反比例函数教案

反比例函数教案一、教学目标1.知识与技能目标理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系。能根据已知条件确定反比例函数的表达式。会用描点法画反比例函数的图象，理解反比例函数图象的性质。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析，体会建立反比例函数模型的过程，培养学生的数学建模能力。在探究反比例函数图象性质的过程中，让学生经历观察、猜测、分析、归纳等数学活动，发展学生的合情推理和演绎推理能力，培养学生的探究能力和创新精神。3.情感态度与价值观目标通过对反比例函数的学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生积极参与、勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点反比例函数的概念、表达式及图象性质。用反比例函数解决实际问题。2.教学难点理解反比例函数图象的性质，并能灵活运用。对反比例函数中比例系数k的几何意义的理解。

三、教学方法1.讲授法：讲解反比例函数的基本概念、表达式及图象性质等基础知识，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过设置问题情境，引导学生自主探究反比例函数的图象和性质，培养学生的探究能力和创新精神。3.小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨反比例函数在实际问题中的应用，培养学生的合作意识和交流能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.问题情境问题1：京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化。问题2：某住宅小区要种植一个面积为1000m²的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。问题3：已知北京市的总面积为1.68×10⁴平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。2.分析问题引导学生分析上述问题中的数量关系，列出相应的函数表达式：对于问题1，\(v=\frac{1463}{t}\)。对于问题2，\(y=\frac{1000}{x}\)。对于问题3，\(S=\frac{1.68×10⁴}{n}\)。3.引出课题观察上述函数表达式，它们有什么共同特征？引导学生发现这些函数表达式都具有\(y=\frac{k}{x}\)（k为常数，\(k≠0\)）的形式，从而引出本节课的课题反比例函数。

（二）探究新知1.反比例函数的概念定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（k为常数，\(k≠0\)）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数。强调：反比例函数的表达式有三种形式：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)），\(y=kx^{1}\)（\(k≠0\)），\(xy=k\)（\(k≠0\)）。例题讲解例1：下列函数中，哪些是反比例函数？\(y=\frac{2}{x}\)\(y=\frac{x}{2}\)\(y=\frac{1}{2x}\)\(y=2x^{1}\)\(y=\frac{2}{x+1}\)分析：根据反比例函数的定义，逐一判断每个函数是否符合\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的形式。解答：\(y=\frac{2}{x}\)，\(y=\frac{1}{2x}\)，\(y=2x^{1}\)是反比例函数；\(y=\frac{x}{2}\)是正比例函数；\(y=\frac{2}{x+1}\)不是反比例函数。练习巩固已知函数\(y=(m2)x^{m²5}\)是反比例函数，则m的值是多少？分析：根据反比例函数的定义，\(x\)的次数为\(1\)，且系数不为\(0\)，列出方程求解。解答：由题意得\(\begin{cases}m²5=1\\m2≠0\end{cases}\)，解得\(m=2\)。2.反比例函数的表达式例题讲解例2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2,3)\)，求这个反比例函数的表达式。分析：将点\((2,3)\)代入反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)中，求出\(k\)的值。解答：把\((2,3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)。所以这个反比例函数的表达式是\(y=\frac{6}{x}\)。练习巩固已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((3,4)\)，求这个反比例函数的表达式，并判断点\((6,2)\)是否在该函数图象上。分析：先求出反比例函数的表达式，再将点\((6,2)\)代入表达式，看等式是否成立。解答：把\((3,4)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(4=\frac{k}{3}\)，解得\(k=12\)。所以反比例函数的表达式是\(y=\frac{12}{x}\)。当\(x=6\)时，\(y=\frac{12}{6}=2\)，所以点\((6,2)\)在该函数图象上。3.反比例函数的图象探究活动让学生以小组为单位，用描点法画出反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)和\(y=\frac{6}{x}\)的图象。步骤：列表：分别选取一些x的值，计算出对应的y值。描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点。连线：用平滑的曲线连接这些点。小组展示并讨论各小组展示自己画出的图象，观察图象的形状。讨论：反比例函数的图象有什么特点？教师总结反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k≠0\)）的图象是双曲线。当\(k＞0\)时，图象在一、三象限；当\(k＜0\)时，图象在二、四象限。例题讲解例3：已知反比例函数\(y=\frac{m1}{x}\)的图象在第二、四象限，则m的取值范围是多少？分析：根据反比例函数图象的性质，当\(k＜0\)时，图象在二、四象限，可得\(m1＜0\)。解答：由题意得\(m1＜0\)，解得\(m＜1\)。练习巩固若反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((1,2)\)，则该反比例函数的图象在第象限。分析：先求出\(k\)的值，再根据\(k\)的正负判断图象所在象限。解答：把\((1,2)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(2=\frac{k}{1}\)，解得\(k=2\)。因为\(k=2＜0\)，所以该反比例函数的图象在第二、四象限。4.反比例函数的性质结合反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)和\(y=\frac{6}{x}\)的图象，引导学生探究反比例函数的性质：当\(k＞0\)时：图象在一、三象限。在每一象限内，y随x的增大而减小。当\(k＜0\)时：图象在二、四象限。在每一象限内，y随x的增大而增大。强调：在描述反比例函数的性质时，一定要注意"在每一象限内"这个条件。例题讲解例4：已知反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)，当\(x＞2\)时，求y的取值范围。分析：先根据反比例函数的性质确定函数在\(x＞2\)时的单调性，再求出\(y\)的取值范围。解答：因为\(k=4＞0\)，所以当\(x＞0\)时，y随x的增大而减小。当\(x=2\)时，\(y=\frac{4}{2}=2\)。所以当\(x＞2\)时，\(0＜y＜2\)。练习巩固已知反比例函数\(y=\frac{3}{x}\)，当\(3＜x＜1\)时，求y的取值范围。分析：根据反比例函数的性质求出\(x=3\)和\(x=1\)时\(y\)的值，再确定\(y\)的取值范围。解答：当\(x=3\)时，\(y=\frac{3}{3}=1\)；当\(x=1\)时，\(y=\frac{3}{1}=3\)。因为\(k=3＜0\)，在\(x＜0\)时，y随x的增大而增大，所以当\(3＜x＜1\)时，\(1＜y＜3\)。

