专题03一元一次方程（原卷版）

专题03一元一次方程核心考点聚焦1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；2、能解一元一次方程；3、通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；4、在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。一、一元一次方程的概念1.方程：含有未知数的等式叫做方程．2.一元一次方程：只含有一个，未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程．注：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是，即分母中不含未知数．3.方程的解：使方程的左、右两边的未知数的值叫做这个方程的解．4.解方程：求方程的叫做解方程．二、等式的性质与去括号法则1.等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个的数，结果仍相等．2.合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持．3.去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号．三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品－商品4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金××期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.考点剖析例1：把等式变形为是根据（

）．A．等式左右两端都加上 B．在等式左右两端都加上C．在等式左右两端都加上 D．在等式左右两端都加上变式11：若是方程的解，则代数式的值是．变式12：已知：(1)求的值(结果用化简后含a、b的式子表示)；(2)在(1)的条件下，若是方程的解，求a的值；(3)若的值与a的取值无关，求b的值．例2：已知与互为相反数，则m的取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9变式21：已知方程与的解相同，则k的值为．变式22：解下列方程：(1)；(2)．例3：解方程时，去分母正确的是（

）A． B．C． D．变式31：已知关于的方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为．变式32：解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．例4：某轮船在静水中的速度为，水流速度为，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为，则可列方程为（）A． B．C． D．变式41：已知一条笔直的公路旁依次有A，B，C三地，A、B两地相距30千米，小明乘车从A地出发，以每小时30千米的速度驶向C地，同时小丽乘车从B地出发，以每小时20千米的速度驶向C地，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为小时．变式42：某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的，两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区地，此时两车相距20千米，甲车在服务区地休息了20分钟，然后按原速度开往地；乙车行驶2小时10分钟时也经过地，未停留继续开往地．(1)求甲、乙两车行驶的速度分别是多少千米/小时：(2)乙车出发多长时间，两车相距200千米？例5：一件工程甲单独完成需要20小时，乙单独完成需要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做直到完成，共需合做（

）A．6小时 B．5小时 C．4小时 D．7.5小时变式51：一项工程甲队单独完成此项工程需60天，乙队单独完成此项工程需90天．若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成此项工程．变式52：第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？(2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？例6：某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则该商店应打（

）A．9折 B．8折 C．7折 D．6折变式61：某商店把一种商品按标价的九折出售，获得的利润是进价的，该商品的标价为每件288元，则该商品的进价为每件元．变式62：芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价为50元，售价80元．(1)A种商品每件进价为元，每件B种商品利润率为．(2)若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？(3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？难点1：一元一次方程的新定义计算类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算：；；；；(1)归纳：用代数式表示的结果为：______．(2)若，求的值．(3)若，请计算的值．(4)比较与的大小，并说理由．难点2：一元一次方程的新定义方程定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则_____．(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值．(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．难点3：循环小数化为分数借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即．(1)将化为分数，填写下面的空格：设，由…可知，…．所以．所以______．解这个方程，得______．(2)将化为分数．难点4：一元一次方程的数轴动点如图，是最小的正整数，且．(1)填空：，，；(2)在数轴上，所对应的点分别为，，点为一动点，其对应的数为，点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：；(3)在（1）（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，请问：是否存在，使得的值不随着时间的变化而变化．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．难点5：一元一次方程的几何动点已知长方形中，，，动点P从A点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点Q也从点A出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．(1)当点Q到达终点时，点P在边；(2)当点P在边上运动时，用t表示的式子为；(3)点P、Q相遇时，秒．真题感知1．（2023·江苏连云港·统考中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏苏州·统考中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（

）A． B． C． D．3．（2020·江苏盐城·统考中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏南通·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为．5．（2021·江苏扬州·统考中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马天追上慢马．6．（2020·江苏无锡·统考中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是尺．7．（2019·江苏南通·统考中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．8．（2022·江苏连云港·统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．9．（2019·江苏镇江·中考真题）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为_____个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为_____个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间