高中数学 1.6.2 垂直关系的性质基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.6.2垂直关系的性质基础巩固北师大版必修2一、选择题1．直线l⊥平面α，直线mα，则l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．垂直[答案]D[解析]由于l⊥平面α，mα，所以l⊥m，所以D正确．2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且mα B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β[答案]B[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β))⇒m⊥β.3．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，nα，则m⊥n；②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，nα，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.其中所有正确命题的序号是()A．①③ B．②④C．①④ D．③④[答案]A[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,nα))⇒m⊥n，故①正确；由面面垂直的性质可知③正确；对于②，α与β可能相交；对于④，直线n可能在β内，故②④错误．因此选A.4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直③垂直于同一条直线的两条直线相互平行④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④[答案]D[解析]考查空间线面位置关系的判定与性质．①错，②正确，③错，④正确．故选D.5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是()A．m⊥α，nβ，m⊥n⇒α⊥β B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β[答案]B[解析]A中可能α∥β；C中可能m∥n；D中可能nβ.6．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[答案]D[解析]本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．对于A，α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.二、填空题7．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是________．[答案]正方形[解析]∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，故有EF綊eq\f(1,2)AC，HG綊eq\f(1,2)AC，∴EF綊HG，则四边形EFGH为平行四边形，又所有边长均相等，故EF＝FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD，所以四边形为菱形，取BD中点O，连接AO、CO，∴AO⊥BD，CO⊥BD⇒BD⊥面AOC，∵AC⊥BD.∴EF⊥FG，故四边形EFGH为正方形．8．以下三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线必平行②两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任一条直线都垂直于另一个平面③二面角的两个面必垂直于这个二面角的任一平面角所在的平面．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都写上)．[答案]③[解析]①中，垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，∴①错；两个平面互相垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，∴②错．故正确的只有③.三、解答题9．正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请给出说明．[解析](1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD∥平面EFGH,平面ACD∩平面EFGH＝HG,AD平面ACD))⇒AD∥HG，同理EF∥AD，∴HG∥EF，同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵A－BCD是正三棱锥，∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形．(2)当AP＝eq\f(\r(3),2)a时，平面PBC⊥平面EFGH，在△ACP中∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP⊥PC，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCP，∵HG∥AD，∴HG⊥平面BCP，又HG平面EFGH，∴平面BCP⊥平面EFGH.一、选择题1．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直C．EF与CD异面 D．EF与A1C1[答案]D[解析]连接B1C，则B1C与BC1相交于点∵E，F分别是AB1，CB1的中点，∴EF∥AC.又BB1⊥AC，∴BB1⊥EF.∴选项A成立．又BD⊥AC，EF∥AC，∴BD⊥EF.∴选项B成立．观察图形易知选项C成立．∵EF∥AC，A1C1∥AC∴EF∥A1C1故选项D不成立．2．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD[答案]C[解析]由AD⊥BC，BD⊥AD⇒AD⊥平面BCD，又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.二、填空题3．下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(mα,l∥m,))⇒l∥α②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))⇒l∥α③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))⇒l∥α[答案]l⃘α[解析]通过分析可以看出本题实际上考查的是线面平行的判定定理，缺少的条件是“l为平面α外的直线”．4．α、β是两个不同的平面，m、n是α，β之外的两条不同直线，给出以下四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填一个即可)．[答案]①③④⇒②或②③④⇒①[解析]假设①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于C点．∵l⊥PA，l⊥PB，∴l⊥平面PACB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α－l－β的平面角．由m⊥n，显然PA⊥PB，∴∠ACB＝90°.∴α⊥β.由①③④⇒②成立．反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．三、解答题5．已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点，求证：平面MND⊥平面PCD.[解析]取PD的中点E，连接AE，NE，如图．∵M，N分别是AB，PC的中点，∴EN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB＝AM，且EN∥CD∥AB.∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边上的中线，∴AE⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.又MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故AP⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.7．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.[分析](1)可以证明BO∥CD，则四边形BCDO是平行四边形，从而确定点O的位置；(2)转化为证明PD⊥平面PAB.[解析](1)解：∵CD∥平面PBO,CD平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD