黑龙江省哈尔滨XX中学2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 28 页） 2015年黑龙江省哈尔滨 学 九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1下列函数是反比例函数的是（ ） A y=3x B y=3x 1 C y=4 1x D y= 2在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3在 ， C=90，若 ，则 值是（ ） A B C D 4如图，在 ， 下列比例式中不正确的是（ ） A C： C： B： E： 两个相似多边形的一组对应边为 3 4果它们的周长差为 14么较大多边形的周长为（ ） A 50 52 54 56如图，为估算学校的旗杆的高度，身高 的小明同学沿着旗杆在地面的影子 A 向 B 走去，当她走到点 C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得 m， m，则旗杆的高度是（ ） A 7m C 8m D 9 m 第 2 页（共 28 页） 7抛物线 y= 3x 1 与 y 轴的交点为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1） C（ 1， 0） D（ 1， 0） 8在 ， C=90， ， ，则 值是（ ） A B C D 9已知反比例函数 的图象如图，则二次函数 y=2x+图象大致为（ ） A B C D 10一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为 租车离甲地的距离为 车行驶时间为 x，若 y1， x 的函数关系图象如图所示，下列四种说法： （ 1） 于 x 的函数关系式为 0x（ x 0） （ 2）行驶 时，两车相遇 （ 3）出租车到达甲地时，两车相距最远 （ 4）出租车的速度是客车速度的 其中一定正确的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（每题 3 分，共 30 分） 第 3 页（共 28 页） 11函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 12计算： 32 13如图，已知 D、 E 分别是 上的点， S S 四边形： 8，那么 于 14在平面直角坐标系中，点 P（ 1， 3）， x 轴夹角是 ，则 15如图，将等腰直角 C=90），绕点 A 逆时针旋转 15后得到 D 与点 C 对应，点 E 与点 B 对应，则 16点 A（ 3， 5）、 B（ 3， m）在反比例函数 y=1 上，则 m= 17如图， D 是 边 的一点，连接 知 C， ， ， 18二次函数 y=2x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，则 19 ， ， ， 0，则 面积为 20在 ， C=90， ，把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到ABC，其中点 B正好落在 ， AB与 交于点 D，那么 = 第 4 页（共 28 页） 三、解答题（其中 21各 8 分， 26各 10 分，共计 60 分） 21先化简， 再求代数式 的值，其中 x=y+2 22正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，建立如图所示的坐标系， A（ 0，2）、 B（ 3， 1） （ 1）在图中画出线段 原点为位似中心的对称的线段 AB（ A是 A 的对称点，在第四象限内按 2 倍放大） （ 2）连接 四边形 的面积是 23已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b （ a 0）的图象与反比例函数 y= （ k 0）的图象交于一、三象限内的 A， B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（ 2， 4），点 B 的坐标为（ n， 2） （ 1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）在 x 轴上有一点 E（ O 点除外），使得 面积相等，求出点E 的坐标 第 5 页（共 28 页） 24根据规定在某公路上行驶的车辆限速 60 千米 /时已知测速站点 M 距此公路 l（直线）的距离 30 米现有一辆汽车由 A 匀速行驶到 B 点所用时间为 3 秒， 0， 5 （ 1）计算 长度（结果保留根号） （ 2）通过计算判断此车是否超速（注意：单位换算） 25如图，在 ， C=90， ， ，点 D 在斜边 ，分别作足分别为 E、 F，得四边形 （ 1）直接写出图形中的相似三角形； （ 2）若点 D 分 3： 2 两部分，求四边形 面积 26如图， 等边三角形，点 P 是边 延长线上一点，连接 于 60，直线 直线 于点 N （ 1）若点 C 平分 ，求证： N； （ 2）若点 C 不平分时，求证： C=N； （ 3）若 ， ，求 N 的正切值 第 6 页（共 28 页） 27如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，过点 B、 C 的直线解析式为 y=x 3 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）点 P 为抛物线上位于直线 方的一点，过点 P 作 直线 点 H（且点 H 在线段 ），设 