2025年中考数学高频考点突破：圆的切线的证明（含详解）

2025年中考数学高频考点突破一一圆的切线的证明

1.已知四边形A8C。内接于。O,连接AC,BD,若是。。的直径，AC平分

过A作NBAE=ZBDA,AE与CB的延长线交于点E.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)若5c=0,AC=l+2&，求图中阴影部分的面积(结果保留万).

2.如图，是：。的直径，CD与:。相切于点C,ZABC=2ND.

⑴求证：AC=CD；

(2)若3。=3cm,求。的半径.

3.如图，已知AB是。。的直径，点。在A3的延长线上，CD为O的切线，过。作

与AC的延长线相交于E,BD=1,DE=45.

F

(1)求证：CD=DE-

(2)求,。的半径；

(3)若NAC3的平分线与,：。交于点尸，尸为VABC的内心，求Pb的长.

4.如图，AB是：。的直径，AC与。交于/，弦A。平分DEJ.AC,垂足为E.

(1)判断直线DE与。的位置关系，并说明理由.

⑵若。的半径为3,若NC4B=60。，求线段EF.

5.如图，已知A3是，。的直径，AB=BE,连接AE交：。于点O,尸D切:。于点。,

交54的延长线于点P,交于点C.

(1)求证：BE±PC；

3

(2)连结OC,如果OC="T,tanZP=-,求(。的半径.

6.如图，43为。。的直径，弦0)，48于5，E为延长线上一点，CE交。0于点,F,

连接AD,DB,BF,DF,BC.

(1)求证：BF平分NDFE.

(2)若EF=DF,BE=8,。。的半径为5,求Aa的长.

c

E

7.如图，已知在VABC中，AB=AC,以AC为直径的O分别交AB,BC于D,E两点,

BFLCF于点、F,且BF=BD.

⑴求证：FC是:。的切线.

3

(2)若BF=1,CE.,求：。的半径.

8.如图，四边形A3C。内接于《。，BC=CD，点E在A3的延长线上，NECB=NDAC.

⑴求证：EC是，。的切线；

⑵若4)=5,ZE=30°,求。的半径.

9.如图，AB是，。的直径，点C,。在。上，AC=CD,AQ与2C相交于点E,点尸在

BC的延长线上，且=

F

A

(1)求证：AF是；。的切线；

4

⑵若AC=4,cosZABC=j,求cosABAD的值.

10.如图，4B是C。的直径，点C是。上的一点(点C不与点A,8重合)，连接AC、BC,

点。是48上的点，AC=AD,BE交CD的延长线于点E,且5E=5C.

⑴求证：BE■是的切线；

(2)若。的半径为5,tan£=1,则BE的长为.

11.如图，在AACE中，以AC为直径的。。交CE于点。，连接A。，S.ZDAE=ZACE,

连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与。。相切于点2.

(1)求证：AP是。。的切线；

⑵连接交OP于点尸，求证：△MDsADAE；

1AE

(3)若tan/Q4/=g,求芸的值.

12.如图，。是△ABD的外接圆，是C。的直径，C是A3延长线上一点，△现出在O

上，连接DC,若/DEB=NCDB.

D

£

(1)求证：CD为。的切线;

⑵若AB=20,BD=DE=4A/5,求8E的长.

13.如图，在VABC中，AB=AC,3。为VABC外接圆。的直径，点E为胡延长线上一

点，连接DE,且NE=NC.

⑴求证：DE是:。的切线：

(2)若AE=1,AB=4,求CB的长.

14.如图，A3为圆。的直径，C为圆。上一点，。为弦BC的中点，过点C的切线与。。的

延长线相交于点E,连接3E.

⑴求证：BE是圆。的切线；

⑵当AB=10,AC=8时，求线段BE的长.

15.如图，VABC内接于C。，且A3为:：。的直径，ZAC3的平分线交〈。于点D,过点

。在左侧作ZADP=/BCD交CA的延长线于点P,过点A作AECD于点E.

⑴求证：DP//AB；

⑵求证：尸。是＜。的切线；

(3)若AC=6,BC=8,求线段尸£＞的长.

