2025年新高考数学一轮复习：随机事件、频率与概率（六大题型）（练习）（学生版+解析）

第04讲随机事件、频率与概率

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：随机事件与样本空间.....................................................2

题型二：随机事件的关系与运算...................................................2

题型三：频率与概率.............................................................2

题型四：生活中的概率...........................................................3

题型五：互斥事件与对立事件.....................................................4

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率.........................................5

02重难创新练..................................................................5

03真题实战练.................................................................26

题型一：随机事件与样本空间

1.袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为瓦、B2,白色球2个，记为叱、代，从袋中

任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：Q=—.

2.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为.

3.将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为.

题型二：随机事件的关系与运算

4.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A,“向上的面的点数是2或3”为事件2,则（）

A.A^BB.A=B

C.AUB表示向上的面的点数是1或2或3D.表示向上的面的点数是1或2或3

5.已知事件A、B、C满足AU8,BQC,则下列说法不正确的是（）

A.事件A发生一定导致事件C发生

B.事件2发生一定导致事件C发生

C.事件彳发生不一定导致事件不发生

D.事件不发生不一定导致事件豆发生

6.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A=｛至少1枚正面朝上｝,3=｛至多2枚正面朝上｝,事件C=｛没有

硬币正面朝上｝,则下列正确的是（）

A.C=B.C=AUB

C.CoAD.C^B

题型三：频率与概率

7.（2024・高三.重庆沙坪坝.期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3

局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机

产生1~5之间的随机数，指定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了

如下20组随机数:

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

据此估计甲获得冠军的概率为.

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命

中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、

0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.

9.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，

剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是.

10.若随机事件A在见次试验中发生了机次，则当试验次数〃很大时，可以用事件A发生的频率'来估计

n

事件A的概率，即尸（A卜.

题型四：生活中的概率

11.某地区牛患某种病的概率为0.25,且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12

头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药（填“有效”或“无效”）.

12.有以下说法：

①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；

②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；

3

③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为5；

④某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品.

其中错误说法的序号是.

13.在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2,4,6,8,10,12

这6个区域对应的奖品是文具盒，而1,3,5,7,9,11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘

转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则

还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游

戏时，得到的奖品是随身听的概率是.

14.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中哪一个能代表教练

的观点（填序号）.

①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；

②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.

题型五：互斥事件与对立事件

15.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件8互斥却不互为

对立（）

A.事件A：3个球中至少有1个红球；事件8：3个球中至少有1个白球

B.事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球

C.事件A：3个球中至多有2个红球：事件8：3个球中至少有2个白球

D.事件A：3个球中至多有1个红球；事件2：3个球中至多有1个白球

16.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个白球

C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是白球

17.王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访.事件P表示“抽中甲、乙两位同学”，事件

Q表示“抽中甲、丙两位同学"，贝U（）

A.尸是必然事件B.Q是不可能事件

C.尸与。是互斥事件D.尸与Q是对立事件

18.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为:，且P（A）=2P⑻，则尸⑻=（）

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率

19.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期

比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,

且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为.

20.（2024・高三.浙江•开学考试）竦（或加g）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称炎1|Cshan）县，

赡县、竦县，古往今来无数文人墨客都醉心于竦州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至冽

溪.杜甫有诗曰：制溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化

名片，现有甲、乙两人到达高铁竦州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵

运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是］2二和

333

则甲、乙打卡不相同景点的概率为____.

632

2

21.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是,，若每位面试者共有三

次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目

能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为.

22.甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为|,乙投中的概率为白，甲、乙两人各投篮1次，甲、乙之

间互不影响，已知两人至少有一人投中，则甲投中的概率.

23.已知事件A和事件B相互独立，石表示事件B的对立事件，P（A）=-,则尸（A8）=.

24.有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9,则恰好有一颗发芽的概率是.

㈤2

重难创新练

i.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不

受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为3:，在实验操作中结果为优秀的概率为2;，则该同学在这次

43

测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

2.从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是g,从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是:，从两袋中有

放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则）是（）

6

A,4个球不都是红球的概率B.4个球都是红球的概率

C.4个球中恰有3个红球的概率D.4个球中恰有1个红球的概率

3.（2024.辽宁・模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6,若乙先着子，则乙胜的

概率为0.5,若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每

局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（）

A.0.5B.0.6C.0.57D.0.575

4.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个

方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（）

A.互斥但非对立事件B.对立事件

C.非互斥事件D.以上都不对

5.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数大于4”为事

件8,则事件A,8中至少有一个发生的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6423

6.甲袋中装有加个白球，/个黑球，乙袋中装有〃个白球，加个黑球（加力”），现从两袋中各摸一个球，A=

“两球同色”，3=“两球异色”，则尸（A）与尸（8）的大小关系为（）

A.尸（A）<P（3）B.P（A）=P（B）

C.P（A）>P（B）D.视加，”的大小而定

7.在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结

论正确的是（）

JITIcpr

—2―

1

F<,1—G.K

[2~|

B\J]~£>[3j[4]E

-----------------------------------------II——

A.A,8两个盒子并联后尸G段畅通的概率为g

7

B.D,E两个盒子串联后G8段畅通的概率为日

3

C.C,D,E三个盒子混联后GK段畅通的概率为:

4

D.当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率

8.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占：，乙厂产品占丙厂产品占甲厂产品的合

244

格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,丙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个产品，此产

品是次品的概率是（）

A.0.925B.0.03C.0.9D.0.1

9.（多选题）在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为040.6,0,且040.6,。成等比

数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（）

A.p=0.08

B.甲、乙都通过这次考试的概率为0.24

C.甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12

D.乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96

10.（多选题）已知事件两两互斥，若尸（A）=J,尸（2）=2，P（AUO=;1，则（）

6312

A.P（C）=-B.P（AuB）=1

7

C.尸（AUBUC）=1D.P（BuC）=—

11.（多选题）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（）

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件

C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件

12.在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取、然后甲再

取，…，每次取1个，取后不放回.直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概

率为；将球全部取出才停止取球的概率为.

13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与

小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会

答的概率为

14.某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），

两人第一局获胜的概率均为;，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则

该局获胜的概率为等，若上局未获胜，则该局获胜的概率为千，且一方第一局、第二局连胜的概率为

4.则打完4场结束比赛的概率为.

10

15.下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.

甲、乙两球都不落入盒子的概率为（I-：）X（T=;,

2

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为§.

1?

故答案为：—;—•

63

5.（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问

题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问

题的概率分别为l432;1且各轮问题能否回答正确互不影响.

（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

6.（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷II））从某批产品中，有放回地抽取产品二次，

每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=Q96.

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率P;

⑵若该批产品共有100件,从中任意抽取2件,求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）.

7.（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（辽宁卷））甲、乙两班各派2名同学参加年级数学

竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响.求：

（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；

（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率.

8.（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行

安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤

矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是05整改后安检合格的概率是0.8,

计算（结果精确到0.01）：

（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(2)某煤矿不被关闭的概率；

(3)至少关闭一家煤矿的概率.

9.(2003年普通高等学校招生考试数学(文)试题(天津卷))有三种产品，合格率分别为0.90,0.95

和0.95,各抽取一件进行检验.

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有两件不合格的概率.(精确到0.001)

第04讲随机事件、频率与概率

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：随机事件与样本空间.....................................................2

题型二：随机事件的关系与运算...................................................2

题型三：频率与概率.............................................................2

题型四：生活中的概率...........................................................3

题型五：互斥事件与对立事件.....................................................4

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率.........................................5

02重难创新练..................................................................5

03真题实战练.................................................................26

题型一：随机事件与样本空间

1.袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2个，记为瓦、B2,白色球2个，记为叱、代，从袋中

任意取2个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：Q=—.

