2024-2025学年新教材高中数学第二章圆锥曲线2.2.1双曲线及其标准方程课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十三)双曲线及其标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满意下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4[答案]A2．椭圆eq\f(x2,34)＋eq\f(y2,n2)＝1和双曲线eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,16)＝1有相同的焦点，则实数n的值是()A．±5B．±3C．5D．9B[由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．]3．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为()A．1或21B．14或36C．2D．21D[设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，依据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D．]4．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，则实数k＝()A．eq\f(1,16)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)B[因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，故1＋eq\f(1,k)＝9，所以k＝eq\f(1,8)，故选B．]5．若k∈R，则“k>3”是“方程eq\f(x2,k－3)－eq\f(y2,k＋3)＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k<－3或k>3，故k>3是方程表示双曲线的充分不必要条件．]二、填空题6．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．[答案]x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)7．已知F1、F2是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．16[由双曲线方程得，2a＝8．由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝8， ①|QF2|－|QF1|＝2a＝8， ②①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．]8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．－8[将x2－y2＝16化为标准形式为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1，所以a2＝16，2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8．]三、解答题9．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上随意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1写出具有类似特别的性质，并加以证明．[解]类似的性质如下：若M，N为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上随意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．其证明过程如下：设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，其中eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，即n2＝eq\f(b2,a2)(m2－a2)．∴kPM＝eq\f(y－n,x－m)，kPN＝eq\f(y＋n,x＋m)．又eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，即y2＝eq\f(b2,a2)(x2－a2)，∴y2－n2＝eq\f(b2,a2)(x2－m2)．∴kPM·kPN＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)．故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．10．已知双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．[解]法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(8k3k＋1,4k2－1)．∵A(3，－1)为MN的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3，即eq\f(8k3k＋1,24k2－1)＝3，解得k＝－eq\f(3,4)．当k＝－eq\f(3,4)时，满意Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－y\o\al(2,1)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－y\o\al(2,2)＝1，))两式相减，得eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),4)＝yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1)，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4y2＋y1)．∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．∴kMN＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4y2＋y1)＝－eq\f(3,4)．阅历证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－5＝0．11．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8B[在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2eq\r(2)，则|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝8．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，则4＋|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4．]12．已知动点P(x，y)满意eq\r(x＋22＋y2)－eq\r(x－22＋y2)＝2，则动点P的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线左支C．双曲线右支 D．一条射线C[方程eq\r(x＋22＋y2)－eq\r(x－22＋y2)＝2的几何意义是动点P(x，y)到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))的距离之差为2，又因为2<|F1F2|＝4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．]13．(多选题)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满意条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是()A．eq\f(1,2)B．2C．－1D．－3BC[由双曲线定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2m－1|<6，,2m－1≠0，))∴－eq\f(5,2)<m<eq\f(7,2)且m≠eq\f(1,2)．故选BC．]14．(一题两空)设P是双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．eq\r(26)－2eq\r(37)[设双曲线的另一焦点为F′，则有F′(－2，0)，F(2，0)，连接AF′(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF′|－2)≥|AF′|－2＝eq\r(26)－2；|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(37)．]15．由双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N的坐标．[解]由双曲线方程知a＝3，b＝2，c＝eq\r(13