2025年新高考数学一轮复习：古典概型、概率的基本性质【八大题型】原卷版

古典概型、概率的基本性质【八大题型】

►热点题型归纳

【题型1古典概型】...........................................................................3

【题型2有放回与无放回问题的概率】..........................................................3

【题型3概率基本性质的应用】................................................................4

【题型4几何概型】...........................................................................4

【题型5古典概型与函数的交汇问题】..........................................................6

【题型6古典概型与向量的交汇问题】..........................................................6

【题型7古典概型与数列的交汇问题】..........................................................7

【题型8古典概型与统计综合】.................................................................8

►考情分析

1、古典概型、概率的基本性质

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第5

题，5分

古典概型、概率的基本性质是概率

2023年全国乙卷（文数）：

的基础内容，从近几年的高考情况来看，

⑴掌握古典概型及其计第9题，5分

本节是高考的热点内容，主要考查古典

算公式，能计算古典概型2023年全国甲卷（文数）：

概型及其计算、概率的基本性质等，主

中简单随机事件的概率第4题，5分

要以选择题或填空题的形式考查，难度

（2）了解概率的基本性质，2024年新高考I卷：第14题，

不大；在解答题中出现时，往往古典概

能计算简单随机事件的概5分

型会与统计等知识结合考查，难度中等，

率2024年全国甲卷（文数）：

复习时需要加强这方面的练习，学会灵

第4题，5分

活求解.

2024年全国甲卷（理数）：

第16题，5分

►知识梳理

【知识点1古典概型及其解题策略】

1.古典概型

(1)事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件/的概率用P(4)表示.

(2)古典概型的定义

我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

(3)古典概型的判断标准

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所

有的试验都是古典概型.

下列三类试验都不是古典概型：

①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能；

②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；

③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.

2.古典概型的概率计算公式

一般地，设试验K是古典概型，样本空间/包含〃个样本点，事件/包含其中的左个样本点，则定义

事件/的概率P(⑷=幺=二螺，其中，〃(⑷和〃(。)分别表示事件/和样本空间。包含的样本点个数.

nn(LJ)

3.求样本空间中样本点个数的方法

(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，

有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.

(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.

4.古典概型与统计结合

有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描

述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概

率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.

【知识点2概率的基本性质】

1.概率的基本性质

性质1对任意的事件都有P(4)>0.

性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即尸(。)=1,

P(0)=O.

性质3如果事件/与事件3互斥，那么尸(4UB)=P(/)+P

(B).推广：如果事件小，A2,Am.两两互斥，那么事件

4U4U…U4n发生的概率等于这m个事件分别发生的概率

之和，即尸(4U4U…U4)=p(4)+尸(42)+…+尸(4)

性质4如果事件/与事件5互为对立事件，那么尸(5)=1-P(A),

P(A)=1

性质5如果那么尸(A)<P(B).

性质6设4,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(4U5)=尸

(A)+P(B)-P(406).

2.复杂事件概率的求解策略

(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率

就是这些简单事件的概率的和.

(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立

事件的概率，然后转化为所求问题.

【方法技巧与总结】

1.概率的一般加法公式尸(/118)=2(/)+尸(2)-尸(/ng)中，易忽视只有当/riB=0,即48互斥时，

P(/U8)=尸(N)+P(3),此时08)=0.

►举一反三

【题型1古典概型】

【例1】(2024•陕西商洛•模拟预测)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2

张卡片上的数都是奇数的概率为()

【变式1-1](2024•内蒙古包头•三模)将2个。和3个6随机排成一行，则2个。不相邻的概率为()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【变式1-2](2024・西藏拉萨•二模)从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10

的偶数的概率是()

【变式1-3](2024•内蒙古呼和浩特•二模)袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白

球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为()

【题型2有放回与无放回问题的概率】

【例2】（2024•全国•模拟预测）盒中装有1,2,3,4四个标号的小球.小明在盒中随机抽取两次（不放

回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（）

1111

A-4B.5C,-D.-

【变式2-1］（23-24高三上•贵州•阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2

张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

【变式2-2］（23-24高二下•四川眉山•阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,

放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

N二1--

10B5cJ10DU-5

【变式2-3］（23-24高三上・江苏南京•阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张,

则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

【题型3概率基本性质的应用】

【例3】（2024•全国•模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不

放回地摸球两次,每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为白，“两个球都是白球”的概率为，则“两