【答案】｛8也出叱,与叱｝（答案不唯一）

【解析】从袋中任取2个球，

共有如下情况BXB2,BtWt,8网,为叱，区因耳叱.

其中一个不等可能的样本空间为。=｛4生，与匕生叱｝,

此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.

故答案为：。=｛44，片叱,自叫｝.（答案不唯一）

2.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为.

【答案】｛0,123,4｝

【解析】由分析可知取出的4件产品的次品个数为0,1，2,3,4,

所以样本空间为｛0」,2,3,4｝,

故答案为：｛0』,2,3,4｝.

3.将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试验样本空间为.

【答案】｛0,123｝

【解析】因为将一枚硬币抛三次，其正面朝上的次数可能为0」,2,3,

所以该试验样本空间为｛0,1,2,3｝.

故答案为：｛0,1,2,3｝.

题型二：随机事件的关系与运算

4.抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A,“向上的面的点数是2或3”为事件8,贝U（）

A.A^BB.A=B

C.AU8表示向上的面的点数是1或2或3D.表示向上的面的点数是1或2或3

【答案】C

【解析】由题意可知，A={1,2},B={2,3},

所以4口8={2},AUB={1,2,3）,

则AU3表示向上的面的点数是1或2或3,故ABD错误，C正确.

故选：C.

5.已知事件A、B、C满足A&B,BQC,则下列说法不正确的是（）

A.事件A发生一定导致事件C发生

B.事件B发生一定导致事件C发生

C.事件K发生不一定导致事件不发生

D.事件了发生不一定导致事件方发生

【答案】D

【解析】由已知可得AUC,又因为BUC,如图事件A,B,C用集合表示:

则选项A,B正确，

事件乙=入，则C正确，D错误

故选：D.

6.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上},8={至多2枚正面朝上},事件C={没有

硬币正面朝上},则下列正确的是（）

A.C=Ap[BB.C=A\JB

C.CcAD.CcB

【答案】D

【解析】记事件D={1枚硬币正面朝上},E={2枚硬币正面朝上},尸={3枚硬币正面朝上},则

A=Di\E\jF,B=C\JD\JE,

显然CwApB,C^A\JB,C=B,C不含于A

故选：D

题型三：频率与概率

7.（2024・高三•重庆沙坪坝•期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3

局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机

产生1~5之间的随机数，指定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了

如下20组随机数：

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

据此估计甲获得冠军的概率为.

【答案】0.65

【解析】20组数据中,334.221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13组数据表示甲获得冠军,

13

故估计甲获得冠军的概率为与=0.65.

故答案为：0.65

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命

中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、

0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为,

【答案】0.25/y

4

【解析】20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191、271、932、812、393,

其频率为京=0.25,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.

故答案为：0.25

9.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，

剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是.

193

【答案】0.386/—

500

【解析】由题意可得没有明显疗效的人数为500-307=193,

所以没有明显疗效的频率为就=0.386,

故答案为：0.386

10.若随机事件A在〃次试验中发生了初次，则当试验次数〃很大时，可以用事件A发生的频率‘来估计

n

事件A的概率，即尸（A卜.

【答案】一

n

【解析】在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率

P（A）附近摆动并趋于稳定，这个性质成为频率的稳定性.因此，可以用事件A发生的

频率‘来估计事件A的概率，即尸

nn

故答案为：一

n

题型四：生活中的概率

11.某地区牛患某种病的概率为0.25,且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12

头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药（填“有效”或“无效”）.

【答案】有效

【解析】若此药无效，则12头牛都不患病的概率为（1-0.25尸。0.032,这个概率很小，

故该事件基本上不会发生，所以此药有效.

故答案为：有效.

12.有以下说法：

①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；

②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；

3

③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为本；

④某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品.

其中错误说法的序号是.

【答案】①②③

【解析】①中降水概率为95%,仍有不降水的可能，故①错误；

②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会

中奖，故②错误；

③中正面朝上的频率为京3，概率仍为:1，故③错误；

④中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确.

