12一元二次方程的解法（二~三）（原卷版）

1.2一元二次方程的解法（二~三）【推本溯源】1.解下列方程（x+1）²=16解：2.再尝试一下下列方程x²+2x=15思路：去凑完全平方的形式解：（两边同时架上1）（写成完全平方公式）3.配方法：把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k（h，k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平放法求出方程的解，这种一元二次方程的解法叫做配方法。配方法的解题步骤：步骤方法举例（2x²7x+3=0）一化二次项系数化1左、右两边同时除以二次项系数二移移项将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方求根直接开平方法4.用配方法求解：我们把（b²4ac≥0）称为一元二次方程的。，把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做。5.公式法的步骤步骤方法举例（2x²7x=3）第一步把方程化为一般形式确定a、b、c的值；第二步求出b²4ac的值第三步当b²4ac≥0时，把a、b及b²4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²4ac＜0，方程没有实数根。6.根的判别式式子b²4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。的根的情况回答方式b²4ac＞0有两个的实数根b²4ac=0有两个的实数根b²4ac＜0实数根【解惑】例1：下列配方有错误的是（）A．，化为B．，化为C．，化为D．，化为例2：多项式的最小值是_____．例3：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．例4：请分别用公式法和配方法两种方法解方程：．例5：将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：

(1)图6中的“☆”的个数有_________个；(2)图中的“☆”的个数有_________个；(3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．【摩拳擦掌】1．（2023·甘肃陇南·统考一模）用公式法解方程时，Δ＝（）A． B． C． D．2．（2023·云南昆明·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．4.（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程＝的两根为________．6．（2023·辽宁锦州·统考一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____．7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．

（1）若，则图1阴影部分的面积是__________；（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________．8．（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．9．（2023·上海·八年级假期作业）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【知不足】1．（2023·河南驻马店·统考三模）关于x的一元二次方程，根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④3．（2023·河南信阳·二模）定义运算：例如，则方程的根的情况为______．4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若，，则图中正方形的边长为___________．

5．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）对于实数，，定义新运算为：．如果关于的方程有两个相等的实数根，则____．6．（2023·全国·九年级假期作业）已知，则的值是_____．7．（2023春·广东云浮·九年级校考期中）计算：(1)；(2)．8．（2022春·八年级单元测试）．9．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：（公式法）10．（2018秋·广东江门·九年级期末）解方程：．11．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【一览众山小】1．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·统考中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定3．（2023·河南周口·统考二模）定义运算：对任意实数，，总有，例如：，则方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根4．（2023·江苏连云港·统考中考真题）若（为实数），则的最小值为__________．5．（2023·全国·九年级假期作业）不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)；(4)．6．（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）解方程：．8．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．9．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．10．（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．11．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解关于x的方程：．12．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下列材料，解答问题．材料：求代数式的最小值．小明同学是这样解答的：我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．问题：(1)请按照小明的解题思路，把解答过程补充完整．(2)请运用“配方法”解决问题：若，求的立方根．13．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）（1）若，求m、n的值．解：因为，所以由此，可求出______；______；根据上面的观察，探究下面问题：（2），求的值；14．（2023·全国·九年级假期作业）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴当时，有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．(2)用配方法因式分