湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试 数学试题

长郡中学2025届高三第一次调研考试数学本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A.B.C.D.3.的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm，公共底面的半径为15cm，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为，现有青铜材料1000kg，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：）A.1B.2C.3D.45.已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（）A.B.C.D.6.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（）A.B.C.D.7.已知函数，对于任意的，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（）A.3B.9C.3或9D.8.如图，已知长方体中，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转.若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得组性能得分为：组性能得分为：，则（）A.组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高B.组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小C.组性能得分的极差比组性能得分的极差大D.组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（）A.B.C.D.11.对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数对应的点为，则__________.13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式__________.①是常数，且；②；③的前项和存在最小值.14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为为坐标原点，的重心为.（1）求点的轨迹方程；（2）记第（1）问中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.16.（本小题满分15分）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为是的中点.（1）已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；（2）点是圆上的一点（不同于），，求平面与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操､增强学生的表现力和自信心､提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的.（1）声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为，设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点.（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望.18.（本小题满分17分）已知数列为等比数列，为等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围；（3）若数列中，，求证：19.（本小题满分17分）设有维向量，称为向量和的内积，当，称向量和正交.设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合.（1）若，写出一个向量，使得；（2）令.若，证明：为偶数；（3）若是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例.长郡中学2025届高三第一次调研考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号1234567891011答案ACDCDDAAADADBD6.D【解析】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为，与的方程（联立得，设，则，故的方程为.由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，联立抛物线与直线，化简得，由得与相离.分别是过点向准线､直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接，所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和，等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点，所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离，即.故选：D.7.A【解析】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此.由知的图象关于直线对称，则①.由知的图象关于点对称，则②.②-①得，令，则，结合可得或9.当时，代入（1）得，又，所以，此时，因为，故在上单调递增，符合题意；当时，代入（1）得，又，所以，此时，因为，故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去.综上，的值为3.故选：A.8.A【解析】在长方体中，，则直线与的夹角等于直线与的夹角.长方体中，为正方形的中心点，则，又，所以是等边三角形，故直线与的夹角为.则绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，.因为直线与所成的角为，所以直线与的夹角为.在平面中，作，使得.结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为，易知.设直线与的夹角为，则，故当时最小，而，故直线与的夹角的正弦值的最小值为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.AD10.AD11.BD【解析】由，可得，即，若，可得，符合题意，若，可得，不符合题意，若，可得，不符合题意，若，可得，不符合题意，综上所述，可得，故只需判断四个选项中的是否为最大值即可.对于，由题知，而，，所以.（点拨：函数为减函数，为减函数），对于A，；对于B，，故A错误，B正确.对于C，D（将0.9转化为，方便构造函数）构造函数，则，因为，所以单调递减，因为，所以，即，所以.（若找选项中的最大值，下面只需判断与的大小即可），构造函数，则，因为，所以，令，则，当时，单调递减，因为，所以，即单调递减，又，所以，即，所以.综上，.对于C，；对于D，，故C错误，D正确.（提醒：本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断，即，构造函数，则，因为，所以单调递增，因为，所以，即，所以）故选：BD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【解析】由于复数对应的点为，所以，故，故答案为：13.（答案不唯一）14.35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设，则，因为的重心，故有：，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.（2）因为的垂心，故有，又，所以，故设直线的方程为，与联立消去得：，由得，设，则，由，得，所以，所以，所以，化简得，解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.16.【解析】（1）是的中点，.要满足平面，需满足，又平面平面平面如图，过作下底面的垂线交下底面于点，过作的平行线，交圆于，则线段即点的轨迹.（2）易知可以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，母线长为，母线与底面所成角为，，取的位置如图所示，连接，，即，则，则.设平面的法向量为，则，即，令，则.设平面的法向量为，则，即，令，则.设平面与平面所成的角为，则，.17.【解析】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率，则，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，故的极大值点.（2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以的所有可能取值为，，，则随机变量的分布列为01