故答案为：①②③

13.在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2,4,6,8,10,12

这6个区域对应的奖品是文具盒，而1,3,5,7,9,H这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘

转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则

还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游

戏时，得到的奖品是随身听的概率是.

【答案】0

【解析】根据游戏规则，转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域，而得到随

身听对应的区域均标为奇数，即可求得・.・转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶

数的区域，

又••・得到随身听对应的区域均标为奇数，

得到的奖品为随身听的概率为0.

故答案为:0.

14.某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中哪一个能代表教练

的观点（填序号）.

①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；

②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.

【答案】②

【解析】射中的概率是90%说明中靶的可能性大小，即中靶机会是90%,

所以①不正确，②正确.

故答案为：②.

题型五：互斥事件与对立事件

15.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件8互斥却不互为

对立（）

A.事件A：3个球中至少有1个红球；事件8：3个球中至少有1个白球

B.事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球

C.事件A：3个球中至多有2个红球：事件8：3个球中至少有2个白球

D.事件A：3个球中至多有1个红球；事件2：3个球中至多有1个白球

【答案】B

【解析】对于A,事件A与事件8可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件3不

是互斥事件，故A错误；

对于B,事件A与事件8不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以

事件A与事件8互斥却不互为对立，故B正确；

对于C,事件A与事件3可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件8不是互斥事件，

故C错误；

对于D,事件A与事件3不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A与事件B是互斥事件也是对立事

件，故D错误.

故选：B.

16.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个白球

C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是白球

【答案】C

【解析】A选项，至少有一个黑球包括一个黑球一个白球和两个黑球两种情况，与都是黑球不互斥，故A

错；

B选项，至少有一个白球包括一个白球一个黑球和两个白球两种情况，与至少有一个黑球不互斥，故B错；

C选项，恰好有一个黑球、恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况，所以互斥但不对立，故C正确；

D选项，至少有一个黑球和都是白球互斥且对立，故D错.

故选：C.

17.王老师从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访.事件尸表示“抽中甲、乙两位同学”，事件

。表示“抽中甲、丙两位同学"，贝I（）

A.尸是必然事件B.。是不可能事件

C.P与。是互斥事件D.尸与。是对立事件

【答案】C

【解析】从甲、乙、丙三位同学中随机抽选两位同学进行家访，所有的基本事件有｛（甲乙），（甲丙），（乙

丙）｝，

对于A,P是不一定发生，故不是必然事件，

对于B,Q是可能发生，所以不是不可能事件，

对于C,1P与。不能同时发生，故P与Q是互斥事件，

对于D,P与Q不能同时发生，但PuQ不是全部事件，所以不是对立事件，

故选：C

18.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为且P（A）=2P⑻，则尸（研=（）

6

【答案】D

【解析】由题可知，P(AUB)=P(A)+P(B)=1-^=1，

66

又尸(A)=2P(B),所以2PGB)+PCB)=:,解得PCB)=2，

o18

所以网可=1-PGB)=j|.

故选：D.

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率

19.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期

比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,

且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为.

49

【答案】0.245/——

200

【解析】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，

设甲队主场取胜的概率为0.7,客场取胜的概率为0.5,

则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为

R=0.3x0,7x0.5xO.5xO.7=0.03675,

甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为

p2=0.7x0.3x0,5x0,5x0.7=0.03675,

甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为

p3=0.7x0,7x0.5x0.5x0,7=0.08575,

甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为

p4=0.7x0.7x0.5x0.5x0.7=0.08575

所以甲队以4：1获胜的概率

p=Pi++P3+丹=0.0367+0.0367+0.08575+0.08075=0.245.

故答案为：0.245

20.(2024・高三・浙江•开学考试)竦Csheng)州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称炎1|(shim)县，

赡县、竦县，古往今来无数文人墨客都醉心于竦州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至炎I

溪.杜甫有诗曰：冽溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化

名片，现有甲、乙两人到达高铁竦州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵

运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是g,；,；和

则甲、乙打卡不相同景点的概率为____.

