单样本卡方检验公式

单样本卡方检验公式一、单样本卡方检验概述1.1单样本卡方检验的定义单样本卡方检验是一种统计方法，用于检验一个分类变量在总体中的分布是否与某个假设分布相一致。1.2单样本卡方检验的应用场景①检验样本数据是否符合某个已知分布；②检验样本数据是否来自某个总体；③检验样本数据中某个比例是否与总体比例一致。1.3单样本卡方检验的基本原理单样本卡方检验的基本原理是：通过比较样本数据与假设分布之间的差异，判断样本数据是否来自该分布。二、单样本卡方检验公式2.1公式推导单样本卡方检验的公式如下：\\[\\chi^2=\\sum\\frac{(O_iE_i)^2}{E_i}\\]其中，\\(\\chi^2\\)表示卡方统计量，\\(O_i\\)表示第\\(i\\)个观测值，\\(E_i\\)表示第\\(i\\)个期望值。2.2公式解释①\\(O_i\\)：表示第\\(i\\)个观测值，即样本数据；②\\(E_i\\)：表示第\\(i\\)个期望值，即假设分布下的理论值；③\\(\\sum\\)：表示对所有观测值进行求和。2.3公式应用在实际应用中，我们需要根据样本数据和假设分布计算出卡方统计量\\(\\chi^2\\)，然后与卡方分布表中的临界值进行比较，以判断样本数据是否来自假设分布。三、单样本卡方检验步骤3.1确定假设在进行单样本卡方检验之前，需要确定假设，包括原假设和备择假设。3.2计算期望值根据假设分布，计算每个观测值的期望值。3.3计算卡方统计量根据公式，计算卡方统计量\\(\\chi^2\\)。3.4查找临界值根据卡方分布表，查找与卡方统计量\\(\\chi^2\\)对应的临界值。3.5判断结果比较卡方统计量\\(\\chi^2\\)与临界值，判断样本数据是否来自假设分布。四、单样本卡方检验实例分析4.1实例背景某公司生产一批产品，质量检验部门对这批产品进行了抽样检验，共抽取了100个样本，其中合格品80个，不合格品20个。现在需要检验这批产品的合格率是否与总体合格率相等。4.2假设原假设：这批产品的合格率与总体合格率相等；备择假设：这批产品的合格率与总体合格率不相等。4.3计算期望值根据总体合格率，计算每个样本的期望值。假设总体合格率为0.8，则期望值为：\\[E_i=100\\times0.8=80\\]4.4计算卡方统计量根据公式，计算卡方统计量\\(\\chi^2\\)：\\[\\chi^2=\\frac{(8080)^2}{80}+\\frac{(2020)^2}{20}=0\\]4.5查找临界值根据卡方分布表，查找自由度为1，显著性水平为0.05的临界值，得到临界值为3.84。4.6判断结果由于卡方统计量\\(\\chi^2\\)小于临界值3.84，因此不能拒绝原假设，即这批产品的合格率与总体合格率相等。五、单样本卡方检验注意事项5.1样本量在进行单样本卡方检验时，样本量应足够大，以保证检验结果的可靠性。5.2假设在进行单样本卡方检验之前，需要明确假设，包括原假设和备择假设。5.3期望值计算期望值时，需要根据假设分布进行计算。5.4临界值查找临界值时，需要根据自由度和显著性水平进行查找。六、[1]，.统计学原理与应用[M].北京：高等教育出版社，2010