参考答案:

1.（1）见解析

99

(2)-71一一

84

【详解】（1）连接Q4,如图,

AC平分N8CQ,

.\ZDCA=ZBCA,

:.AD=AB^

..AD=AB,

D5是直径，

.\ZZMB=90°,

/.DAB是等腰直角三角形，

.\AO.LBD,

.\ZABD=ZADB,

AD=AD>

.\ZDCA=ZDBA,

ZBAE=ZBDA9

:.ZBAE=^DBA,

:.AE//DB,

AO±BD,

:.OA±AE

A是。上的点，则。4为半径,

.•.AE是：。的切线

(2)如图，过点3作3/1AC,

c

AOD是等腰直角三角形

:.ZADO=45°

AB=AB

:.ZACB=ZADB=45°

：.BCF是等腰直角三角形

BC=y/2CF

BC=0

：.BF=CF=I

AF=AC-CF=I+2V2-1=2V2

在RtABR中，AB=y/BF2+AF2=JI2+（2>/2）2=3

BD=y/2AB=3A/2

.,OA=^

2

一s阴影部分一S扇形3。—SAAOD

99

——71------

84

2.⑴见解析

(2)3cm

【详解】(1)证明：连接OC,

/.ZACB=90°,OC-LCDf

：.ZACB=ZOCD=90°,

ZOCB+ZACO=ZOCB+/BCD,

:.ZACO=NBCD,

ZABC=2ZD,

:./BCD+/D=2/D,

../BCD=ND,

OA=OC,

ZACO=AA,

:.ZA=AD,

AC=CD；

(2)解：由(1)得：ZD=ZBCD=ZA=ZACOf

BC=BD=3cm,

ZBOC=ZA+ZACO,ZABC=ND+NBCD,

丁./BOC=ZABC,

OC=BC,

OB=OC,

OC-BC=OB,

BC=OB=BD=3cm,

.•。的半径为3cm.

3.(1)证明见解析；(2)2；(3)2A/2.

【详解】证明：(1)如图，连接OC,

OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

CD是。的切线，

OC±CD,BPZOCD=90%

ZOCA-^-ZDCE=90°,

EDLAD,

.­.ZtMC+ZE=90°,

.•"DCE=NE,

CD=DE；

(2)设O的半径为r，则05=0。=〃，

BD=1,

:.OD=OB+BD=r+\,

由(1)已证：CD=DE,

CD=^5,

在RfCOD中,OC1+CD1=OD2,即产+(君门=(r+1)?,

解得r-2>

即。的半径为2；

(3)如图，连接AEBRPB,

AB是的直径，

ZACB=ZAFB=9Q°,

CF平分ZACB,

ZACF=Z4=-ZACB=45°,

2

由圆周角定理得：/I=NACF=45。=N4,

;.凡ABF是等腰直角三角形，AF=BF,

AB=y/AF2+BF2=J2BF

由(2)已得：AB=2OB=4,

y/2BF=4，解得8F=2夜，

P为VABC的内心，

Z2=Z3,

:.NFPB=Z3+Z4=Z2+Z1=NFBP,

:.PF=BF=272.

4.(1)直线DE与(0相切，见解析

【详解】（1）解：直线£>£与（。相切，理由如下:

连接OO,

AD平分/BAC,

:.ZOAD=ZCAD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

:.ZODA=ZCAD,

:.OD//AC,

DEI.AC,即ZA£D=90°,

/ODE=90°,即OE人OD,

OD是半径，

:.DE是。的切线；

（2）解：过。作OGLA尸于G,

QZR4C=60°,OA=3,

13

AG=-OA=-

229

.\AF=3,

;.AF=OD,

••・四边形Aor4是菱形，

:.DF//OA,DF=OA=3,

.\ZEFD=ZBAC=60°f则N£»尸=30。，

13

:.EF=-DF=-.

22

5.(1)见解析；(2)5

【详解】解：⑴证明：连接0。，

AB=BE,

：.ZEAB=ZE,

9：OD=OA,

：.ZEAB=ZADO.

：.ZE=ZADO,

：.ODHBE,

・・,尸。切。于点O,

ZPDO=90°,

AZPCB=90°,

即3E_LPC.

3OD3

(2)VtanZP=-,BR—=-

4PD4

・••设OD=3左，PD=4k,

・,•由勾股定理得，OP=5k,

•：ODIIBE,

.CDBO

••=,

PDPO

：.CD=^k,

在Rt^CDO中，CD1+OD-=OC2,

/.(y>t)2+(3^)2=(^)2

解得左=*,

3

0D=5

圆。的半径等于5.