个球颜色不同”的概率为（）

A—R—Q—D—

、1515J15”15

【变式3-1］（24-25高二上・吉林•阶段练习）设4B是一个随机试验中的两个事件，且。（4）=JP（B）=|,P

（4+豆）=p贝UPO18）=（）

A1B工C-D—

A.335J510

【变式3-2］（23-24高二下•浙江舟山・期末）设/,8是一个随机试验中的两个事件，且PQ4）=今P（R）=

P（AB+AB）=p贝UPQ4+B）=（）

【变式3-3］（23-24高二上•重庆•阶段练习）已知4B,C,。四个开关控制着1,2,3,4号四盏灯，只要

打开开关2则:1,4号灯就会亮，只要打开开关B则2,3号灯就会亮，只要打开开关C则3,4号灯就会亮，

只要打开开关。则2,4号灯就会亮.开始时，A,B,C,。四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开

A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（）

【题型4几何概型】

【例4】（2024•陕西榆林•模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由

五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，

若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（）

【变式4-1］（2024•全国•模拟预测）如图，正六边形。PQRST的顶点是正六边形4BCDEF的对角线的交点.

在正六边形4BCDEF内部任取一点，则该点取自正六边形。PQRS7内的概率为（）

【变式4-2］（2024・四川•模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他

民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会

认知、道德观念等.剪纸艺术遗产先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名

录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族

对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和

平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如

果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（）

2V3K

A.里B.C.D,也

671671

【变式4-3］（2024•陕西商洛•模拟预测）如图,圆。是正三角形4BC的内切圆，则在aABC内任取一点,

该点取自阴影部分的概率为（）

1V3K_2.

C.D.1-亨

4~92

【题型5古典概型与函数的交汇问题】

【例5】（2024•江西景德镇•模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,贝厂在函数/（x）=%2+ax+b

aX_lj-X

的图象与X轴有交点的条件下，满足函数g（x）=而而为偶函数”的概率为（）

A4c2c

A.—B.m-备D-方

【变式5-1］（23-24高二上•山东荷泽•开学考试）己知集合2={0,1,2,3},aeA,beA,则函数/（久）=a%2

+bx+l有零点的概率为（）

3135

--C--

A.428D.

B.16

【变式5-2］（23-24高一下•陕西宝鸡•期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为小和九，则函数

y=zn%2—4九%+1在［1,+8）上是增函数的概率是（）

1134

A.%B-4C-4D.g

【变式5-3］（23-24高一下•广西崇左•阶段练习）已知集合4=｛1,2,3,4,5,6｝,ae4力€4,则“使函数=

ln（%2+a久+6）的定义域为R”的概率为（）

AgB

八，36D--36JC-36uD.-36

【题型6古典概型与向量的交汇问题】

【例6】（2024・安徽黄山•一模）从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数a,从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数6,则

向量沆=（a,6）与向量丘=（2,-1）垂直的概率为（）

A.!B.IC.|D.|

【变式6-1］（23-24高一下•河北保定•阶段练习）已知科几6｛—2,—1,1,2｝,若向量方==（1,1）,

则向量2与向量至夹角为锐角的概率为（）

A巨Bc—£）-

A-16-416U-8

【变式6-2］（23-24高一下•天津滨海新•阶段练习）从集合｛0,1,2,3｝中随机地取一个数a,从集合｛3,4,6｝中

随机地取一个数b,则向量访=（ha）与向量五=（1,一2）垂直的概率为（）

）

AA.—I?'g-3Lp.-4Dr.-6

【变式6-3］（23-24高二上•湖北黄石•期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为

1,2,3,4,5,6）,先后抛掷两次，将得到的点数分别记为机，n,记向量花=（2m—3/—1）,加=（1,—1）的夹

角为仇则。为钝角的概率是（）

【题型7古典概型与数列的交汇问题】

2

［例7］（23-24高三下•河南•阶段练习）记数列｛an｝的前n项和为Sn,已知Sn=an—4cm+b,在数集｛—1,0,1｝

中随机抽取一个数作为a,在数集｛—3,0,3｝中随机抽取一个数作为6,则满足Sn2s2（neN*）的概率为（）

【变式7-1］（23-24高三上•河南许昌•阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个

关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第

三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每

个月的兔子总对数是：1,1,2,3,5,8,13,21,这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是册=

an_i+an_2（n>3meN*）,其中a1=1,a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是

