3_8064968_11.曲线直径.有心圆锥曲线的共性

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 613 中国 高考数学母题 (第 177 号 ) 曲线 直径 曲线的共性 类似圆 的直径 ,定义 过 有心圆锥曲线 中心的弦叫直径 ,有趣的是 有心圆锥曲线 的直径 具有 圆 的直径 :“ 若点 P、 A、 B 在圆 G 上 ,则 圆 G 的直径 1” 的 类似性质 ,由此可揭示有心圆锥曲线的 一个 共性 . 母题结构 :( )(直径 性质 ) 若点 P、 A、 B 在 椭 圆 G:222(ab0)上 ,则 椭 圆 G 的直径 22若点 P、 A、 B 在 双曲线 G:22(a0,b0)上 ,则 双曲线 2母题 解 析 :设 点 P(x0, A(x1, B(x2, 曲线 G: 上 ,中点为 T,则 ,两式相减得 :m(n(010 10 10 10 = 所以 , 的直径 . 子题类型 :(2011 年 湖北 高考试题 )平面内与两定点 a,0)、 A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数的 m 的点的轨迹 ,加上 可以是圆、椭圆、或双曲线 .( )求曲线 C 的方程 ,并讨论 C 的形状与 m 值的关系 ; ( )当 m= ,对应的曲线为 给定的 m () (0,+ ),对应的曲线为 2的两个焦点 在 ,使得 =|m|若存在 ,求 若不存在 ,请说明理由 . 解析 :( )设动点 P(x,y),由 mm22 曲线 C:22; 当 ,曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 ; ( )设 (,当 m () (0,+ )时 ,1(m ,0)、 F2(a 1m ,0) |2a 1m S=a 1m a|=|m|=1| 当1| 1,即 m (251,0) (0,251)时 ,存在点 N,使得 =|m|时 ,S=21 12 21m| 2; 当 m (251,0)时 ,; 当 m (0,251)时 ,2; 当1| ,即 m(51) (251,+ )时 ,不存在点 N,使得 =|m|点评 :已知 一动点与 两定点 连线的 斜 率 之 积 ,求 动点的 轨迹方程 或 离心率 ,是圆锥曲线直径性质的直接应用 , 同 类 试题 : 1.(2010年 北 京 高考试题 )在平面直角坐标系 点 ()关于原点 且直线 于 )求动点 P 的轨迹方程 ; ( )设直线 别与直线 x=3 交于点 M,N,问 :是否存在点 P,使得 面积相等？若存在 ,求出点 若不存在 ,说明理由 . 2.(2012 年 四川 高考试题 )如图 ,动点 M 与两定点 A()、 B(1,0)构成 直线 之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C.( )求轨迹 C 的方程 ; ( )设直线 y=x+m(m0)与 y 轴交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、 R,且 |)的两条直线 都只有一个交点 ,且 解析 :( )设 直线 2(x,y),由 2 ,0),2 ,0) 1 1x y,1 1x y 1 1x y21 1x y=21)= 2x y2x y= 22x+; ( )设 直线 l:y=kx+迹 E:22x+只有一个交点 (2)有等根 (4)(20 2=0;由 1 h=h= 3 . 点评 :易得 对偶圆锥曲线 :若椭圆222(ab0)的弦 1设直线 2,则 (ab0);若双曲线22(ab0)的弦 1设直线 2,则 M 点的轨迹为椭圆222(ab0). 同 类 试题 : 3.(2003 年上海 春招 试题 )设 2分别为 椭圆 C:222(ab0)的 左、右两个焦点 .( )若 椭圆 (1,23)到2两点的距 离 之和等于 4,写出 椭圆 程 ; ( )设点 )中所得椭圆上的动点 ,求线段 ( )已知椭圆具有性质 :若 M、 上关于原点对称的两个点 ,点 P 是椭圆上任意一点 ,当直线 斜率都存在 ,并记为 那么 位置无关的定值 ,试对双曲线22,写出 具有类似特性的性质 ,并加以证明 . 4.(2010 年 山东 高考试题 )如图 ,已知椭圆2222=1(ab0)的左、右焦点 ( 2 +1),一等轴双曲线的顶点时该椭圆的焦点 ,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点 、 、 D. ( )求椭圆和双曲线的标准方程 ; ( )设直线 明 :; ( )是否存在常数 ,使得 | |成立？若存在 ,求 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 用 子题类型 :(2012 年 湖北 高考试题 )设 x2+ 上任意一点 ,与 的交点 ,点 M 在直线 l 上 ,且满足 |m|m0,且 m 1) 在圆上运动时 ,记点 M 的轨迹为曲线 C. ( )求曲线 C 的方程 ,判断曲线 C 为何种圆锥曲线 ,并求其焦点坐标 ; ( )过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点 ,其中 P 在第一象限 ,且它在 y 轴上的射影为点 N,直线 曲线 C 于另一点 H,是否存在 m,使得对任意的 k0,都有 存在 ,求 m 的值 ;若 不 存在 ,请说明理由 . 