（三）应用拓展1.实际问题例5：某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空。蓄水池的容积是多少？如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m³），将满池水排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式。如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？已知排水管的最大排水量为每小时12m³，那么最少多长时间可将满池水全部排空？分析：根据每小时排水量×排水时间=蓄水池容积，可求出蓄水池容积。由蓄水池容积不变，可得\(Q\)与\(t\)的函数关系式。将\(t=5\)代入函数关系式，可求出每小时的排水量。将\(Q=12\)代入函数关系式，可求出排空水所需时间。解答：蓄水池容积为\(8×6=48m³\)。由\(Qt=48\)，可得\(Q=\frac{48}{t}\)。当\(t=5\)时，\(Q=\frac{48}{5}=9.6m³\)，即每小时的排水量至少为\(9.6m³\)。当\(Q=12\)时，\(t=\frac{48}{12}=4h\)，即最少4小时可将满池水全部排空。2.拓展延伸例6：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象与一次函数\(y=mx+b\)的图象交于点\(A(1,4)\)和点\(B(n,2)\)。求反比例函数和一次函数的表达式。根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？分析：先将点\(A(1,4)\)代入反比例函数求出\(k\)的值，进而得到反比例函数表达式，再将点\(B(n,2)\)代入反比例函数求出\(n\)的值，最后将\(A\)、\(B\)两点代入一次函数求出表达式。通过观察图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时\(x\)的取值范围。解答：把\(A(1,4)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(4=\frac{k}{1}\)，解得\(k=4\)，所以反比例函数表达式为\(y=\frac{4}{x}\)。把\(B(n,2)\)代入\(y=\frac{4}{x}\)，得\(2=\frac{4}{n}\)，解得\(n=2\)，所以\(B(2,2)\)。把\(A(1,4)\)，\(B(2,2)\)代入\(y=mx+b\)，得\(\begin{cases}m+b=4\\2m+b=2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}m=2\\b=2\end{cases}\)，所以一次函数表达式为\(y=2x+2\)。由图象可知，当\(x＜2\)或\(0＜x＜1\)时，反比例函数的值大于一次函数的值。

（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括反比例函数的概念、表达式、图象和性质，以及用反比例函数解决实际问题的方法。2.让学生谈谈本节课的收获和体会，培养学生的反思和总结能力。

（五）布置作业1.必做题：教材第86页练习第1、2、3题；教材第89页习题26.1第1、2、3题。2.选做题：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)与一次函数\(y=2x+k\)的图象的一个交点的纵坐标是