2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线23x−2y−1=0的倾斜角是A.π6 B.π3 C.2π32.等差数列{an}的前n项和为Sn，a4A.10 B.20 C.30 D.403.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，O为原点，点M在抛物线C上，且|MF|=5，则△OMF的周长为(

)A.6+42 B.7+42 C.4.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为(

)A.10种 B.20种 C.30种 D.40种5.《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为(

)A.1尺 B.1.5尺 C.11.5尺 D.12.5尺6.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线ax−y+3=0平行，则(

)A.a=0或a=−13 B.a=−1或a=−2

C.a=−1 7.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为AA.|PA|的最小值为2B.|PA|最小时，弦AB长为6

C.|PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1D.四边形PACB的面积最小值为8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2A.(2,2) B.(1,3)二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9<0A.a1>0 B.a10>0 C.S910.已知点M(1,0)关于直线mx−y+1=0(m∈R)的对称点N在直线x+y=0上，则实数m的值为(

)A.3 B.2 C.−311.瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)到两个定点A(−a,0)，B(a,0)的距离之积等于a2(a>0)的点P的轨迹称为双纽线，则当a=1时，下列结论正确是(

)A.点(2,0)在双纽线上

B.点P的轨迹方程为(x2+y2)2=2(x2−y12.已知椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线A.椭圆C上的点到F1的最短距离为2 B.F2到直线l距离的最大值为4

C.|PF2|+|QF2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.直线l1过点(1,1)且与直线l2：6x−4y−3=0平行，则直线l1和l14.(2−1x)(1+x)15.“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有______个.16.等比数列{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的是______(填序号)．

①若a1=1，公比为12，则Sn<2；

②数列{an2}一定是等比数列；

③数列{an+1+an}一定是等比数列；

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．

(1)求三位同学选择的课程互不相同的概率；

(2)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？18.(本小题12分)

已知正项等比数列{an}的方前n项和为Sn，且a1=2,S3=14,n∈N∗．

(1)求数列{an}的通项公式；

19.(本小题12分)

已知A(6,1),B(1,0),C(3,2)在圆M上．

(1)求圆M的标准方程；

(2)若直线l过点C，且被圆M截得的弦长为2，求直线20.(本小题12分)

已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，若数列{Sn}是等差数列，且a2=3a1，n∈N∗．

21.(本小题12分)

已知直线l：2x−y=0和圆C：x2+(y−4)2=1．

(1)判断直线l和圆C的位置关系，并求圆C上任意一点M到直线l的最大距离；

(2)过直线l上的点P作圆C的切线PA，切点为A，求证：经过A，P，C22.(本小题12分)

已知椭圆C的焦点在y轴上，且长轴长为4，离心率为32．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P(0,−3)，直线l：y=kx+1与椭圆C交于M，N两点，求△PMN面积的最大值．

参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.AC

11.BCD

12.BCD

13.1314.10

15.225

16.①②④

17.解：(1)三位同学选择课程共有43=64种情况，三位同学选择的课程互不相同共有A43=24种情况，

所以三位同学选择的课程互不相同的概率为2464=38．

(2)分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》，共有C32×C31=9种不同的情况；

②18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>0，

又S3=14a1=2，所以2+2q+2q2=14a1=2，解得q=2或q=−3(舍)，

所以an=a1qn−1=2n；

(2)证明：由19.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为点A，B，C在圆M上，

所以6+1+6D+E+F=01+0+D+F+09+4+3D+2E+F=0，解得，D=0E=−6F=−1，

所以圆M的方程为x2+y2−6y−1=0，整理得圆M的标准方程为x2+(y−3)2=10；

(2)由题意，可知圆心(0,3)到直线l的距离d=10−1=3．

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，符合题意；

若直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为20.解：(1)证明：因为数列{Sn}是等差数列，且a2=3a1，

所以S1=a1,S2=a1+a2=2a1，

所以{Sn}的首项为a1，公差为S2−S1=a1，

所以Sn=a1+(n−1)a1=na1，所以Sn=n2a1，

当21.解：(1)由条件直线l：2x−y=0和圆C：x2+(y−4)2=1知：圆心(0,4)到直线l的距离d=|2×0−4|22+(−1)2=455>r=1，

故直线l和圆C相离，则有圆C上任意一点M到直线l的最大距离为d+r=455+1；

(2)证明：设点P(a,2a)，

过点A，P，C三点的圆，即以PC为直径的圆，

其方程为x(x−a)+(y−4)(y−2a)=0，

x(x−a)+(y−4)(y−2a)=0与x2+(y−4)2=1相减得到直线的方程为(4−2a)y−ax+8a−15=0，

(4−2a)y−ax+8a−15=