解析 :( )设 M(x,y),则 A(x,由 点 x2+上 22(m0,且 m 1);当 01 时 ,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 ,焦点 ,- 12m ), 12m ); ( )设 P(x0,则 Q(N(0,由 02 0022 100=m= 2 . 点评 :应用有心圆锥曲线直径的性质定理的关键是存在有心圆锥曲线的直径 ,凡与 有心圆锥曲线直径 有关 的 问题 ,利 用 直径的性质定理 ,必可获得直接本质的解法 . 同 类 试题 : 5.(2011 年 江苏 高考试题 )如图 ,在平面直角坐标系 ,M、 N 分别是椭圆42x+22y=1 的顶点 , 过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点 ,其中 P 在第一象限 ,过 P 作 x 轴的垂线 ,垂足为 C,连接 延长交椭圆于点 B,设直线 斜率为 k. ( )当直线 求 ( )当 k=2时 ,求点 d; ( )对任意 k0,求证 :6.(2014年 山东 高考试题 )在平面直角坐标系 椭圆 C:2222=1(ab0)的离心率为23,直线 y=截得的线段长为5104.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点 (A,B 不是椭圆 C 的顶点 ) 在椭圆 C 上 ,且 线 x 轴、 y 轴分别交于 M,N 两点 .(i)设直线 M 的斜率分别为 k1,明存在常数使得 求出 的值 ; ( 积的最大值 . 7.(2012 年 天津 高考试题 )设椭圆222(ab0)的左、右顶点分别为 A、 B,点 P 在椭圆上且异于 A、 B 两点 ,O 为坐标 原点 .( )若直线 21,求椭圆的离心率 ; ( )若 |证明 :直线 k| 3 . 8.(2011 年 江 西 高考试题 )P(x0,x a)是双曲线 E:22(a0,b0)上一点 ,M、 N 分别是双曲线 E 的左、右顶点 ,直线 N 的斜率之积为51.( )求双曲线的离心率 ; ( )过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点 ,O 为坐标原点 ,C 为双曲线上的一点 ,满足 求 的值 . ( )由 A() B(1,设 P(x,y),则 1xy,1 31 11 1131 (x 1); ( )设 P(x0,由 | | |3| |1| 00 =|1| |3| 0 0x x 5 P(35 , 933 ). ( )设 M(x,y),则 xy, 1 轨迹 C:4(x 1); ( )设 Q(xQ,R(xR,将 y=x+m 代入 4 得 :3(x 1) m 1, 322 322 | | | +131222 m (1,35) (35,3). 616 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )由 2a=4 a=2;又由点 A 在 椭圆 C 上 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 1,0),设线段 中点 P(x,y),则 K(2x+1,2y)4 )12( 2x+342y=1,即为所求的轨迹方程 ; ( )类似的性质为 :若 M、 N 是双曲线 :22 上关于原点对称的两个点 ,点 P 是双曲线上任意一点 ,当直线 斜率都存在 ,并记为 么 位置无关的定值 ;证明如下 :设点 M(m,n),点 P(x,y),则点 N(n), 其中 ,22,mx mx =2222mx ;由 222ab( 2( )由2,2a+2c=4( 2 +1) a=2 2 ,c=2 椭圆 :82x+42y=1,双曲线 :; ( )设 P(x0,则 ,00xy,0000002020; ( )设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=k1(x+2),将其 代入椭圆方程得 :(2) |4 2 12 12121理可得 |4 2 12 12222 2 21212 1| 1| 123 存在 =823,使 |823| ( )由 M(),N(0,- 2 ) 中点 K(22) k=2;( )当 k=2 时 ,A(34),P(32,34) C(32, 0) 直线 AB: d=322; ( )设 A(x0,则 P(C() 002由 21 00 1 ( )由 e=22123 椭圆 C:y2= y=x=55a 2 255a=5104 a=2 椭圆 C: ;( )设 B(2,则 A(,1由 2又由 41 81 直线 BD:81 M(0),N(0,43;(i)由 141 21 = 积 S=21|43=89|89. ( )e=211=22;( )设 P(x0,0),由 | (x0+a)2+