广西百色市平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期开学收心考试 数学试卷含答案

2024年高二上学期开学收心数学考试卷姓名：______班级：______考号：______一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：）如下：110

120

123

428

174

190

318

235

165

432则这10种零食的分位数是（

）A．235 B．165 C．373 D．2002．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（

）A． B．1 C． D．3．在中，，，，则（

）A． B． C． D．4．正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球的表面积之比为（

）A． B． C． D．5．设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（

）A． B． C． D．6．角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（）A． B． C．或 D．或7．已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则（

）A． B． C．1 D．8．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件A，“三次试验恰有1次正面向上”为事件B，“三次试验恰有2次正面向上”为事件C，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件D，则下列说法正确的是（

）A．A与B互斥 B．A与D相互独立C．A与C相互独立 D．C与D对立二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.9．从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（

）A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为10．三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（

）A． B．C． D．11．如图，正方体的棱长为2，则（

）A．平面B．平面C．异面直线与BD所成的角为60°D．三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在中，内角的对边分别为a，b，c，若，则.13．根据党中央关于精准脱贫的要求，我市某部门派四位专家各自在周一､周二两天中任选一天对某县进行调研活动，选择周一､周二可能性相同，且四位专家周一或是周二去互不影响，则周一､周二都有专家参加调研活动的概率为.14．一个底面直径是的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了且无溢出，则这个球的表面积是．四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，已知为的中点，，，.(1)求的面积；(2)求的长.16．如图，在三棱柱中，⊥，AB＝AC＝1，D是BC的中点．（1）求证：//平面；（2）若面⊥面ABC，，求几何体的体积．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.（i）求证:；（ii）若，，求CD的长.18．某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x的值；(2)求这组数据的中位数、平均数；(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.19．如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点．(1)证明：；(2)若，直线与直线所成角的余弦值为．（ⅰ）求直线与平面所成角；（ⅱ）求二面角的余弦值．1．C【分析】把给定数据按由小到大排列，再根据第百分位数的定义求解作答.【详解】把这10个数据按从小到大排列为：110，120，123，165，174，190，235，318，428，432，由，得第分位数为第8个和第9个数据的平均数，即.故选：C2．A【分析】根据所给公式，变形整理化简即可.【详解】由题意可知，.故选：A3．A【解析】先利用正弦定理解得，然后根据同角三角函数的关系求出.【详解】由正弦定理得：，又，所以或，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，解答时注意角范围的确定，注意，易错选C或D.4．C【分析】由正方体的特征得出内切球和外接球的半径，进而由表面积公式求解.【详解】由题意可知，它的内切球和外接球的半径分别为.则它的内切球与外接球的表面积之比为.故选：C5．D【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为，，所以，因为A，B，D三点共线，所以有，即因为，为平面内一个基底，所以，不是共线向量，因此有，故选：D6．C【分析】根据题意，求得，，结合向量的夹角公式，求得，分类讨论，即可求解.【详解】由点P在的终边上，且，可设，所以又由，可得，则，可得，当时，；当时，.故选：C.7．C【解析】由已知条件可求出，然后利用求向量模的公式求.【详解】由题意得，则，故选:C．【点睛】此题考查的是向量的数量积和向量的模的计算，属于基础题.8．B【分析】列出基本事件，由互斥事件、对立事件与独立事件的概念逐项判断即可．【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果，事件A“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果，事件B“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果，事件C“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果，事件D“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果，对于A选项，事件A与事件B可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误；对于B选项，，，，则A与D相互独立，正确；对于C选项，，，则A与C不独立，错误；对于D选项，C和D互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误．