2025版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教B版

第3节随机事务的概率一、教材概念·结论·性质重现1．样本点与样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由全部样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．2．事务的相关概念3．事务的关系与运算(1)事务的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事务A与事务B，假如事务A发生时，事务B肯定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)A⊆B(或B⊇A)相等关系假如事务A发生时，事务B肯定发生；而且事务B发生时，事务A也肯定发生，则称“A与B相等”A＝B⇔A⊆B且B⊆A事务互斥给定事务A，B，若事务A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB＝∅(或A∩B＝∅)事务对立给定样本空间Ω与事务A，则由Ω中全部不属于A的样本点组成的事务称为A的对立事务eq\x\to(A)(2)事务的和与积定义表示法图示事务的和(并)给定事务A，B，由全部A中的样本点与B中的样本点组成的事务称为A与B的和(或并)A＋B或(A∪B)事务的积(交)给定事务A，B，由A与B中的公共样本点组成的事务称为A与B的积(或交)AB(或A∩B)(3)事务的混合运算因为事务运算的结果仍是事务，因此可以进行事务的混合运算，例如(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)表示的是Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．同数的加、减、乘、除混合运算一样，事务的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可简写为Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定事务的概率P(Ω)＝1.(3)不行能事务的概率P(∅)＝0.(4)①假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．③假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)．④设A，B是一个随机试验中的两个事务，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．随机事务A，B互斥与对立的区分与联系当随机事务A，B互斥时，不肯定对立；当随机事务A，B对立时，肯定互斥．2．从集合的角度理解互斥事务和对立事务(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事务A的对立事务eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．二、基本技能·思想·活动体验1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)事务发生的频率与概率是相同的．(×)(2)随机事务和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事务的和事务发生是指这两个事务至少有一个发生．(√)(5)若A，B为互斥事务，则P(A)＋P(B)＝1.(×)(6)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务．(√)2．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的对立事务是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的对立事务是“两次都不中靶”．3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面对上恰有5次”是()A．必定事务 B．随机事务C．不行能事务 D．无法确定B解析：抛掷10次硬币正面对上的次数可能为0～10，都有可能发生，所以正面对上5次是随机事务．4．(多选题)若干个人站成一排，其中不是互斥事务的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”BCD解析：对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不行能同时发生，是互斥事务．对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事务．对于C，“甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事务．对于D，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事务．故选BCD.5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．0.45解析：由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为eq\f(9,20)＝0.45.6．(2024·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事务“抽到的产品不是一等品”的概率为________．0.35解析：因为事务A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，所以事务“抽到的产品不是一等品”的概率为p＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.考点1随机事务的关系——基础性(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事务“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A．是对立事务B．是不行能事务C．是互斥但不对立事务D．不是互斥事务C解析：明显两个事务不行能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事务为互斥但不对立事务．(2)设条件甲：事务A与事务B是对立事务，结论乙：概率满意P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若事务A与事务B是对立事务，则A∪B为必定事务．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，满意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不肯定是对立事务．如事务A：“至少出现一次正面”，事务B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满意P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事务．推断互斥事务、对立事务的两种方法(1)定义法：推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务．(2)集合法：①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥；②事务A的对立事务所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．1．(2024·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事务是()A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”肯定发生，故A中的两个事务是对立事务；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事务不是互斥事务；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事务是互斥而不对立事务；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事务不是互斥事务．故选C.2．口袋里装有6个形态相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事务A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列推断中正确的序号为________．①A与D为对立事务；②B与C是互斥事务；③C与E是对立事务；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：明显A与D是对立事务，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事务C与E都发生，③不正确；C∪E为必定事务，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正确．考点2随机事务的频率与概率——基础性如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事务概率的估计值．2．随机事务概率的求法利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．留意：概率的定义是求一个事务概率的基本方法．1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()A．49 B．0.5C．0.51 D．0.49C解析：由题意，依据事务发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为eq\f(51,100)＝0.51.2．(2024·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教化程度的调查，其结果如下表：本科探讨生合计35岁以下40307035～50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%B．该校教职工具有探讨生学历的概率超过50%C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率超过10%D解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有探讨生学历的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C错误；对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正确．故选D.考点3互斥事务与对立事务的概率——综合性经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事务H，则其对立事务为事务G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求困难互斥事务概率的两种方法(1)干脆法：将所求事务分解为一些彼此互斥事务的和，运用互斥事务概率的加法公式计算．(2)间接法：先求此事务的对立事务，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即运用逆向思维(正难则反)，特殊是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．提示：应用互斥事务概率的加法公式，肯定要留意首先确定各个事务是否彼此互斥，然后求出各事务发生的概率，再求和(或差)．间接法体现了“正难则反”的思想方法．1．抛掷一个质地匀称的骰子的试验，事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事务A＋eq