2024-2025学年福建省泉州市安溪县高二上学期11月期中质量监测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省泉州市安溪县高二上学期11月期中质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay−1=0平行，则实数A.a=1 B.a=−1 C.a=1或−1 D.02.四面体ABCD的所有棱长都是2，则AB⋅CD=A.23 B.4 C.2 3.已知a,b,cA.2a+b，a+2b，b+c

B.2a，b，3c

C.2a+34.空间直角坐标系中，已知A(2,0,0)，B0,2,0，C0,0,2，则下列哪个点在平面ABC内(

)A.12,12,1 B.2,0,2 5.《九章算术》是中国古代数学的经典著作，书中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AB=AC=AA1=2，P是B1C1的中点，则C到平面ABPA.3 B.355 C.6.已知点Q在圆x+32+y−22=49上，点P1,5A.1 B.7 C.13 D.157.三棱锥P−ABC中，PA=BC=5，PB=AC=10，PC=AB=13，M，NA.1 B.2 C.5 D.8.已知一对不共线的向量a，b的夹角为θ，定义a×b为一个向量，其模长为a×b=a⋅bsinθ，其方向同时与向量a，b垂直(如图1所示).在平行六面体OACB−O′A′C′B′中(A.向量OA×OB平行于平面OACB

B.当∠AOO′∈0,π2时，OA×OO′=OA⋅OO′tan∠AOO′

C.若二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=m−1,2m,2，b=2,m,1A.若a//b，则m=3 B.若m=−1，则a⊥b

C.a的最小值为210.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点PA.不存在点P，使得过A，B，P三点的截面面积为6

B.PA+PM的最小值为17

C.若MP⊥AM，则点P的轨迹长度等于23

D.若Q是B111.已知圆Q：x2+y+22=8，点A在直线x−y+6=0上，过A作圆Q的两条切线AM，AN(M,N为切点A.AM∈26,+∞

B.当AN⊥x轴时，四边形AMQN的面积为62

C.原点O到直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l1：3x−4y+1=0与l2：6x−8y+7=0的距离为

．13.已知a=−2,4,2，b=1,−2,1，则a与b夹角的余弦值为14.已知圆C1：x−22+y−42=5与和圆C2：x−82+y−72=20，圆C和圆四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l：2x−5y+3=0，l1：y=−1，直线l与l1(1)求过点A且与l垂直的直线l′的方程；(2)点B是直线l1上异于A的一点，若l为∠BAC的角平分线，求点C所在的直线l216.(本小题15分)已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，底面是正方形，AB=2，AA1=1，∠BAA1(1)用向量a,b,c表示向量(2)设点E满足AE=λAC，是否存在λ使得E，M，N三点共线，若存在求出λ17.(本小题15分)如图所示，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为PB中点．

(1)证明：AD⊥DC；(2)E为AB上异于A，B的点，平面PEC与平面ADC夹角余弦值为23，求AE18.(本小题17分)在平面直角坐标系xoy中，两点A−1,0，B9,0，点P满足(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：xcosθ+ysinθ−4cosθ−4=0，(3)过点A作直线l交曲线C于M，N两点，D5,0求▵DMN面积的最大值．19.(本小题17分)在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=a,b,c，点P0x0,y0,z0.若直线l以u为方向向量且经过点P0，则直线l(1)已知直线l的标准式方程为x−12=y−2=3−z3，平面α1的点法式方程可表示为x−3y+2z−4=0(2)若集合M=x,y,zx+y≤2,z≤2(3)若集合N=x,y,zx+y≤4,y+z≤4,z+x≤4参考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.A

8.B

9.BCD

10.ABD

11.AD

12.12或0.513.−214.x−6215.(1)令y=−1，则2x−5×−1+3=0，解得则A−4,−1，因为直线l的斜率kl=则直线l′的方程为y+1=−52x+4(2)取点B0,−1，设其关于直线2x−5y+3=0的对称点B则b+1a×2则点C所在的直线l2的方程y+1=−1−51

16.(1)因为AM=AN=所以NM=所以NM==所以MN=(2)假设存在λ满足条件，所以ME=因为E，M，N三点共线，所以设NM=k所以−1所以−16故λ=1

17.(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为AB⊥BC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，且AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD，因为PA=AB，D为PB中点，所以AD⊥PB，因为PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC，所以AD⊥平面PBC，又因为CD⊂平面PBC，所以AD⊥DC．(2)以B为原点，分别以BC,BA，过B平行于AP方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，设E0,t,00<t<2，且所以EP=0,2−t,2,设平面PEC的一个法向量为n=所以n取x=t，则y=2,z=t−2，所以n=设平面ADC的一个法向量为m=所以m取a=1，则b=1,c=1，所以m=所以cosm解得t=1或t=−2(舍去)所以E为AB中点，所以AEEB

18.(1)设P(x,y)，由PA2+PB化简可得x−42所以点P的轨迹C的方程为x−42(2)由题意可得x−4cos因为x−4cos所以点Q的集合为x−42+y2<4，即所以面积为S=π(3)

设直线方程为x=my−1，联立x−42+y2=16Δ=100m设Mx则y1由弦长公式可得MN=又D5,0到直线x=my−1的距离d=所以S▵DMN令t=m2所以S▵DMN=24tt2所以▵DMN面积的最大值为485

19.(1)由题知，直线l的一个方向向量坐标为m=2,1,−3，平面α1设直线l与平面α1所成角为β，则有sin所以cosβ=1−sin2β=(2)对于|x|+|y|≤2，当x≥0,y≥0时，x+y≤2，它表示直线x+y=2在第一象限及坐标轴上的部分；同理，当x≥0,y≤0时，x−y≤2；当x≤0,y≥0时，−x+y≤2；当x≤0,y≤0时，−x−y≤2．这四条直线围成一个以(2,0),(0,2),(−2,0),(0,−2)为顶点的正方形，其面积S0因为|z|≤2，所以几何体S是一个底面为正方形，高为根据柱体体积公式V=S0ℎ，这里S0=16

(3)由集合N=(x,y,z)|T由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