5.1.2　弧度制-高中数学教学资料

5.1.2弧度制第五章§5.1任意角和弧度制1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化.2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.学习目标同学们，大家看过《水浒传》吗？在这些类似的古典小说中，经常看到“某人身高八尺”这样的说法，若按照我们今天的标准(1米＝3尺)换算，这些人的身高都超过了姚明的身高，难道古人真的都有那么高吗？其实不然，在我国历史的不同时期，一尺的标准是不一样的，比如在春秋战国时期，一尺约等于0.23米，这样算来，八尺也就1.84米，“堂堂七尺男儿”也就1.6米左右.据说在商代的时候，一尺约等于0.17米，人高约一丈，故有“丈夫”之称，那么度量角的大小，除了角度以外，还有其他单位吗？让我们开始今天的新课.导语随堂演练课时对点练一、弧度制的概念二、角度制与弧度制的相互转化三、利用弧度表示角内容索引四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式一、弧度制的概念问题1

我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？提示不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值.为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制.问题2提到弧度，你能想到什么？提示我们能够想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正是有弧度而富有神韵.而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变.知识梳理1.弧度制我们规定：长度等于

长的

所对的圆心角叫做1弧度的角.2.弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么

＝3.一般地，正角的弧度数是一个

，负角的弧度数是一个

，零角的弧度数是

.注意点：一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.半径圆弧正数负数0例1

下列各命题中，真命题是A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小解析根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.√反思感悟

(1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的；(2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系.跟踪训练1

下列说法正确的是A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角√解析对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.二、角度制与弧度制的相互转化提示因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数为α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系.知识梳理角度与弧度的互化2π360°π180°注意点：(1)弧度单位rad可以省略；(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用.例2

把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；反思感悟

角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可三、利用弧度表示角例3将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？所以－1125°是第四象限角.延伸探究

若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.反思感悟

用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.(2)注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3

(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为√(2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用弧度制表示)_______________________________.解析结合图象，设终边落在阴影部分的角是α，四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式问题4我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？知识梳理设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝

.(2)扇形面积公式：S＝

＝

.αR例4

已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，①②整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8rad>2πrad舍去.延伸探究

已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.跟踪训练4已知扇形的半径为10cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.1.知识清单：(1)弧度制的概念.(2)弧度与角度的相互转化.(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.(4)扇形的弧长与面积的计算.2.方法归纳：由特殊到一般、数学运算.3.常见误区：弧度与角度混用.课堂小结随堂演练1.(多选)下列说法中，正确的是A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度1234√解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.√√12342.若α＝－2rad，则α的终边在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√12343.时针经过一小时，转过了√解析时针经过一小时，转过－30°，1234解析设扇形的半径为r，弧长为l，4.周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为___.课时对点练基础巩固1234567891011121314151.下列命题中，假命题是A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位解析根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.16C.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关√A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限123456789101112131415√16123456789101112131415√解析当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界).161234567891011121314154.将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是√161234567891011121314155.在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为√161234567891011121314156.(多选)下列表示中正确的是A.终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}√√16√解析A，B显然正确；123456789101112131415161234567891011121314157.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为___.216∴R＝1，123456789101112131415161234567891011121314159.已知角α＝1200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；16(2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角.因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1.12345678910111213141516123456789101112131415解由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，1610.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.12345678910111213141516123456789101112131415综合运用11.将钟表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度数是√解析∵分针旋转一周为60分钟，转过的角的弧度数为－2π，将分针拨慢是逆时针旋转，16123456789101112131415√1612345678910111213141516因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.13.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是√解析由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，123456789101112131415161234567891011121314151614.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为√拓广探究123456789101112131415169123456789101112131415