1Q

6.(1)见解析；(2)AH=y

【详解】(1)证明：・・・。、D、B、尸四点共圆,

AZEFB=ZCDB,ZBCD=ZDFB,

VCZ)±OA,

・•・CH=DH,

：.BC=BD,

；・/BCD=/CDB,

：.ZEFB=ZDFB,

：・BF平分/DFE；

(2)解：•・•在△ObB和△EbB中，

DF=EF

</DFB=/EFB,

FB=FB

•••△DFBmLEFB(SAS),

：.BD=BE,

・：BE=8,

：.BD=Sf

TAB为。0直径，C0_LAB,

・•・ZADB=ZDHB=90°,

'：NDBH=NABD,

・•・ADHBs4ADB,

.BDBH

••法—记‘

设AH=x,

・.・。0的半径为5,30=8,

.\AB=10,BH=10-X9

.8_10-x

••=，

108

1Q

解得：X=g,

1Q

即AH的长是

7.(1)见解析

⑵：

【详解】(1)证明：连接8,

F

〈AC为，。的直径，

・•・ZADC=ZBDC=90°,

■:BF工CF,

：.ZBFC=90°=ZBDC,

BD=BF,CB=BC,

：・《DB组CFB,

ZDBC=/FBC,

;AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

:./FBC=ZACB,

：.AC//BF,

：.OCLCF,

又OC为。的半径，

・・・FC是。的切线；

(2)连接AE,O£,0E交CD于点H,

・・・AC为「O的直径，

AELBC,

,:AB=AC,

：.BE=CE,ZBAE=ZCAEf

DE=CE，

：.OELCD,

：.CH=DH,

JHE是△CD5的中位线，

.・・HE=-BD=-BF=-

2229

在RtZkaffi中，CH=ylcE2-EH2=V2，

设。的半径为〃，贝lj：OC=OE=r,

：.OH=

2

在RtO/fC中,OC2=OH2+CH\即：r2+2,

9

解得：

4

9

・・・。的半径为了.

4

8.⑴见解析；

(2)5.

【详解】(1)证明：如图，连接C。并延长交。于点M,连接MB.

,:BC=CD，

：.ZCAD=ZCAB.

又•：/CAB=/CMB,ZECB=ZCADf

：.ZECB=ZCMB.

〈CM是：O的直径，

JNC3M=90。.

・・・NCMB+NBCM=90。.

；・/ECB+/BCM=90°.

:.OC.LCE.

・・・EC是。的切线.

(2)如图，连接并延长交：。于点N,连接AN.

ZECB=ZCAD,

ZADC+ZABC=180°,

ZABC+ZC6E=180°,

・・・ZADC=ZCBE.

:ASO°-ZCAD-ZADC=1SO°-ZCBE-ZECB.

：.ZDCA=ZE=30°.

•：DN是。的直径，

・•・ZDAN=90°.

在Rt^DAN中，

ZDCA=ZDNA=30°f

・•・DN=2AD=10.

・・・0的半径为5.

9⑴见解析

24

(2)cos/BAD=—

【详解】(1)证明：•・・AC=CD,

AC=CD^ZCAD=ZCDA,

AZCDA=ZABCf则NC4D=NABC,

•・•A3是直径，

・•・ZACS=90°,

A^ABC+ZBAC=90°,

VAE=AF,则AAEF是等腰三角形，且NACB=90。,

：.ZFAC=ZCADfCE=FC,

：.ZFAC=ZCAD=ZABC,

：.ZFAC+ZCAB=90°,

：.AF±AB,

又,:A5是直径，

・・・AF是。的切线.

(2)解：如图所示，连接3£),

AC4

cosZ.ABC=cosZ.CAD==—,AC=4,

AE5

：.AE=5,

：.AF=AE=5,CE=y/AE2-AC2=^52-42=3^

：.CE=CF=3,

・・丁ACAB

・tanNF=---=-----,

CFAF

-4_A/

3-V

VcosZABC=-=—,

5BF

257

・・・BE=BF-EF=——(3+3)=-,

33

■:/CAD=/CBD,ZAEC=NBED,

AACEs^BDE,

.AEEC

'~BE~~DE

5_3

1一瓦，

3

732

A0=-+5=—

55

35224

-

cos/BAD=----=2-5-

20一

AB3

10.(1)证明见解析

(2)8

【详解】(1)证明：AB是：。的直径,

/.ZACB=90°,

.\ZACD+ZBCD=90°,

AC=ADf

:.ZACD=ZADC,

ZADC=ZBDEf

..ZACD=ZBDE,

BE=BC,

:./BCD=NE,

...NJ3DE+N£=90。，

ZDBE=180°-(ZBDE+ZE)=90°,

即

AB为(。的直径，

:.BE是。的切线；

(2)解：tanE=—,tanE=,

2BE

,DB1

••一，

BE2

设。5=无，贝Ij5£=2x,

/.BC=BE=2x,AD=AB—BD=10—x,

AC=AD,

AC=10—x,

AB是］。的直径，

:.ZACB=90°9

：.AC2+BC2=AB2,

(10-X)2+(2X)2=102,

解得：x=0(不合题意，舍去)或1=4.