故选:B.9．ACD【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，分别根据相互独立事件的概率公式计算即可．【详解】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，则，，则2个球都是红球的概率为，故正确，2个球不都是红球的概率为，故不正确．至少有1个红球的概率为，故正确，2个球中恰有1个红球的概率为，故正确，故选：．10．BC【分析】利用余弦定理可判断A，由平面数量积的定义可判断B，根据正余弦定理可判断C，由三角恒等变换可判断D.【详解】A：由可知，且，即，所以，所以是锐角，故A不能判断；B：由,得，则为钝角，故B能判断；C：由正弦定理，得，则，为钝角，故C能判断；D：由正弦定理，条件等价于=，由，则，即，由，故，则，故D不能判断.故选：BC11．ABC【分析】对A：借助正方体的性质可得，结合线面平行的判定定理即可得；对B：借助线面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用线面垂直的性质定理可得，，进而可得，，即可得证；对C：借助等角定理可得等于异面直线与BD所成的角，计算出即可得解；对D：借助体积公式计算即可得.【详解】对A：在正方体中，，又平面，平面，所以平面，故A项正确；对B：连接，，在正方体中，，，平面，平面，因为平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此，同理，，又，平面，平面，所以平面，故B项正确；对C：因为，所以等于异面直线与BD所成的角，又，即为等边三角形，所以异面直线与BD所成的角为60°，故C项正确；对D：三棱锥的体积，故D项不正确.故选：ABC.12．【分析】由已知可得，利用正弦定理求得，即可求出【详解】，，解得，由正弦定理，则，或，若，则；若，则，综上，.故答案为：.13．【分析】根据条件得出总的情况个数和满足周一、周二都有专家参加调研活动的情况个数即可得答案.【详解】依题意，总的事件数为种，只有周一或周二有专家参加调研活动的情况有2种，所以周一、周二都有专家参加调研活动的情况有16－2＝14种，则周一､周二都有专家参加调研活动的概率为故答案为：14．【分析】由上升的水的体积等于球的体积，利用圆柱、球的体积公式列方程求球体半径，进而求球体的表面积.【详解】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为R，即，解得，故这个球的表面积．故答案为：15．(1).(2).【分析】(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积；(2)根据余弦定理可求出的长.【详解】（1）根据题意可知，又因为为的中点，可得，，，，根据余弦定理，代入已知条件得，得到，故所以可得是直角三角形，所以可得故答案为：（2）由第一问可知，根据余弦定理可知，代入得，所以可得，故答案为：16．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）方法一：连接，交于O，连接OD，由三角形的中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得结论；方法二：取的中点N，连接，BN，可得四边形是平行四边形，则，由线面平行的判定定理可得//平面，由已知可得BN//平面，从而得平面//平面，进而可得结论；（2）由平面⊥平面ABC，可得⊥平面ABC，然后利用可求得结果【详解】（1）方法一：证明：连接，交于O，连接OD，因为OD是的中位线所以又OD平面，平面所以//平面方法二：取的中点N，连接，BN因为DN是平行四边形的中位线所以，所以四边形是平行四边形．所以，又平面，AD平面所以//平面因为所以，又平面，平面所以BN//平面又平面所以平面//平面，平面所以//平面（2）因为平面⊥平面ABC，平面平面ABC＝AB，平面，所以⊥平面ABC因为所以17．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）由正弦边角关系得，应用余弦定理求C的大小；（2）（i）由角平分线两侧三角形面积比，结合等面积法及三角形面积公式证明结论；（ii）由正弦定理可得，进而得，设并表示出，应用余弦定理列方程求k，最后求CD的长.【详解】（1）由题设，则，故，所以，又，故.（2）（i）由题设，若上的高为，又，，所以，即.（ii）由，则，又为锐角，故，若，则，且，，由余弦定理知：，所以，可得或，当，则，，此时，则；当，则，即，不合题设；综上，.18．(1)；(2)中位数，平均数77(3).【分析】（1）根据所有矩形面积之和为1求得；（2）根据频率分布直方图中中位数、平均数的计算方法求解；（3）抽中男生3人，女生2人，按古典概型求解.【详解】（1）依题意，得，解得；（2）因为，，所以中位数在间，设为，则，解得.平均数.（3）依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为3：2，按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，依次分别记为，，，，，对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，设“前2人均为男生”为事件，其包含的基本事件有：，，，共3个，所以.19．(1)证明见解析.(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.（2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面，而平面，则，由为的中点，得，则四边形是平行四边形，因此，所以.（2）（ⅰ）由为的中点，，则，而，平面，于是平面，平面，则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为