高中数学 1.7.3 球基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.7.3球基础巩固北师大版必修2一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．144π，144π B．144π，36πC．36π，144π D．36π，36π[答案]D[解析]球的半径为3，S球＝4π×32＝36π.V球＝eq\f(4,3)π×33＝36π.2．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为()A．27π B．eq\f(8\r(2),3)πC．36π D．eq\f(9\r(3),2)π[答案]A[解析]S正＝54，∴边长a＝3,2R＝3eq\r(3)，∴S球＝4πR2＝π(2R)2＝π×(3eq\r(3))2＝27π.3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．R B．2RC．3R D．4R[答案]D[解析]设圆柱的高为h，则πR2h＝3·eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.4．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()A．2∶1 B．2∶3C．2∶π D．2∶5[答案]A[解析]设半径为r，圆锥的高为h，由题意得：V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2).∴h∶r＝2∶1.5．(·大纲卷理，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A．eq\f(81π,4) B．16πC．9π D．eq\f(27π,4)[答案]A[解析]本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积运算．设球的半径是r，根据题意可得(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，所以球的表面积是S＝4πr2＝4π(eq\f(9,4))2＝eq\f(81π,4).6．球面上四点P、A、B、C，已知PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则球的表面积为()A．2πa2 B．3πa2C．4πa2 D．6πa2[答案]B[解析]可将PA、PB、PC作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．∴有eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\f(\r(3),2)a，∴S＝4πR2＝3πa2.二、填空题7．(新课标Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．[答案]eq\f(9,2)π[解析]本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．如图设球O半径为R，则BH＝eq\f(4,3)R，OH＝eq\f(R,3)，截面圆半径设为r，则πr2＝π，r＝1，即HC＝1，由勾股定理得R2－(eq\f(R,3))2＝1，R2＝eq\f(9,8)，S球＝4πR2＝eq\f(9,2)π.8．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．[答案]eq\f(8\r(6π),π)[解析]本题主要考查利用正方体全面积，球表面积公式等知识点解决问题的能力．由条件知正方体棱长为2，所以全面积为24，设球半径为R，则4πR2＝24，R＝eq\f(\r(6π),π)，所以球的体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6π),π)))3＝eq\f(8\r(6π),π).三、解答题9．一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．[解析](1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r，由△OCD∽△ACO1得eq\f(OD,O1A)＝eq\f(OC,AC).∴eq\f(r,6)＝eq\f(8－r,10)，解得r＝3.圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即V锥－V球＝eq\f(1,3)×π×62×8－eq\f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．一、选择题1．设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()A．V1比V2大约多一半 B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍 D．V1比V2大约多一倍半[答案]D[解析]本题考查球的体积公式等，并考查学生的推理判断能力、估算能力．设球的半径为R，则V1＝eq\f(4,3)πR3，设正方体棱长为a，则2R＝eq\r(3)a，V2＝a3，所以V1＝eq\f(\r(3)π,2)V2，估算得选项D.2．一个物体的三视图如图所示，则该物体的体积为()A．2π B．eq\f(8,3)＋eq\f(4,3)πC．eq\f(14,3)π D．eq\f(40,3)π[答案]A[解析]该几何体的上部是一个球，其体积为eq\f(4,3)π，下部是一个圆柱，其体积是eq\f(2,3)π，则该几何体的体积为eq\f(4,3)π＋eq\f(2,3)π＝2π.二、填空题3．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为________．[答案]eq\r(3)[解析]本题考查了正方体外接球的体积.设球半径为R，正方体棱长为a，则V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，得到R＝eq\f(3,2)，正方体体对角线的长为eq\r(3)a＝2R，则a＝eq\r(3)，所以正方体棱长为eq\r(3).正方体体对角线的长为eq\r(3)a，其长度等于外接球的直径，注意这些常用结论．4．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．[答案]eq\f(1,3)[解析]本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．依据题意画出示意图：设球半径R，圆锥底面半径r，则πr2＝eq\f(3,16)·4πR2，即r2＝eq\f(3,4)R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1C2得OO1＝eq\f(1,2)R.所以，高的比为eq\f(1,3).三、解答题5．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．[解析]设正方体的棱长为a，(1)正方体的内切球的球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如答图(1)，所以2r1＝a，r1＝eq\f(a,2).所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点，过球心作平行于正方体底面的截面，如答图(2)，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如答图(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.6．两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长之和为6π，求大球半径与小球半径之差．[解析]设两球的半径为R，r(R>r)．由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3＋\f(4,3)πr3＝12π,2πR＋2πr＝6π))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R3＋r3＝9,R＋r＝3))∵R3＋r3＝(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝9，∴R2－Rr＋r2＝3，∴(R＋r)2－3Rr＝3，得Rr＝2，∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝1，∴R－r＝1.故大球半径与小球半径之差为1.7．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．[解析]如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO.在Rt△AOB中，AB＝1，BO＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)，所以AO＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3).设球的半径为R，球心为O1，则O1在线段AO上，OO1＝AO－R＝eq\f(\r(6),3)－R，O1B＝R，B