广东省肇庆市2024届高三第二次教学质量检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广东省肇庆市2024届高三第二次教学质量检测数学试题一､选择题1.已知，且，，则（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由，则，故，则.故选：B.2.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗或，，则，故选：C.3.已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（）A.2 B. C.2或 D.3或〖答案〗D〖解析〗，即，解得或.故选：D.4.为了研究我国男女性身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗样本中全体人员的平均身高约，故选：C.5.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗幂函数在上单调递增，故，又，所以.故选：A.6.已知数列是等差数列，是它的前项和，，则（）A.100 B.101 C.110 D.120〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则，即有，由，得，解得，因此，所以.故选：B7.已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（）A.4条 B.3条 C.2条 D.1条〖答案〗C〖解析〗分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图：所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条：一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线.故选：C8.在中，若，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗对A，在中，因为，所以，由正弦定理得，所以，故A正确；对B，由上得，由，可得，所以成立，即B正确；对C，当时，得，，所以，故C错误；对D，原式可化为，构造，故，则在上单调递增，结合，故，即D正确.故选：C.二､多选题9.已知曲线的方程为，则（）A.当时，曲线表示双曲线B.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆C.当时，曲线表示圆D.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆〖答案〗AC〖解析〗对于A，当时，表示焦点在轴双曲线，故A正确，对于B，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B错误，对于C,当时，,表示圆，C正确，对于D,当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误，故选：AC10.若的三个内角的正弦值为，则（）A.一定能构成三角形的三条边B.一定能构成三角形的三条边C.一定能构成三角形的三条边D.一定能构成三角形的三条边〖答案〗AD〖解析〗对于A，由正弦定理得，所以，，作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，对于B，由正弦定理得，例如，则，由于，，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，对于C,由正弦定理得，例如：、、，则、、，则，，，作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；对于D，由正弦定理可得，不妨设，则，故，且，所以，故D正确，故选：AD11.已知，函数，，若在区间上单调递增，则的可能取值为（）A. B. C.2 D.4〖答案〗BC〖解析〗因为，当时，，函数在上递减，在上递增，故A不可以；当时，，因为，，则在上递增，故B可以；当时，，因为，函数，单调递增，所以在上递增，故C可以；当时，，因为，函数，不单调，故D不可以.故选：BC12.定义在上的函数同时满足①；②当时，，则（）A.B.为偶函数C.存在，使得D.对任意〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，令，则，即，又，，即，可知，即，得即，故A正确；对于B，由选项A可得，又令得，解得，，所以函数不是偶函数，故B错误；对于C，因为，当时，，又满足上式，，，令，则，所以存在，使得，故C正确；对于D，令，则，即，即是以1为周期的周期函数，因为当，，则，结合周期性可知对任意，均有，所以，由C选项可得，令，即，即，当时上式不成立，当时，上式化简整理得无解，当时，上式化简整理得无解，所以对任意，.所以对任意，.故D正确.故选：ACD.三､填空题13.在的展开式中，的系数为__________.〖答案〗〖解析〗的展开式通项为，令得，所以的系数为.故〖答案〗为：.14.抛物线的焦点坐标为，则的值为__________.〖答案〗〖解析〗抛物线.其焦点坐标为，由.故〖答案〗为：15.小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是__________.〖答案〗〖解析〗记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”，则，所以.故〖答案〗为：.16.在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可得,故，所以，当且仅当时取等号，故，故面积的最大值为，，由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径，故，由正弦定理可得：，为外接圆的半径，设四面体外接球半径为,则,其中分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小，故外接球的表面积为,故〖答案〗为：,四､解答题17.已知数列满足，数列满足，记为数列的前项和.（1）是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；（2）求.解：（1）方法一：假设存在，使为等比数列，则至少满足的前3项成等比数列.的前3项为则，解得.以下证明：当时，为等比数列.由，得.因为是非零常数，且，所以为首项为4，公比为4的等比数列.方法二：由，得，故，，因为是非零常数，且，所以为首项为4，公比为4的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以.18.在中，是的平分线，，求：（1）的长；（2）的面积.解：（1）方法一：设，则.由，得，所以，得，故，所以.方法二：证明：由角平分线定理知，不妨设，则.由可知，即，解得（负值舍去），即.（2）方法一：因为，所以，所以，，所以，方法二：由（1）知在中，，，所以.19.如图，在三棱柱中，平面平面.（1）若分别为的中点，证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：如图，取的中点，连接交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直线与平面所成角为，则，在中，不妨设，则，连接，因为，所以.又平面平面，所以平面平面，且平面平面平面，故平面.设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图，则，则，，设平面的法向量为，则，即，不妨取，则有，易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.已知函数.（1）求的极值；（2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）的定义域为.当时，恒成立，此时单调递增，无极值；当时，令，得.故当时，单调递减；当时，单调递增，此时在处取到极小值，无极大值.（2）方法一：对任意时，恒成立，即恒成立.令，则.令，则，即在区间上单调递减，又，所以当时，，即，此时单调递增；当时，，即，此时单调递减，所以.所以，即的取值范围为.方法二：由（1）知，当时，在区间上单调递增.因为，所以不符合题意；当时，当时单调递减，当时单调递增.对任意时，恒成立，即，即.令在区间上单调递增.又所以；当时，在区间上单调递减.所以，符合题意；综上，的取值范围为.21.已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在上.（1）证明：（其中为的离心率）；（2）当时，是否存在过点的直线与交于两点，其中，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（1）证明：设，因为点在上，所以，故，故，又，所以，故，所以；（2）解：假设存在这样的直线，由题易知，，，由（1）知，由椭圆定义知，因为，所以，整理得①，因为，显然直线的斜率存在，设，由，故椭圆方程为：，联立，得，所以，且，，代入①式，有，化简整理得，解得，故直线存在，且它的方程为或.22.某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.（1）求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；（2）记分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出.解：（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天