PH=y P 点的横坐标是 x，写出 y 与 x 的函数关系式，并求当线段 y 的长最大时，求点 P 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，点 Q 为平面直角坐标系内一点，直线 过点 H，且交 y 轴于点 K，若 出点 Q 的坐标，并判断点 Q 是否在（ 1）中的抛物线上 第 7 页（共 28 页） 2015年黑龙江省哈尔滨 学 九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1下列函数是反比例函数的是（ ） A y=3x B y=3x 1 C y=4 1x D y= 【考点】 反比例函数的定义 【分析】 一般地，如果两个变量 x、 y 之间的关系可以表示成 y= 或 y=1（ k 0）的形式，那么称 y 是 x 的 反比例函数 【解答】 解：解： A、是正比例函数，错误； B、是反比例函数，正确； C、是正比例函数，错误； D、是正比例函数，错误 故选 B 2在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据 轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】 解： A、既是不轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是不轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选 C 第 8 页（共 28 页） 3在 ， C=90，若 ，则 值是（ ） A B C D 【考点】 互余两角三角函数的关系 【分析】 因为 A 与 B 互余，则 A 与 B 的余切乘积为 1，即 ，代入计算即可 【解答】 解： C=90， A+ B=90， ， = ， 故选 D 4如图，在 ， 下列比例式中不正确的是（ ） A C： C： B： E： 考点】 平行线分线段成比例 【分析】 直接根据平行线分线段成比例定理可对 A、 B、 D 进行判断；根据比例的性质可对 C 进行判断 【解答】 解： C： C： E： 以 A、 B 选项的结论正确， D 选项的结论错误； B： 以 C 选项的结论正确 故选 D 5两个相似多边形的一组对应边为 3 4果它们的周长差为 14么较大多边形的周长为（ ） A 50 52 54 56 9 页（共 28 页） 【考点】 相似多边形的性质 【分析】 根据相似多边形的性质求出周长比，根据题意列出方程，解方程即可 【解答】 解： 两个相似多边形的一组对应边为 3 4 两个相似多边形的周长比为 3： 4， 设较大的多边形的周长为 4x，则较小的多边形的周长为 3x， 由题意得， 4x 3x=14， 解得， x=14， 则 4x=56， 故选： D 6如图，为估算学校的旗杆的高度，身高 的小明同学沿着旗杆在地面的影子 A 向 B 走去，当她走到点 C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得 m， m，则旗杆的高度是（ ） A 7m C 8m D 9 m 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可 【解答】 解：设旗杆高度为 h， 由题意得 ， 解得： h=9 米 故选： D 7抛物线 y= 3x 1 与 y 轴的交点为（ ） A（ 0， 1） B（ 0， 1） C（ 1， 0） D（ 1， 0） 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 第 10 页（共 28 页） 【分析】 令 x=0，求出 y 的值，然后写出点的坐标即可 【解答】 解： x=0 时， y= 1， 所以，抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， 1） 故选 B 8在 ， C=90， ， ，则 值是（ ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 利用勾股定理列式求出 根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可 【解答】 解： C=90， ， ， = =3， = 故选 B 9已知反比例函数 的图象如图，则二次函数 y=2x+图象大致为（ ） A B C D 【考点】 二次函数的图象；反比例函数的图象 第 11 页（共 28 页） 【分析】 根据反比例函数图象确定出 k 0，然后确定出二次函数的开口方向和对称轴以及二次函数与 y 轴的交点位置，从而得解 【解答】 解： 反比例函数图象在第二四象限， k 0， 二次函数图象开口向下， 抛物线对称轴为直线 x= 0， 0， 二次函数图象与 y 轴 的正半轴相交 纵观各选项，只有 D 选项图象符合 故选： D 10一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为 租车离甲地的距离为 车行驶时间为 x，若 y1， x 的函数关系图象如图所示，下列四种说法： （ 1） 于 x 的函数关系式为 0x（ x 0） （ 2）行驶 时，两车相遇 （ 3）出租车到达甲地时，两车相距最远 （ 4）出租车的速度是客车速度的 其中一定正确的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）令 x=0 求出 ，这与图象不符，由此可得出（ 1）不正确；（ 2）根据 “速度 =两地间距离 行使时间 ”即可得出客车和出租车的速度，再由 “相遇时间 =两地距离 两车速度和 ”由此即可得出（ 2）正确；（ 3）观察函数图象即可得第 12 页（共 28 页） 出当 x=0 时，两车距离最远，即（ 3）不正确；（ 4）结合（ 2）结论即可得出出租车与客车间速度的关系，由此得出（ 4）不正确综上即可得出结论 【解答】 解：（ 1）当 x=0 时， 0 0=0，与图象不符，（ 1） 不正确； （ 2）出租车的速度为： 600 6=100（ km/h）； 客车的速度为： 600 10=60（ km/h） 两车相遇的时间为： 600 = =h）， （ 2）正确； （ 3）由函数图象可知：当 x=0 时，两车距离最远， （ 3）不正确； （ 4）由（ 2）可知：出租车的速度是客车速度的 100 60= ， （ 4）不正确 综上 可知正确的结论只有一个 故选 A 二、填空题（每题 3 分，共 30 分） 11函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x 1 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据分母不等于 0 列出不等式求解即可 【解答】 解：由题意得， x+1 0， 解得 x 1 故答案为： x 1 12计算： 32 2 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 把特殊角的三角函数值代入 原式计算即可 【解答】 解：原式 =3 +2 = + 第 13 页（共 28 页） =2 ， 故答案为： 2 13如图，已知 D、 E 分别是 上的点， S S 四边形： 8，那么 于 1： 3 【考点】 相似三角形的判定与性质；三角形的面积 【分析】 根据 以得到 过 S S 四边形 ： 8，可以得到 面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解 【解答】 解： B， C， 又 S S 四边形 ： 8， S S ： 9， ： 3 14在平面直角坐标系中，点 P（ 1， 3）， x 轴夹角是 ，则 3 【考点】 坐标与图形性质；锐角三角函数的定义 【分析】 根据点 P 的坐标，求出 长，根据正切的定义计算即可 【解答】 解： 点 P 的坐标为：（ 1， 3）， ， ， 则 =3， 故答案为： 3 第 14 页（共 28 页） 15如图，将等腰直角 C=90），绕点 A 逆时针旋转 15后得 到 D 与点 C 对应，点 E 与点 B 对应，则 【考点】 旋转的性质；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义 【分析】 根据旋转的性质求出 0，然后根据三角函数的定义即可得解 【解答】 解： 等腰直角三角形， 5， 旋转角为 15， 5， 5 15=30， ， 故答案为： 16点 A（ 3， 5）、 B（ 3， m）在反比例函数 y=1 上，则 m= 5 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 利用待定系数法求出 k 的值，代入点 B 的横坐标计算即可 【解答】 解： 点 A（ 3， 5）在反比例函数 y=1 上， 第 15 页（共 28 页） k=5， 则反比例函数的解析式为： y=15x 1， 当 x= 3 时， m= 5， 故答案为： 5 17如图， D 是 边 的一点，连接 知 C， ， ，9 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 利用两组角对应相等，两三角形相似确定出 根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解 【解答】 解： C， = ， 即 = ， 解得 故答案为： 9 18二次函数 y=2x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，则 4 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 令 y=0 求出抛物线与 x 轴的交点即可解决问题 【解答】 解：令 y=0，则 2x 3=0，解得 x=3 或 1， 不妨设点 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， 故答案为 4 第 16 页（共 28 页） 19 ， ， ， 0，则 面积为 或 3 【考点】 解直角三角形 【分析】 分两种情况：过点 B 或 C 作 的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可 【解答】 解： 如图 1， 过点 B 作 0， ， ， ， ， ， S D= （ 2 + ） 2=3 ； 如图 2， 过点 B 作 长线于点 D， 0， ， ， ， ， ， S D= （ 2 ） 2= ； 故答案是： 或 3 第 17 页（共 28 页） 20在 ， C=90， ，把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到ABC，其中点 B正 好落在 ， AB与 交于点 D，那么 = 【考点】 旋转的性质 【分析】 作 H，先在 ，根据余弦的定义得到 = ，设 x，则 x，再根据勾股定理计算出 x，在 ，根据余弦的定义可计算出 x，接着根据旋转的性质得 x， A= A，所以根据等腰三角形的性质有 BH=x，则 x，然后证明 A利用相似比可计算出 BD 与 比值 【解答】 解：作 H，如图， 在 ， C=90， = ，设 x，则 x， =4x， 在 ， = ，而 