/.BE=2x=8.

故答案为：8.

n.(1)证明见解析

⑵证明见解析

⑶2/Izl

2

【详解】(1)证明：AC为。的直径,

/.ZAZ>C=90°,

.\ZACE+ZC4r)=90o,

ZDAE=ZACE,

二.NDA石+NCW=90。，即NC4E=90。，

/.ACYAP,

」.AP是。的切线.

(2)证明：AP和B尸都是。。的切线,

...OP垂直平分A5,

:.ZAFD=900=ZADEf

ZDAE+ZCAD=90°,ZDAE+ZAED=90°,

.\ZCAD=ZAEDf

OA=OD,

:.ZCAD=ZADF,

.\ZADF=ZAED,

(ZAFD=ZADE=90°

在△府和‘小中'\ZADF=ZAED

:.^FAD一DAE.

(3)解：OP±AB,tanZOAF=-,

2

■0F.1

••=—，

AF2

设=x{x>0),则AF=21，

.-.OD^OA^s]OF2+AF2=非x，

Ap—,即y3

tanZAOF=——

OAOFV5xx

解得A尸=2&x,

DF=OD-OF=(#-l)x,

AD=VAF2+£>F2=J10-2岛,

由(2)已证：VE4Z):VZME,

ADAF刖，10-2岛2x

?.——二——,即----------=

AEAE”0—20

解得AE=(5-石)x,

m.AE(5-V5)x75-1

AP282

12.(1)见解析

⑵16

【详解】(1)解：证明：如图1,连接OO.

图1

AB是。的直径，

ZADB=90°f

:.ZA^-ZOBD=90°.

OD=OB,

：.ZODB=ZOBD.

ZA=NDEB,/DEB=/CDB,

:.ZA=NCDB,

/.ZODB+ZBDC=90°,

J.ODVCD

・•,CD为。的切线.

图2

BD=DE,

BD=DE，

s.ODLBE,BH=EH=-BE.

2

AB=20,

,\OB=OD=10.

设O”=x,贝iJO”=10—x.

BH2=BEr-DH-，BH2=OB2-OH2,

:.BD2-DH2=OB2-OH2,

(4V5)2-(10-X)2=102-X2,

解得x=6,

:.OH=6,

BH=yjOB2-OH2=8，

:.BE=2BH=16.

13.(1)见解析

【详解】（1）证明：连接AD,

则=

•/NC=NE,

AZE=ZADB,

；BD为。直径，

ZBAD=90°,

ZABD+ZADB=90°,

：.ZABD+ZE=90°,

：.Z.BDE=180°-ZABD-ZE=90°,

，BD±DE.

；BD为O直径.

/.DE是一。的切线.

(2)过A作AN_LBC交于N,

c

•:/BDE=ZADE+ZADB=90。,ZABD-^ZADB=90°f

：.ZABD=ZADE,

丁ZBAD=ZDAE=90°,

.ADE^ABD,

.AEAD

**AD-AB,

:.AD2=AEAB^

VAE=1,AB=AC=4.

AD2=4，

**•AD=2,

在RtAABD中，

BD=^AB2-}-Ab2=275，

u：AB=AC,AN.LBC.

：.ZANC=ZBAD=90°,BC=2CN,

'：/C=ZADB,

：.AANCSABAD,

.ACCN

••茄一茄’

・•・2&N=8,

：.CN=^y[5f

：.BC=2CN=^y/5.

14.⑴见解析

【详解】（1）证明：在C。中，为弦BC的中点,

・•・ODA.BC,

・•・。石垂直平分5C,

:.CE=BE,

：・/EBC=NECB,

又,：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

・・・CE是。的切线，

ZOCE=90°,

:.NOBE=NEBC+NOBC=NECB+NOCB=NOCE=90。,

又•・・A3为：。的直径，

：・BE是。的切线；

(2)解：・・・为。的直径，

・・・ZACB=90°f

VAB=10,AC=8,

,,BC=VAB2—AC2=6，

・・・BD=-BC=3,