高中数学 1.1 归纳与类比基础巩固 北师大版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学1.1归纳与类比基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．(·太原模拟)如图是年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()[答案]A[解析]观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可类比[答案]C[解析]由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．3．(·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值eq\f(\r(3),2)a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()A.eq\f(\r(4),3)a B.eq\f(\r(6),3)aC.eq\f(\r(5),4)a D.eq\f(\r(6),4)a[答案]B[解析]将正三角形一边上的高eq\f(\r(3),2)a类比到正四面体一个面上的高eq\f(\r(6),3)a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题4．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.[答案]1000[解析]前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f(1091＋109,2)＝1000.5．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.[答案]eq\f(x,2n－1x＋2n)[解析]本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f1(x)＝eq\f(x,x＋2)＝eq\f(x,2－1x＋2)，f2(x)＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(1,24－1x＋24).∴当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).三、解答题6．已知a，b为正整数，设两直线l1：y＝b－eq\f(b,a)x与l2：y＝eq\f(b,a)x的交点为P1(x1，y1)，且对于n≥2的自然数，两点(0，b)，(xn－1,0)的连线与直线y＝eq\f(b,a)x交于点Pn(xn，yn)．(1)求点P1、P2的坐标；(2)猜想点Pn的坐标公式．[分析]两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点Pn的坐标．[解析](1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝b－\f(b,a)x，,y＝\f(b,a)x，))得P1(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．过(0，b)，(eq\f(a,2)，0)两点的直线方程为eq\f(2x,a)＋eq\f(y,b)＝1，与y＝eq\f(b,a)x联立，解得P2(eq\f(a,3)，eq\f(b,3))．(2)由(1)可猜想Pn(eq\f(a,n＋1)，eq\f(b,n＋1)).一、选择题1．三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)[答案]C[解析]设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球的球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形[答案]C[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．(·三峡名校联考)观察式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，则可归纳出第n－1个式子为()A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(1,2n－1)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(1,2n＋1)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(2n－1,n)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<eq\f(n,2n＋1)[答案]C[解析]观察可得第n－1个式子中不等式的左边为数列{eq\f(1,i2)]的前n项的和，右边为分式eq\f(2n－1,n).4．(·临沂模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011等于()A．1003 B．1005C．1006 D．2011[答案]B[解析]观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2009＝4×503－3,2011＝4×503－1，∴a2009＝503，a2011＝－503，a2010＝1005，∴a2009＋a2010＋a2011＝1005.5．(·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)[答案]B[解析]设圆锥的底面圆半径为r，则L＝2πr，由eq\f(1,36)L2h≈eq\f(1,3)sh，代入s＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V≈eq\f(2,75)L2h时，π≈eq\f(25,8).本题的关键是理解“若V≈eq\f(1,36)L2h，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．(·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.7．(·陕西理，14)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．[答案]F＋V－E＝2[解析]5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F＋V－E＝2.三、解答题8．已知Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)，写出S1，S2，S3，S4的值，并由此归纳出Sn的表达式．[分析]在Sn中分别令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再进行归纳推测．[解析]S1＝eq\f(1,1×2)＝－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；S2＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)；S3＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；S4＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5)＝(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,4))＋(eq\f(1,4)－eq\f(1,5))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)；由此猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N＋)．[点评]本题利用归纳猜想的思想求得了Sn的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中Sn的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．(·洛阳市高二期中)观察等式：sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15°sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明．[解析]猜想：sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).下面证明：左边＝sin(eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2))＋sin(eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2))＝(sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＋coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2))＋(sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)－coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2))＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝右边．所以原等式成立．10．已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)通项an＝am＋(n－m)·d；(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n