函数 y= 1x+3的图象 ,A3B2这两个图象的交点为A,B, 交点 A,B 的横坐标3和 2x2O262 1就是方程 x = x+3

10、 的解 .24.:(1) y=1x2+bx+c, 把 A(-5,0),B(-1,0) 代入上式 ,得21(5)2b5c0a 32,5 ,1(1)2b(1)c0b22 y=1x23x5.22(2) y=1x23x5=1( x3)22222顶点坐标为 (-3,2),欲使函数的图象与x 轴只有一个交点 ,应向下平移2个单位 .5.:(1) 函数的图象如答图所示 .(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数.2(3)设所求函数关系式为:s=av +bv+c,把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入 s=av2+bv+c,3482 a48bc22.5a512得

11、 642 a64bc36, 解得 b3.962 a96bc7216c0 s3v23v51216(4)当 v=80 时 ,3 v23 v380238052.55121651216 s=52.5, s3v23v51216当 v=112 时 ,3v23v31122311294.55121651216 s=94.5, s3v23v51216经检验 ,所得结论是正确的.6.:(1) 如答图所示 . y=x-2,AD=BC=2, 设 C 点坐标为 (m,2), 把 C(m,2) 代入 y=x-2,2=m-2. m=4. C(4,2), OB=4,AB=3. OA=4-3=1, A(1,0),B(4,0),

12、C(4,2),D(1,2).(2) y=x-2, 令 x=0, 得 y=-2, E(0,-2).设经过 E(0,-2),A(1,0),B(4,0)三点的抛物线关系式为 y=ax 2+bx+c,1ac225 ab c0, 解得 b16a4bc02c2 y=1x25x 2 .22(3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部 . y=1x25x 2 , 顶点为5 , 9.2228 1559在矩形 ABCD 内部 .24, 顶点,287.(1) 解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, A(0,3),B(4,6), 对称轴是直线5x= .3a98c315 16a4bc6 ,解得 b4b5c32a3

13、y=9x215x3 .84(2)证明 :令 y=0,得9 x215 x3=0, x4 , x 284132 A(0,3), 取 A 点关于 x 轴的对称点E,E(0,-3).设直线 BE 的关系式为y=kx-3, 把 B(4,6) 代入上式 ,得 6=4k-3, k= 9 , y= 9 x-3 .44由9x-3=0, 得 x=4.43故 C 为4,0 ,C 点与抛物线在x 轴上的一个交点重合 ,3在 x 轴上任取一点 D,在 BED 中 ,BE BD+DE.又 BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD, AC+BCAD+BD.若 D 与 C 重合 ,则 AC+BC=AD+BD. AC+BCAD

14、+BD.8:(1) 图中各点字母表示如答图所示. OA=2.5,AB=4, OB=4-2.5=1.5.点 D 坐标为 (1.5,3.05).抛物线顶点坐标(0,3.5),设所求抛物线的关系式为y=ax 2+3.5,把 D(1.5, 3.05) 代入上式 ,得 3.05=a 1.52 +3.5,A a=-0.2,y=-0.2x 2+3.5(2) OA=2.5, 设 C 点坐标为 (2.5,m),2得 m=- 0.2 2.52+3.5=2.25.该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1) P= 1 x2+5x+1000,Q=-x +4

15、5.2.5m4myD3.05mOBx1030 W=Qx-P=(-x+45)-(1x2+5x+1000)=2 x240x 100 .301015(2) W=2 x240 x22+2000.100 =- (x-150)15152 - 0,无论 k 为何实数 , 抛物线 y=2x 2 -kx-1 与 x 轴恒有两个交点.设 y=2x 2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定 x1 2, x1-20. (x1-2)(x 2 -2)0, x1x2-2(x 1+x 2)+4 .2227 k 的取值范围为k.2法二 :抛物线y=2x 2-kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于此函数的

16、图象大致位置如答图所示.由图象知 :当 x=2 时,y0.2O x2 x2,另一个小于2,即 y=2 22-2k-17. k的取值范围为 k7.2211:(1) 线段 OA,OB 的长度是关于 x 的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根 ,OA OBm(1)2(m3)(2)OA OB22 (OA+OB)2又 OA +OB =17,-2 OA OB=17. 22把 ,代入 ,得 m -4(m-3) =17, m -4m-5=0. 解之 ,得 m=-1 或 m=5.当 m=5 时 ,得方程 :x2 -5x+4=0, 解之 ,得 x=1 或 x=4. BCAC, OBOA, OA=1,

17、OB=4,在 RtABC 中, ACB=90 ,CO AB, OC2=OA OB=14=4. OC=2, C(0,2)(2) OA=1,OB=4,C,E 两点关于 x 轴对称 , A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过 A,B,E 三点的抛物线的关系式为a12a bc03y=ax 2+bx+c, 则 16a4bc 0 ,解之 ,得 bc22c2所求抛物线关系式为 y=1x23x 2.22(3)存在 .点 E 是抛物线与圆的交点. RtACB Rt AEB, E(0,-2) 符合条件 .3圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.2这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.点 E

18、关于抛物线对称轴的对称点E也符合题意 .可求得 E (3,-2).抛物线上存在点P 符合题意 ,它们的坐标是(0,-2)和 (3,-2)212.(1)y=-2x +1,y=-2x+1.(2)y=x 2-2x-3(3)伴随抛物线的顶点是(0,c),设它的解析式为y=m(x-0) 2+c(m 0).设抛物线过 Pb , 4ac b2,2a4a4acb2b2cm2a4a解得 m=-a, 伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c.设伴随直线关系式为y=kx+c(k 0). Pb , 4ac b2在此直线上 , 4ac b2kbc , k= b .2a4a4a2a2伴随直线关系式为y= b x+c2(4)抛物线L 与 x 轴有两交点 , 1=b2-4ac0, b2x 10, x1+ x 2= - b 0,x 1x2= c 0, ab0.aa对于伴随抛物线 y=-ax 2+c,有 2=02-(-4ac)=4ac0. 由 -ax2+c=0,得 x=c .a Cc ,0,Dc ,0 , CD=2c .aaab2cb24ac .又 AB=x 2-x1=( x1x2 )2( x1 x2 ) 24x1 x24aaa由 AB=CD, 得b24acc222=8ac,得 a,b,c=2,整理得 b =8ac,综合 b 4ac,ab0,baa满足的条件为 b2=8ac 且 ab0,