高中数学 1.7、8相关性 最小二乘估计检测试题 北师大版必修3

【成才之路】-学年高中数学1.7、8相关性最小二乘估计检测试题北师大版必修3一、选择题1．在下面四个选项中，图中的两个变量具有相关关系的是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)[答案]A[解析]相关关系有两种情况，所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关的．(3)(4)是不相关的．2．下列变量之间的关系是函数关系的是()A．光照时间与大棚内蔬菜的产量B．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是常数，b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4C．每亩施肥量与粮食亩产量之间的关系D．人的身高与所穿鞋子的号码之间的关系[答案]B[解析]应用变量相关关系的定义加以判断．A项，光照时间与大棚内蔬菜的产量是相关关系．B项，判别式Δ＝b2－4ac与b3．设有一个回归直线方程为y＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时()A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位[答案]C[解析]回归直线方程y＝2－1.5x是关于x的递减函数，因为y随x的增大而减小，因此排除了A，B，回归直线方程y＝2－1.5x的一次项系数为－1.5，因此变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位，因此选C.4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1[答案]D[解析]本题考查了相关系数及相关性的判定．样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元[答案]B[解析]∵a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)－9.4×eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，令x＝6，得y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．6．工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率提高1000元，则工资平均提高80元C．劳动生产率提高1000元，则工资平均提高130元D．当月工资为210元时，劳动生产率为元[答案]B[解析]由线性回归方程知，回归方程表示的直线不一定经过各离散点，得到的y值是一个近似值，故选B.二、填空题7．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有下列数据：x－2－1012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究，分别得到了x与y之间的三个回归直线方程：①y＝－x＋2.8；②y＝－x＋3；③y＝－1.2x＋2.6，其中正确的是________．(只填写序号)[答案]①[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝0，eq\o(y,\s\up6(－))＝2.8，把eq\o(x,\s\up6(－))＝0，eq\o(y,\s\up6(－))＝2.8代入①②③检验，只有①符合.8．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．[答案]70[解析]根据表格中的数据可求得eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(18＋13＋10－1)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(24＋34＋38＋64)＝40.∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝40－(－2)×10＝60.∴y＝－2x＋60.当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.三、解答题9．某商场品牌毛衣专柜为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销量y(件)24334055(1)请画出上表数据的散点图；(2)根据表中数据求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)气象部门预测下个月的平均气温约为6℃eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数量：b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi—n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)—n\o(x,\s\up6(－))2)≈－2))[解析](1)散点图如图所示．(2)由表中数据可得：eq\x\to(x)＝eq\f(17＋13＋8＋2,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋33＋40＋55,4)＝38，又b＝－2，所以a＝38－(－2)×10＝58，从而线性回归方程为y＝－2x＋58.(3)当月的平均气温约为6℃时，其销售量约为y一、选择题1．下列叙述中：①变量间关系有函数关系，又有相关关系；②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；③eq\i\su(i＝1,n,x)i＝x1＋x2＋…＋xn；④线性回归方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)；⑤线性回归方程一定可以近似地表示相关关系．其中正确的有()A．①②③ B．①②④⑤C．①②③④ D．③④⑤[答案]C[解析]线性回归方程只能近似地表示线性相关关系．2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A．83% B．72%C．67% D．66%[答案]A[解析]该城市居民人均消费水平7.675＝0.66x＋1.562，解得x≈9.2621，则估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为eq\f(7.675,9.2621)×100%≈83%.二、填空题3．改革开放以来，我国高等教育事业迅速发展，为调查农村从年到年18岁到24岁的青年人每年考入大学的百分比，为便于统计，把年到年的年号依次编为0,1，…，10作为自变量x，每年考入大学的百分比作为因变量，进行回归分析，得到回归直线方程y＝1.80＋0.42x下面对数据解释正确的是________．①每年升入大学的百分比为1.80；②升入大学的18岁到24岁的人数大约每年以0.42%的速度递增；③年升入大学的百分比约为1.80%，年升入大学的百分比约为6%；④年到年升入大学的人数成等距离增加．[答案]②③[解析]由b＝0.42表示回归直线y＝1.80＋0.42x的斜率估值，a＝1.80表示截距，再结合直线方程中斜率与截距的意义可得②③正确．4．在年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．[答案]y＝－3.2x＋40[解析]由数据表可得eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝8，b＝－3.2，∴y＝－3.2x＋a，又过点(10,8)得a＝40，∴回归直线方程为y＝－3.2x＋40.三、解答题5．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：x2345y18273235(1)请画出上表数据的散点图；(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．[分析]本题中涉及两个变量：利润与科研经费，以科研经费为自变量，考查利润的变化趋势，从而做出判断.[解析](1)散点图如下：(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此认为y与x有线性相关关系．6．假设关于某设备使用年限x年和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出y关于x的回归方程．[解析]散点图如下：由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关．列表，计算i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xeq\o\al(2,i)49162536eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5；eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3设所求回归方程为：y＝bx＋a，则由上表可得b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.∴回归方程为y＝1.23x＋0.08.7．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a；(2)利用(1)中所求的直线方程预测该地年的粮食需求量．温馨提示：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算．[解析](1)由所给数据分析，年需求量与年份之间近似直线上升，可对数据进行预处理如下表年份－－4－2024需求量－257－21－1101929对预处理后的数据，容易算出eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝－4×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29＝260，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i