偶数的概率为（）

673

2021

c-iD.嬴

【变式7-2］（2024•北京•模拟预测）斐波那契数列仍九｝因数学家莱昂纳多・斐波那契（LeoTwrdodaFiboTiaci）

以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，占无限趋近于黄金分割数，也被称

pn+l

为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列｛Fn｝满足％=&=1，Pn+2=Fn+1

+Fn,若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（）

1723

A.5B.-C.-D.-

-1

【变式7-3］（2024•江苏•一模）若数列｛即｝的通项公式为即=（一I）"，记在数列｛an｝的前n+2（neN*）

项中任取两项都是正数的概率为Pn，则（）

A.Pi=|

B.Pin<P2n+2

C.P2n-l<P2n

D.P2n-1+P2n<02n+l+P2n+2-

【题型8古典概型与统计综合】

［例8］（2024•全国•模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的

满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中

满意度评分在［76,84）的游客人数为18.

频率

（1）求频率分布直方图中a力的值；

⑵从抽取的50名游客中满意度评分在［60,68）及［92,100］的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的

5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在［60,68）的概率.

【变式8-1］（2024・四川成都・模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能

力具有重要作用.某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查

他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生

中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.

时长t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

学生人数5010020012525

（1）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）；

（2）若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在［0,20）和［20,40）的两组中共抽取

6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均

时长在［0,20）的概率.

【变式8-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主

任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根

据直方图所提供的信息:

（1）①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数;

②用分层抽样的方法在［20,25）和［25,30］中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检

测的3人来自同一区间的概率.

（2）①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；

②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长;

【变式8-3】(2024•宁夏石嘴山•三模)为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某

高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参

与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占最

(1)求抽取的200名学生的平均成绩3(同一组数据用该组区间的中点值代替)；

(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，

在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；

(3)若比赛成绩x>79+s(s为样本数据的标准差),则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀

的人数.

参考公式：s=〉(/一动人，(人是第i组的频率)，

参考数据：囱=5.5

►过关测试

一、单选题

1.（2024•贵州•模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个

盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A.-B.-C.gD.-

2.（2024•陕西西安•一模）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（）

3.（2024•上海长宁•一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件/为：至少一个点数是奇数；事件5为:

点数之和是偶数；事件/的概率为PQ4）,事件2的概率为P（B）；贝驻―PQ4CB）是下列哪个事件的概率

A.两个点数都是偶数B.至多有一个点数是偶数

C.两个点数都是奇数D.至多有一个点数是奇数

4.（2024•四川乐山•三模）在区间［一5,10］上任取一个整数小，则使函数/'（x）=/——2nl存在两个不

同零点的概率为（）

1-3c13r15

A•痴B.痴C,-D.-

5.（2024・四川内江•三模）口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1,1,2,2,

3,3,从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（）

A.1B.|C.|D.1

6.（23-24高一下•福建福州•期末）已知数据1,2,3,5,m。"为整数）的平均数是极差的赧，从这5

4

个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）

.2「3厂3

A.gB,-C.gD.-

7.（23-24高三上•山东济南•阶段练习）把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线

把正方体切开.若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）

8.（2024•北京东城•二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小

球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次

摸到的小球颜色不同的概率为（）

A.-B."C.-D.-

二、多选题

9.（2024•甘肃武威•模拟预测）某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计

□第三季度□第四季度

其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍.则下列说法正确的是（）

A.该公司四个季度的销售额先增长再下降

B.从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为1

C.从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为3

D.从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为:

O

10.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取

出2个球.事件/="两次取到的球颜色相同"；事件2="第二次取到红球“；事件C="第一次取到红球”.下

列说法正确的是（）

A.4UBB.事件8与事件C是互斥事件

C.P(4B)=TD.P(B+C)=3

11.（2024•广东梅州•一模）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格,

并且总是向右或右上或右下移动，而一■条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9,1—2—375—7->8r9

就是一条移动路线.从1移动到数字巩几=2,3，…,9）的不同路线条数记为rn,从1移动到9的事件中，跳过

数字n（n=2,3,…,8）的概率记为无，则下列结论正确的是（）

A.「6=8B.rn+1>rn

9

C.P5=五D.p7>p8

三、填空题

12.（2024・重庆•模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现

甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为.

13.（2024•江苏•模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去

1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为.

14.（2024・四川自贡・二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的,

即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心

分别为。，。1，02,半径分别为R,ri,r2（其中R>「i>r2），在半圆。内随机取一点，此点取自图中鞋

匠刀形（阴影部分）的概率为:，则斌=