632

2

【答案】j

【解析】甲乙打卡相同景点的概率为

3633323

12

所以甲、乙打卡不相同景点的概率为1-§=§.

2

故答案为：—

21.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是：，若每位面试者共有三

次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目

能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为.

.一、26

【答案】—

27

【解析】依题意，李华3道题都没有答对的概率为11-2丫=_1,

I3)27

所以李华最终通过面试的概率为1-人=学.

2727

故答案为：亶.

27

22.甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为|,乙投中的概率为彳，甲、乙两人各投篮1次，甲、乙之

JJ

间互不影响，已知两人至少有一人投中，则甲投中的概率.

【答案】I

212

【解析】“至少有一人命中的”的对立事件是“两人都没有命中”，两人都没有命中的概率P=§x§=§,

27

所以“至少有一人命中的”概率。=1-.

2

所以两人至少有一人投中，甲投中的概率为税Q=,6

9

故答案为：y

23.已知事件A和事件4相互独立，》表示事件6的对立事件，P(A)=-,则P(A®=.

【答案】1/0.125

O

【解析】由事件A和事件5相互独立，则事件A和事件看也相互独立.

所以P（AB）=P（A）P（B）=P（A）［1-P（B）］=1x3£

8,

故答案为：:

o

24.有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9,则恰好有一颗发芽的概率是.

【答案】0.26点13

【解析】有两颗种子，发芽率分别为0.8和0.9,

则恰好有一颗发芽的概率是（1-0.8）x0.9+（1-0.9）x0.8=0.26.

故答案为：0.26.

1.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不

受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率3为在实验操作中结果为优秀的概率为2;，则该同学在这次

43

测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

122123

【答案】C

1。315

【解析】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：+=

故选：C.

2.从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是g,从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是;，从两袋中有

放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则;是（）

6

A,4个球不都是红球的概率B.4个球都是红球的概率

C.4个球中恰有3个红球的概率D.4个球中恰有1个红球的概率

【答案】C

【解析】4个球都是红球的概率为:=上，故B错误;

332236

135

4个球不都是红球的概率为,故A错误；

3636

4个球中恰有3+=l，故C正确；

332233226

4个球中恰有1个红球的概率上1x2*x±1x1+x2+2x2*x2*x1±x1±1=二，故D错误.

332233223

故选：C.

3.（2024•辽宁・模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6,若乙先着子，则乙胜的

概率为0.5,若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每

局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（）

A.0.5B.0.6C.0.57D.0.575

【答案】D

【解析】由题意知，

一二局甲胜的概率为：-x0.6x0.5+-x0.5x0.5=0.275,

22

一三局甲月生的概率为：-x0.6x0.5x0.6+-x0.5x0.5x0.6=0.165,

22

二三局甲月生的概率为：-x0.4x0.6x0.5+-x0.5x0.6x0.5=0.135,

22

因此最终甲胜的概率为0.275+0.165+0.135=0.575,

故选：D.

4.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个

方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（）

A.互斥但非对立事件B.对立事件

C.非互斥事件D.以上都不对

【答案】A

【解析】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，

所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互

斥但非对立事件；

故选：A

5.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数大于4”为事

件则事件A,B中至少有一个发生的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6423

【答案】D

【解析】由题意得事件A,3中至少有一个发生的对立事件是事件A,B都不发生，

12

而事件A不发生的概率为,，事件/不发生的概率为

191

所以事件A,8都不发生的概率为=

12

故事件A,8中至少有一个发生的概率是1-,故D正确.

故选：D

6.甲袋中装有加个白球，w个黑球，乙袋中装有，7个白球，加个黑球(根力”)，现从两袋中各摸一个球，A=

“两球同色”，3=“两球异色”，则P(A)与P(8)的大小关系为()

A.尸(A)<P(B)B.