2024年上海市春季高考数学试卷含答案

2024年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．的定义域．2．直线的倾斜角大小为．3．已知，则．4．展开式中的系数为．5．三角形中，，则．6．已知，的最小值为．7．数列，，，的取值范围为．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．9．已知，求的的取值范围．10．已知四棱柱底面为平行四边形，，且，求异面直线与的夹角．11．正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到12．，，，，任意，，，，满足，求有序数列，，，有对．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．，，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．14．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立16．现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．（14分）已知，．（1）设，求解：，，的值域；（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．18．（14分）如图，、、为圆锥三条母线，．（1）证明：；（2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小．19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．20．（18分）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点的横坐标为2，求的长；（2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围．（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（18分）记（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．

2024年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．的定义域．【解析】：的定义域为．故答案为：．2．直线的倾斜角大小为．【解析】：由直线变形得：，设直线的倾斜角为，即，因为，，所以．故答案为：．3．已知，则．【解析】：由题意可得，所以．故答案为：．4．展开式中的系数为15．【解析】：根据二项式展开．故答案为：15．5．三角形中，，则．【解析】：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案为：．6．已知，的最小值为12．【解析】：由，，当且仅当，即或时取最小值12，所以的最小值为12．故答案为：12．7．数列，，，的取值范围为．【解析】：等差数列由，知数列为等差数列，即，解得．故的取值范围为．故答案为：．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为3．【解析】：由双曲线的定义，，，解得，，．故答案为：3．9．已知，求的的取值范围，．【解析】：根据题意知，所以当时，，解得，；同理当时，，解得；综上所述：，．故答案为：，．10．已知四棱柱底面为平行四边形，，且，求异面直线与的夹角．【解析】：如图，因为，又，，化简得，，．异面直线与的夹角为．11．正方形草地边长1.2，到，距离为0.2，到，距离为0.4，有个圆形通道经过，，且与只有一个交点，求圆形通道的周长2.73．（精确到【解析】：以为原点，线段所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，易知，．不妨设中点为直线中垂线所在直线方程为，化简得．所以可设圆心为，半径为，且经过，点，即，化简得，求得．结合题意可得，．故有圆的周长．12．，，，，任意，，，，满足，求有序数列，，，有48对．【解析】：由题意得，10，12，18，20，，满足，不妨设，由单调性有，，，，分两种情况讨论：①，，解得，，，，②，，解得，，，，所以有2种，综上共有对．故答案为：48．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．，，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】：对于，若，则，选项不成立，故错误；对于，，，由不等式的可加性可知，，故正确．对于、，若，则选项不成立，故、错误．故选：．14．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【解析】：根据题意，依次分析选项：对于，若，，则或，又，所以，故正确；对于，若，，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故错误；对于，若，，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故错误；对于，若，，则或，又，则或，故错误．故选：．15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立【解析】：选项，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，错误；选项，（A），（B），，（A）（B），正确；选项，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，错误；选项，（A），，，（A），与不独立，故错误．故选：．16．现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论（1）存在，；，与有无穷个交点（2）存在，；，与有无穷个交点A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立【解析】：根据题意，当时，与均为延展函数，对于①，对于，，则是周期为1的周期函数，其值域为，因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错；对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．（14分）已知，．（1）设，求解：，，的值域；（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．【解析】：（1）当时，．因为，，所以令，根据在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，最小值为．因此函数的值域为，．（2）由题知，所以，．当时，，即．当时，，所以，即．因此，的取值范围为，．18．（14分）如图，、、为圆锥三条母线，．（1）证明：；（2）若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小．【解答】（1）证明：取中点，连接，，因为，，所以，，又因为，面，，所以面，又面，所以；（2）解：法由（1）可知，，又底面，作，交于，连接，由题意，可得，所以为所求的二面角的平面角，连接，则，因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为，所以，，，，，，即，解得，所以，所以，所以二面角的平面角为钝角，所以二面角的大小为．法由（1）可知，，又底面，因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为，所以，建立以为轴，为轴，以为轴的坐标系，则可得，故，设为平面的一个法向量，由，，可得，令，则，可得，设为平面的一个法向量，由，，可得，令，则，可得，则，设二面角的平面角为，由图可知为钝角，所以二面角的大小为．19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．【解析】：（1）古典概型：设事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数，事件的样本点的公式，所以（A）；（2）因为一级果箱数：二级果箱数，所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为平均值，方差为，因为，，，，所以克，克．预估：平均质量为克．20．（18分）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点的横坐标为2，求的长；（2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围．（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：（1）因为点的横坐标为2，不妨设，因为点在椭圆上，所以，解得，易知，所以；（2）不妨设，，此时，因为，所以，即，又，所以，解得，则，故的范围为，；（3）不妨设，，，，，由对称性可得、关于轴对称，所以，，又，，此时，所以，同理得，因为，所以，解得或（无解），不妨设直线，联立，消去并整理得，由韦达定理得，解得，此时，又，解得，此时．故存在轴上方的点，使得成立．21．（18分）记（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求证：对于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定义在上有最小值，求证“是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数，均有（c）”．【解析】：（1）由题意，得（1），，；．（2）证明：由题意知，（a），，记，则或2．02正0负0正极大值极小值现对分类讨论，当，有，为严格增函数，因为（a），所以此时（a），，符合条件；当时，，先增后减，，因为取等号），所以，则此时（a），，也符合条件；当时，，，在，严格增，在，严格减