x， x， 顶点 C 旋转后得到 ABC，其中点 B正好落在 ， x， A= A， 第 18 页（共 28 页） BH=x， BH x， A A= A， A = ，即 = ， = 故答案为 三、解答题（其中 21各 8 分， 26各 10 分，共计 60 分） 21先化简，再求代数式 的值，其中 x=y+2 【考点】 分式的化简求值；特殊角的三角函数值 【分析】 根据运算顺序，先通分，再约分，根据特殊角的三角函数值求得 x 与 算即可 【解答】 解：原式 = = = ， x=y+2 x=y+2 =y+ ， 第 19 页（共 28 页） x y= ， 原式 = 22正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，建立如图所示的坐标系， A（ 0，2）、 B（ 3， 1） （ 1）在图中画出线段 原点为位似中心的对称的线段 AB（ A是 A 的对称点，在第四象限内按 2 倍放大） （ 2）连接 四边形 的面积是 27 【考点】 作图 【分析】 （ 1）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （ 2）利用四边形面积求法结合三角形面积公式得出答案 【解答】 解：（ 1）如图所示：线段 AB即为所求； （ 2）四边形 的面积是： S S = 3 6+ 6 6=27 故答案为： 27 第 20 页（共 28 页） 23已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b （ a 0）的图象与反比例函数 y= （ k 0）的图象交于一、三象限内的 A， B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（ 2， 4），点 B 的坐标为（ n， 2） （ 1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （ 2）在 x 轴上有一点 E（ O 点除外），使得 面积相等，求出点E 的坐标 【考点】 反比例函数与一次函数 的交点问题 【分析】 （ 1）先将点 A 坐标代入反比例函数 y= （ k 0），求得 k 的值，再将点B 坐标代入反比例函数 y= （ k 0），即可得出 n 的值，再把 点的坐标代入一次函数 y=ax+b （ a 0）求得 a， b 的值即可； （ 2）因为一次函数 y=ax+b（ a 0）的图象与 x 轴交于 C 点，所以求得 C（ 2，0），再因为 S 以 C=2，即可得出 ，则 E（ 4， 0） 【解答】 解 ：（ 1）把 A（ 2， 4）代入 y= 中得 k=8， 第 21 页（共 28 页） 所以反比例函数解析式为 y= 点 B 的坐标为（ n， 2）代入 y= 中，得 n= 4， B（ 4， 2） 把 A（ 2， 4）， B（ 4， 2）两点代入 y=ax+b 中， 得 a=1 b=2，所以一次函数解析式为 y=x+2 （ 2） 一次函数 y=ax+b（ a 0）的图象与 x 轴交于 C 点， 当 y=0 时， x= 2， C（ 2， 0），即 S C=2， ，即 E（ 4， 0） 24根据规定在某公路上行驶的车辆限速 60 千米 /时已知测速站点 M 距此公路 l（直线）的距离 30 米现有一辆汽车由 A 匀速行驶到 B 点所用时间为 3 秒， 0， 5 （ 1）计算 长度（结果保留根号） （ 2）通过计算判断此车是否超速（注意：单位换算） 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）直接利用锐角三角函数关系分别得出 长，进而得出答案； （ 2）直接利用 距离除以时间，得出速度，进而得出答案 【解答】 解：（ 1） 0， 0， = ， 则 0 （ m）， 5， N=30（ m）， 0（ +1） m， 第 22 页（共 28 页） 答： 长为 30（ +1） m； （ 2）由题意可得： 30（ +1） 3（ +1） =10（米 /秒） =36（千米 /时） 60 千米 /时， 答：此车没有超速 25如图，在 ， C=90， ， ，点 D 在斜边 ，分别作足分别为 E、 F，得四边形 （ 1）直接写出图形中的相似三角形； （ 2）若点 D 分 3： 2 两部分，求四边形 面积 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 （ 1）由平行线分三角形得到的新三角形与原三角形相似即可得到结论； （ 2）先判断出四边形 矩形，再求出 可 【解答】 解：（ 1） 0 C=90， 同理： （ 2） ， ， 第 23 页（共 28 页） ， ， = ， 同理： ， 四边形 平行 四边形， C=90， 平行四边形 矩形， S 矩形 E 26如图， 等边三角形，点 P 是边 延长线上一点，连接 于 60，直线 直线 于点 N （ 1）若点 C 平分 ，求证： N； （ 2）若点 C 不平分时，求证： C=N； （ 3）若 ， ，求 N 的正切值 【考点】 相似形综合题 【分析】 （ 1）首先利用等边三角形的性质和已知条件证出 N，再证出C，由等腰三角形的性质得出 此 N，即可得出结论； （ 2）证明 出对应边成比例，即可得出结论； （ 2）过点 P 作 点 D，利用（ 1）中的结论可求出 长，再根据勾股定理可求出 而得到 用正切的定义即可求出 N 的正切值 【解答】 （ 1）证明： 等边三角形， 第 24 页（共 28 页） A= 0， C， A=60， 0， N=60 N， 点 C 平分 C， C， N， N； （ 2）证明：由（ 1）得： A=60， N， ， C=N； （ 3）解